三垂線(xiàn)定理及其逆定理-教案

1、教案：三垂線(xiàn)定理及其逆定理（復(fù)習(xí)課）（教材：人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下A） （課教師：貴州省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李仕魁）課題：三垂線(xiàn)定理及其逆定理（復(fù)習(xí)課）教學(xué)目的：1、知識(shí)目標(biāo)：進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線(xiàn)定理及其逆定理。 2、能力目標(biāo)：（1）理解三垂線(xiàn)定理及其逆定理之間的關(guān)系，掌握三垂線(xiàn)定理及其逆定理應(yīng)用的規(guī)律；（2）善于在復(fù)雜圖形中分離出適用的直線(xiàn)用于解題；（3）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、思維能力和解決問(wèn)題的能力3、德育目標(biāo)：通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練滲透化繁為簡(jiǎn)的思想和轉(zhuǎn)化的思想教學(xué)重點(diǎn)：進(jìn)一步掌握三垂線(xiàn)定理及其逆定理并應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)雜圖形如何分離出符合定理的條件用以解

2、題以及解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)授課類(lèi)型：復(fù)習(xí)課教學(xué)模式：講練結(jié)合 教學(xué)過(guò)程：環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)導(dǎo)入教師給出三垂線(xiàn)定理及其逆定理，然后提出問(wèn)題：三垂線(xiàn)定理及其逆定理彼此獨(dú)立嗎？它們的位置能不能交換一下？ （引發(fā)學(xué)生對(duì)三垂線(xiàn)定理及其逆定理的關(guān)系的思考，分析三垂線(xiàn)定理及其逆定理的內(nèi)容）環(huán)節(jié)2：三垂線(xiàn)定理及其逆定理的剖析1、認(rèn)識(shí)三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么，它就和這條斜線(xiàn)垂直。問(wèn)題：正定理研究的是哪兩條線(xiàn)的垂直關(guān)系？它是如何解決的？解決問(wèn)題的主要思想使什么？設(shè)置目的：讓學(xué)生通過(guò)分析得出三垂線(xiàn)定理是通過(guò)判斷平面內(nèi)的直線(xiàn)與斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直來(lái)得到這條直線(xiàn)與斜線(xiàn)的垂直關(guān)

3、系，即 線(xiàn)射垂直 線(xiàn)斜垂直 （平面問(wèn)題） （空間問(wèn)題） 從而讓學(xué)生體會(huì)三垂線(xiàn)定理中蘊(yùn)含的降維思想：把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。2、認(rèn)識(shí)三垂線(xiàn)定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)的射影垂直。問(wèn)題：逆定理研究的又是哪兩條直線(xiàn)的垂直關(guān)系？它又是如何解決的？設(shè)置目的：讓學(xué)生類(lèi)比三垂線(xiàn)定理的分析思路得出三垂線(xiàn)定理的已知和結(jié)論： 線(xiàn)斜垂直 線(xiàn)射垂直 （空間問(wèn)題） （平面問(wèn)題）教師再引導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)學(xué)思想：把空間中的條件歸結(jié)到同一個(gè)平面中，這在解題中是非常重要的，把已知條件相對(duì)集中是解題的第一步。3、討論正定理與逆定理的關(guān)系： 正定理線(xiàn)射垂直 線(xiàn)斜垂直 （平面

4、問(wèn)題） 逆定理 （空間問(wèn)題）從而得出兩個(gè)定理的關(guān)系： （教師板書(shū)）正定理：線(xiàn)射垂直線(xiàn)斜垂直（先平面后空間） 逆定理：線(xiàn)斜垂直線(xiàn)射垂直（先空間后平面）4、總結(jié)應(yīng)用兩個(gè)定理解題的一般步驟教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)定理內(nèi)容的再認(rèn)識(shí)，提取應(yīng)用兩個(gè)定理解題的一般步驟。（出示幻燈片）基準(zhǔn)平面主線(xiàn)垂線(xiàn)正定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么，它就和這條斜線(xiàn)垂直。定 定 找逆定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)的射影垂直。環(huán)節(jié)3、定理應(yīng)用舉例 應(yīng)用一、證明線(xiàn)線(xiàn)垂直例1、判斷下列命題的真假：（1）若a是平面的斜線(xiàn)，直線(xiàn)b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 ab

5、（ ）（2）若 a是平面的斜線(xiàn)，平面內(nèi)的直線(xiàn)b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 ab （ ）（3）若a是平面的斜線(xiàn)，直線(xiàn)b 且b垂直于a在另一平面內(nèi)的射影，則ab （ ）（4）若a是平面的斜線(xiàn),b,直線(xiàn) b垂直于a在平面內(nèi)的射影，則 ab （ ）設(shè)置目的：加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，明確定理使用的條件，同時(shí)讓學(xué)生能較好地理解三垂線(xiàn)定理及其逆定理中五個(gè)元素“一面四線(xiàn)”之間的關(guān)系。教學(xué)安排：安排四個(gè)學(xué)生口答，教師組織其他學(xué)生討論，教師點(diǎn)評(píng)強(qiáng)調(diào)運(yùn)用定理時(shí)需要注意的地方。例2、已知P 是平面ABC 外一點(diǎn)， PA平面ABC ，AC BC， 求證： PC BC。設(shè)置目的：讓學(xué)生逐步掌握應(yīng)用定理證明兩條直線(xiàn)垂直的

6、一般步驟，鞏固學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)；通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決讓學(xué)生能夠區(qū)分正定理和逆定理，在解題時(shí)能夠正確的選用；題中沒(méi)有配圖，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)已知信息畫(huà)出幾何圖形。教學(xué)安排：教師先給出題干部分，讓學(xué)生根據(jù)已知信息畫(huà)出幾何圖形，教師再給出問(wèn)題。由于題目并不難，可以由學(xué)生討論解決，但這里主要是組織學(xué)生對(duì)運(yùn)用三垂線(xiàn)定理解題的步驟的歸納。例3、在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD，求證：ADBC。設(shè)置目的：進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)運(yùn)用定理解題時(shí)的解題步驟地理解和掌握；讓學(xué)生在解題中逐步學(xué)會(huì)通過(guò)尋找垂線(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)兩種線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，ADBC是空間兩條直線(xiàn)的垂直，通過(guò)正定理可以把它轉(zhuǎn)化為基準(zhǔn)平面內(nèi)的線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題

7、，再利用逆定理把已知中的異面垂直關(guān)系集中到基準(zhǔn)平面內(nèi)，實(shí)現(xiàn)已知與未知的對(duì)接。教學(xué)安排：學(xué)生討論完成，教師歸納方法。應(yīng)用二、作出二面角的平面角問(wèn)題1：我們知道利用幾何法求二面角的大小時(shí)第一步就是要作出二面角的平面角，那么求作二面角的平面角的常用方法有哪些？教學(xué)安排：學(xué)生討論，歸納出求作二面角平面角的三種方法即定義法（、垂面法、垂線(xiàn)法。問(wèn)題2：為什么利用三垂線(xiàn)定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)三垂線(xiàn)定理及其逆定理的結(jié)論，同時(shí)鞏固學(xué)生對(duì)二面角的平面角定義的理解）教學(xué)安排：教師展示利用三垂線(xiàn)定理及其逆定理求作二面角的平面角的過(guò)程，其中重點(diǎn)是構(gòu)造另一個(gè)半平面。教師動(dòng)畫(huà)展示過(guò)程：平移平

8、面內(nèi)的直線(xiàn)a與斜線(xiàn)PO相交，從而利用相交直線(xiàn)作出平面，產(chǎn)生二面角，此時(shí)斜線(xiàn)PO與射影AO就形成了二面角的平面角。教師再點(diǎn)明問(wèn)題中主線(xiàn)就是二面角的棱。 P P P a A a A O A O A O 例4、在四棱錐P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，側(cè)棱PD 底面ABCD，PD =DC，求二面角C PB D的大小。設(shè)置目的：讓學(xué)生熟悉利用三垂線(xiàn)定理及其逆定理求作二面角的平面角的基本方法，讓學(xué)生體會(huì)到三垂線(xiàn)定理及其逆定理在求解二面角問(wèn)題中的應(yīng)用。教師安排：讓學(xué)生思考后討論解法，教師板書(shū)示范，這里強(qiáng)調(diào)幾何證法。環(huán)節(jié)4、課堂小結(jié)問(wèn)題：今天，我們研究了哪些問(wèn)題？（學(xué)生討論，歸納總結(jié)這節(jié)課的研究的主要內(nèi)容，教師出示幻燈片） v1、認(rèn)識(shí)三垂線(xiàn)定理與其逆定理的內(nèi)容和關(guān)系： 正定理：線(xiàn)射垂直線(xiàn)斜垂直（先平面，后空間）逆定理：線(xiàn)斜垂直線(xiàn)射垂直（先空間，后平面）2、利用兩個(gè)定理解題的基本思路：定基準(zhǔn)平面定主線(xiàn)找垂線(xiàn)3、兩個(gè)定理的主要應(yīng)用：（1）證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）尋找二面角的平面角。環(huán)節(jié)5、布置課外作業(yè) （出示幻燈片） 在四棱錐P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，側(cè)棱PD 底面ABCD，PD =DC，E 是P