正比例函數(shù)圖像和性質

1、.正比例函數(shù)的圖像和性質知識精要1. 正比例函數(shù)的圖像一般地，正比例函數(shù) y=kx（k 是常數(shù)， k 0 ）的圖像是經(jīng)過原點 O(0,0) 和點 M（1，k）的一條直線 。我們把正比例函數(shù) y=kx 的圖像叫做直線 y=kx。2. 正比例函數(shù)性質精講名題xm 3例 1. 若函數(shù) y=(m-1)是正比例函數(shù)，則 m=,函數(shù)的圖像經(jīng)過象限。解:m=4, 圖像經(jīng)過第一、三象限。例 2. 已知 y-1 與 2x 成正比例，當 x=-1 時， y=5, 求 y 與 x 的函數(shù)解析式。解： y-1 與 2x 成正比例設y-1=k ·2x （ k0）把 x=-1,y=5代入，得 k=-2, y-1

2、=-2 · 2xy=-4x+1例 3. 已知 y 與 x 的正比例函數(shù)，且當x=6 時 y=-2(1) 求出這個函數(shù)的解析式；'.(2) 在直角坐標平面內(nèi)畫出這個函數(shù)的圖像；(3) 如果點 P（a， 4）在這個函數(shù)的圖像上，求 a 的值；(4) 試問，點 A（-6 ， 2）關于原點對稱的點 B 是否也在這個圖像上？解： (1)設 y=k· x （k 0 ）當 x=6 時， y=-2 -2=6k k1 這個函數(shù)的解析式為 y1 x33(2)y1 x 的定義域是一切實數(shù)，圖像如圖所示：3(3)如果點 P（a， 4）在這個函數(shù)的圖像上， 41 a ， a=-123(4)

3、點 A（-6 ，2）關于原點對稱的點 B 的坐標（ 6，-2 ），當 x=6 時， y=162因此，點 B 也在直線 y1 x 上33例 4. 已知點 ( x1, y1 ) ，( x2 , y2 ) 在正比例函數(shù) y=(k-2)x的圖像上，當 x1x2 時， y1y2 ，那么 k的取值范圍是多少？解：由題意，得函數(shù)y 隨 x 的值增大而減小， k-2<0, k<2例 5. （1）已知 y=ax 是經(jīng)過第二、四象限的直線，且a3 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，求a 的取值范圍。（2）已知函數(shù) y=(2m+1)x 的值隨自變量 x 的值增大而增大，且函數(shù)y=(3m+1)x 的值隨自變量 x的增大

4、而減小，求m的取值范圍。解：（1）根據(jù)題意得 a<0,a+3 0-3 a<0(2) 根據(jù)題意得 2m+1>0,3m+1<0解得 -1/2<x<-1/3例 6. 已知正比例函數(shù)過 A(2，-4), 點 P 在此正比例函數(shù)的圖像上，若直角坐標平面內(nèi)另有一點B（ 0,4 ），且SABP 8 ，求：點 P 的坐標。解：設正比例函數(shù)解析式為 y=k·x （ k0）'.已知正比例函數(shù)過A(2， -4) -4=2k ，解得 k=-2,正比例函數(shù)的解析式為y=-2x如圖所示，畫出直線y=-2x ，并標出 A， B 兩點的位置，分析題意，點 P 的坐標要分兩

5、種情況討論。設點 P 的坐標為 (x,，-2x)1）若點 P 在第二象限，則 SABPS AOBS POB根據(jù)題意，得 8= 1BO xA 1BOxP228=1 4 21 4 xP解得 xP=2又點 P 在第二象限， xP =-2點 P 的坐標為 (-2 ，4)222）若點 P 在第二象限，則 ABP POB AOB根據(jù)題意，得11SSS8= 4 xP4 222解得 xP =6又點 P 在第四象限， xP =6點 P 的坐標為 (6 ， -12)在正比例函數(shù)圖像上適合條件的P 點有兩個： (-2，4) ，(6 ，-12)熱身練習1下列關系中的兩個量成正比例的是（C ）A從甲地到乙地，所用的時間

6、和速度；B 正方形的面積與邊長C買同樣的作業(yè)本所要的錢數(shù)和作業(yè)本的數(shù)量；D人的體重與身高2下列函數(shù)中， y 是 x 的正比例函數(shù)的是（C ）Ay=4x+1By=2x2Cy=-5 xDy=x3下列說法中不成立的是（D）A 在 y=3x-1 中 y+1 與 x 成正比例； B 在 y=- x 中 y 與 x 成正比例2C 在 y=2（x+1）中 y 與 x+1 成正比例； D在 y=x+3 中 y 與 x 成正比例4若函數(shù) y=（2m+6）x2+（1-m） x 是正比例函數(shù)，則m的值是（ A ）Am=-3B m=1C m=3Dm>-35已知（x1，y1）和（x2 ，y2）是直線 y=-3x

7、上的兩點，且 x1>x2 ，則 y1 與 y2?的大小關系是（ B）Ay1>y2By1<y2Cy1=y2D以上都有可能6下列函數(shù)中，正比例函數(shù)是： （D）'.A y22 4225xByx1C yxD yx5557形如 _y=kx(k0)_的函數(shù)是正比例函數(shù)8若 x、y 是變量，且函數(shù)y=（k+1） xk2 是正比例函數(shù)，則k=_1_9正比例函數(shù)y=kx（ k 為常數(shù)， k<0）的圖象依次經(jīng)過第 _二、四 _象限，函數(shù)值隨自變量的增大而 _減小 _10已知 y 與 x成正比例，且 x=2 時 y=-6 ，則 y=9 時 x=_-3_11已知 y( m3)x m28

8、 是正比例函數(shù)，則 m = 312函數(shù) y(m2) x2n1m n ，當 m= 0，n= 0時為正比例函數(shù)；自我測試1已知 y 是 x 的正比例函數(shù)， 且當 x=2 時，y=2，求 y 與 x 之間的比例系數(shù)， 寫出函數(shù)解析式，并求當 y= 4 3 時， x 的值。解： y 是 x 的正比例函數(shù)，設函數(shù)解析式為y=kx(k 0)當 x=2 時， y=2 k=2 ，解得 k=2函數(shù)解析式為y=2 x當 y= 4 3 時，即2 x= 4 3 ，解得 x= 2 6 .2已知正比例函數(shù) y=(5-2k)x 的圖像經(jīng)過第二、四象限，求 k 的取值范圍。解：正比例函數(shù) y=(5-2k)x 的圖像經(jīng)過第二、

9、四象限 5-2k<0 ，解得 k 523. 已知 2y-3 與 4x+5 成正比例，且當 x=1 時， y=15，求 y 與 x 的函數(shù)關系式。解： 2y-3 與 4x+5 成正比例設解析式為 2y-3=k(4x+5) (k 0)將 x=1，y=15 代入解析式，得 2× 15-3=（4×1+5）k, 解得 k=3解析式為 2y-3=3 × (4x+5)，即 y=6x+9'.24. 函數(shù) y=(k-2) x(k是正比例函數(shù)，且 y 的值隨著 x 的減小而增大，求 k 的值。2)解：函數(shù) y=(k-2)x( k 2)2 是正比例函數(shù)， k-2 0 且（

10、 k-2 ） 2=1, 解得 k=3 或 k=1 y 的值隨著 x 的減小而增大 k-2<0 ，解得 k<2 k=15. 已知 y=(k-2)x+ k 2 +k-6 為正比例函數(shù)。（1） 求 k 的值及函數(shù)解析式（2） 當 x 取什么值時，函數(shù)的值為34解： (1) y=(k-2)x+k2k20+k-6 為正比例函數(shù)2k6 0k，解得 k=-3 函數(shù)解析式為y= -5x(2) y= -5x=3 ，解得 x=34206. 一個正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點 A（-1 ，3）， B(-a ， -a-1) ，求 a 的值。解：設正比例函數(shù)的解析式為 y=kx (k 0)函數(shù)的圖像經(jīng)過點 A（-1

11、 ，3）， B(-a ， -a-1)3k代入解析式，得到1 kaa1解得 k= -3 ， a=1 a 的值為47. 已知點 P（2a，3b）且 a 與 b 互為相反數(shù)，過點 P 作 y 軸的垂線，垂足為點 H；如果 S POH15 。求： (1) 直線 OP的解析式； (2) 點 P 的坐標。解：點 P（2a， 3b）且 a 與 b 互為相反數(shù)點 P 也可表示為（ 2a,-3a ），點 P 在第二或第四象限（如圖） SPOH 15 12a? -3a =15，解得 a=± 52點 P坐標為（ 25 ，-35）或（-2 5，3 5）'.設直線 OP解析式為 y=kx（ k 0），

12、將點 P 坐標帶入，解得k=- 323直線 OP解析式為 y=-x8. 點燃的蠟燭，長度按照與時間成正比例縮短， 一支長 21cm的蠟燭，點燃 6 分鐘后，縮短 3.6cm.設蠟燭點燃 x 分鐘后，縮短 y cm，求 y 的函數(shù)解析式和x 的取值范圍。解： y 與 x 成正比例，設 y 與 x 的函數(shù)解析式為 y=kx (k 0)根據(jù)題意，將 x=6， y=3.6 代入解析式，得k= 3.6 =3653函數(shù)解析式為y=xy21， x35 x 0， x 的取值范圍是 0x35.9. 已知正比例函數(shù)圖像過點（ -2,5 ），過圖像上一點 A 作 y 軸的垂線，垂足為 B 的坐標為（ 0，-3 ）；

13、（1）求函數(shù)解析式（2）在直角坐標平面內(nèi)畫出函數(shù)圖像；（3）求 A 點坐標及 S AOB解： (1) 設正比例函數(shù)解析式為 y=kx(k 0)將（ -2 ， 5）代入解析式，解得 k= 5函數(shù)解析式為 y=5 x22(2) 函數(shù)圖像見圖：(3) 將 y=-3 代入解析式，得 x= 6, A點坐標（ 6，-3）SAOB =1 × 6×3= 955255'.10. 已知直線 y=kx 過點（1，），為y=kx圖像上的一點， 過點A向x軸引垂線，垂足為點，3 AB2SAOB =5(1) 求函數(shù)解析式(2) 在直角坐標平面內(nèi)畫出函數(shù)圖像；(3) 求 A 點、 B點的坐標。解： (1)設正比例函數(shù)解析式為y=kx(k 0)將（1 ，3）代入解析式，解得k=6 函數(shù)解析式為y=6 x2(2) 函數(shù)圖像見下圖：(3) ， 1 xAyA5，即 1 xA6xA5 ，解得 xA=± 15SAOB =5232A（15 ，2 15 ），B（ 1533， 0）或 A（15 ， 2 15 ），B（15 ，0）3311. 已知在正比例函數(shù)f(x)=(2m-3)x2m 2 7 中， y 隨 x 的值減小而減小。（1） （1）求 m的值；2（2） （2）求 f();（3） （