期權和公司債務的定價

1、.課程：專業(yè)英語專業(yè)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計年級： 2009 級姓名：董南成績：期權和公司債務的定價費希爾 ·布萊克（ Fischer Black）邁倫 .斯科爾斯（ Myron Scholes）如果期權能在市場中正確地定價， 就有可能確定由期權及其標的股票的多頭和空頭所構造的資產(chǎn)組合的收益。 運用這個原理， 可以推導出一個理論上的期權定價公式。 因為幾乎所有的公司負債都可以被視為期權的組合，推導期權的公式和分析也可用于諸如普通股、 公司債券和權證等公司負債。 特別地，公式可以用于推導可違約公司債券的貼現(xiàn)值。介紹期權是一種受制于一定條件， 在指定的期限內， 賦予買入或賣出某種資產(chǎn)權利的保證

2、?！懊朗狡跈唷笔且环N可以在期權到期之前的任意時間行使的期權?！皻W式期權”是一種只能在一個未來指定的日期行使的期權。行使期權時資產(chǎn)支付的價格被稱為“行使價格”或“執(zhí)行價格”。期權可被行使的最后一天被稱為“截止日”或“到期日” 。最簡單的期權品種是賦予購買單一普通股的權利。 本文中大部分我們都是討論這種期權，這種期權常被歸為“看漲期權” 。一般來說，股票的價格越高，期權的價值就越大。當股票價格遠.大于行使價格時， 期權肯定會被行使。 期權的現(xiàn)值因此也會近似等于股票的價格減去與期權有相同到期日、 面值等于執(zhí)行價格的純貼現(xiàn)債券的價格。另一方面，如果股票的價格遠小于行使價格， 期權到期時不會被行使，它的

3、價值近似為零。如果期權的截止日在非常遙遠的未來， 那么在到期日支付行使價格的債券的價格會非常低，期權的價值就近似等于股票的價格。在另一方面， 如果到期日非常近， 期權的價值就近似等于股票的價格減去行使價格，如果股票價格低于行使價格，期權的價值為零。通常地，如果股票的價值不變，期權價值隨到期日的接近而下降。這些期權價值和股票價格關系的一般性質常用圖 1 中的圖形說明。直線 A 代表期權的最大值，因為期權的價值不會超過股票的價格。直線 B 代表期權的最小值，因為期權的價值不為負且不會小于股票的價格減去行使價格。 直線 T1 ,T2 , 和 T3 依次代表到期日越來越短的期權的價值。.一般地，代表期

4、權價值的曲線是向上凹的。由于它也位于45 度直線 A 的下方，我們可以看到期權的變動比股票的更不穩(wěn)定。一個給定股票價格百分比的變動會導致一個到期日恒定的期權的價值更大的變動。然而， 期權的相對變動性不是一個常數(shù)，它依賴于股票的價格和到期日。先前大部分有關于期權定價的工作都是以權證的形式表述的。例如，Sprenkle（1961）、Ayres（1963）、Boness（1964）、Samuelson（1965）、Baumol、Malkiel 和 Quandt（1966）和 Chen（1970）都推導出同樣的定價公式的一般形式。然而，他們的公式都是不完整的，因為他們都沒有涉及有一個或多個任意參數(shù)的情

5、況。例如， Sprenkle 的期權定價公式如下：kxN (b1 )k * cN (b2 )ln kx / c12 (t*t )b12(t*t )ln kx / c12 (t *t )b22(t *t )在這個表達式中， x 是股票價格， c 是行使價格， t * 是到期日， t 是當前日期， 2 是股票回報的方差率， ln 是自然對數(shù)， N (b) 是累計正態(tài)密度函數(shù)。但 k 和 k* 是未知的參數(shù)。 Sprenkle（1961）定義 k 為當權證到期時股票價格的期望值與股票當前價格的比值，k * 是基于股票風險的一個貼現(xiàn)因子。他嘗試以經(jīng)驗估計k 和 k * 的值，但結果發(fā)現(xiàn)他還是無.能為力

6、。更典型地， Samuelson（1965）有兩個未知參數(shù)和，其中是股票的期望回報率，是權證的期望回報率或應用于權證的貼現(xiàn)率。他假設當權證到期時股票合理的價值分布服從對數(shù)正態(tài)分布且在行使價格切斷分布并取這個分布的期望值。隨后他用貼現(xiàn)率將這個期望值貼現(xiàn)至今。 不幸地是，在資本市場均衡的條件下似乎沒有證券的定價模型能用這個合適的程序確定權證的價值。在隨后的論文中， Samuelson和 Merton（1969）認識到當權證行使時貼現(xiàn)其可能價值分布的期望值不是合適的程序。 他們進一步發(fā)展了將期權價格看做股票價格函數(shù)的理論。 他們還認識到貼現(xiàn)率在某種程度上是由投資者愿意持有的全部股票與期權的應收賬款這

7、個必要條件確定的。但他們沒有利用投資者也必須持有其它資產(chǎn)的事實， 因此影響其貼現(xiàn)率的期權和股票的風險僅僅是無法回避風險的一部分。他們最終的公式依賴于他們所假設的典型投資者的效用函數(shù)。Thorp 和 Kassouf（1967）表述了我們開發(fā)模型的觀念之一。他們用實際權證價格的曲線模擬得到了一個權證的經(jīng)驗定價公式。 之后他們利用這個公式計算了用作對沖的一個多頭和另一個空頭的股票與權證的比例。 他們沒有從事均衡的研究， 即對沖的回報應該等于一項無風險資產(chǎn)的回報。 我們下面所展示的是用均衡條件來推導理論上的定價公式。定價公式.為了能根據(jù)股票價格推導出期權價值的公式， 我們假設一些市場對于股票和期權的“

8、理想條件” 。a) 短期利率是已知的且在整個時間段內是常數(shù)。b) 股票價格在連續(xù)的時間內隨機游動且其方差率與股票價格的平方成比例。因此在任意有限時間間距的末端合理的股票價格分布是對數(shù)正態(tài)的。股票回報的方差是常數(shù)。c) 股票不支付紅利和其它的股利派發(fā)。d) 期權是“歐式的”，也就是說它只能在到期日行使。e) 買賣股票和期權是沒有交易費用。f) 可用短期利率借到任意價格單位的證券買進或持有。g) 短期賣出沒有處罰金。沒有證券的賣家直接接受買家提供的證券價格，且同意將來與買家進行清算并支付他與那天證券價格相當?shù)囊欢〝?shù)量的證券。在這些假設下， 期權的價值只依賴于股票的價格、 時間和已知為常數(shù)的變量。因

9、此，可以設計一個由股票多頭和期權空頭組成的對沖策略，它的價值不依賴于股票價格，但依賴于時間和一直常數(shù)的值。記 w( x,t ) 為期權的價值，它是股票價格 x 和時間 t 的函數(shù)，相對于一股股票的多頭期權被賣空的數(shù)量為：1 w1 (x,t )（1）在表達式（ 1）中，下標表示 w( x,t) 的對第一個自變量的偏導數(shù)。為了理解這個不依賴于股票價格的對沖策略，注意到當股票價格變化很小時期權價值的變化與股票價格的變化的比例為w1 ( x,t ) 。對于.第一種近似法，如果股票價格的變化量為x ，期權價格的變化量為w1 (x,t ) x ，由表達式（ 1）給出的期權數(shù)量的變動為x 。因此，股票多頭的

10、變動值將會近似地抵消1 w1 期權空頭的變動值。當變量 x 和 t 的變動時，期權被賣空的數(shù)量隨股票對沖策略改變。如果對沖是持續(xù)持有的， 那么上文中提到的近似法是準確的， 且對沖策略的回報與股票的變動值是完全獨立的。 事實上，做對沖的回報是確定的。為了說明對沖策略的構造，我們考慮圖 1 中的實心線（ T2 ）并且假設股票價格以 $15.00 為起點，因此期權的價值就以 $5.00 為起點。同時假設直線在那點的斜率為 1 2 。這意味著對沖策略是買入一股股票同時賣出兩單位期權。一股股票花費 $15.00，銷售兩單位期權的收入為 $10.00，因此這個策略的收益為 $5.00。如果對沖策略不隨股票

11、價格的改變而改變，那么在有限時間間距的末端的權益值包含了一定的不確定性。假設兩單位期權從 $10.00 漲到$15.75 同時股票從 $15.00 漲到 $20.00，或它們從 $10.00 跌到 $5.75同時股票從 $15.00 跌到 $10.00。因此，當股票價格在正負兩個方向變動$5.00 時收益從 $5.00 變?yōu)?$4.25。即當股票價格在正負兩個方向變動$5.00 時收益下降了 $0.75。另外，曲線隨期權到期日的改變而轉換（如圖1 中由 T2到 T3 ）。結果期權價值的下降意味著股票價格的大變動導致對沖的收益增加和可能損失的抵消。注意到隨著股票價格的大變動收益的下降的幅度很小。

12、股票價格.變動值越小，收益的下降值與股票價格的變動值之間的比例股票價格變動值就越小。同時也注意到收益變動的方向與股票價格變動的方向獨立的， 這意味著在股票價格遵循連續(xù)一個隨機游動且方差率為常數(shù)的假設下，收益回報和股票回報之間的協(xié)方差為零。 如果股票價格和 “市場投資組合”的價值遵循一個協(xié)方差為常數(shù)的聯(lián)合的連續(xù)隨機游動， 它意味著收益回報與市場回報之間的協(xié)方差為零。因此，如果能不斷調整期權的空頭策略可以使對沖的風險為零。如果這個策略不能不斷地調整， 風險也較小， 且利用對沖策略的投資組合也能分散全部的風險。一般而言，由于對沖策略包含一股股票多頭和1 w1 單位期權的空頭，此策略的收益值為：x w

13、 w1（2）在短間隔t 上收益的變動值為：xw w1（3）假設空頭策略不斷地變動，我們可以利用隨機微積分的知識去展開w ，即 w(xx, tt ) w( x, t ) 如下：w w1x1 w12 x 2 t w2 t（4）2在（ 4）式中， w 的下標指的是偏導數(shù)，2 是股票回報的方差率。將表達式（ 3）代入（ 4）式，我們得到對沖策略的收益變動值為：( 1 w112 x2w2 ) t / w1（5）2由于對沖策略的收益回報是確定的，回報必須等于r t 。即使對.沖策略不是不斷變動的， 風險也很小且全部都可以分散， 因此對沖策略的期望回報就是短期利率。 否則，套利者就會通過借入大量資金實施對沖

14、策略并從中獲利， 這個過程就會迫使回報下降至短期利率。 因此（ 5）式中收益的變動必須等于（ 2）式中的收益值乘上 r t 。( 1 w112 x 2w2 ) t / w1 ( x w / w1 )r t（6）2消去兩邊的t ，重新整理，我們得到一個期權價值的微分方程。w2rw rxw112 x 2 w11（7）2記 t* 為期權的到期日， c 為行使價格，我們知道；w(x, t* ) xc,x c（8）0,x c這是 w( x, t ) 受制于邊界條件（8）滿足微分方程（ 7）的唯一公式。這個公式就是期權定價公式。為了解出這個微分方程，我們作以下的置換：w( x,t ) er ( t t *

15、 ) y( 2 / 2 )(r12 )2ln x / c (r12 )(t t* ),2(2 /2 )(r12 ) 2 (t t * )（9）2有了這個置換，微分方程變?yōu)?；y2y11（10）并且邊界條件變?yōu)椋簓(u,0) 0,u0（11）u( 12 ) /(r12 )0ce 221, u微分方程（10）是物理學中的熱傳導方程，它的解由.Churchill(1963,p155)給出。換成我們的記號，方程的解為;(u q 2 s)( 12 ) /(r12 )q2/ 2y(u, s) 1 / 2ce221 edqu /2將（ 12）式代入（ 9）式，簡化后，我們得到：w( x, t) xN (d1 )r (t t*)N (d2 )celn x / c(r12 )(t *t)d12t*tln x / c(r12 )(t *t)d22t*t在（ 13）式中， N ( d ) 是累計正態(tài)密度函數(shù)。(12)（13）注意到股票的期望回報沒有在（13）式中出現(xiàn)。期權價值作為股票價格的函數(shù)與股票回報是獨立的。然而，期權的期望回報將依賴于股票的期望回報。股票價格上漲地越快，期權價格基于函數(shù)關系式（13）也就上漲地越快。注意到出現(xiàn)在公式中的到期期限(t*t ) 只與利率 r 或方差率2 相乘。因此，到期期限的增加作用于期權價值相當于r 和2 個百