橢圓的簡單幾何性質(zhì)(直線與橢圓的弦長公式)

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)( (第三課時(shí)第三課時(shí)) )直線與橢圓的弦長公式直線與橢圓的弦長公式富源二中：何慧麗1. 傾斜角、斜率：傾斜角、斜率：問題問題1 1：一、有關(guān)直線問題：一、有關(guān)直線問題2121tanyykxx（5）一般式：）一般式：（4）截距式：）截距式：（3）兩點(diǎn)式：）兩點(diǎn)式：（1）點(diǎn)斜式：）點(diǎn)斜式：（2）斜截式：）斜截式：2. 直線方程的五種形式直線方程的五種形式.()yyk xxykxb112121yyxxyyxx1xyab0axbyc3. 兩條直線的平行與垂直兩條直線的平行與垂直平行：平行：垂直：垂直：4.兩條平行線兩條平行線l1：ax+by+c1=0，l2：ax+

2、by+c2=0的距離的距離為：為：2221baccd1212/ /llkk12121llk k 問題問題2：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？幾何法：幾何法： drd=rdr代數(shù)法：代數(shù)法：0思考思考:直線與橢圓有幾種位置關(guān)直線與橢圓有幾種位置關(guān)系呢？系呢？一、直線與橢圓的位置關(guān)系一、直線與橢圓的位置關(guān)系問題問題3：怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？能用幾何法嗎？：怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？能用幾何法嗎？不能！不能！因?yàn)樗麄儾幌駡A一樣有統(tǒng)一的半徑。因?yàn)樗麄儾幌駡A一樣有統(tǒng)一的半徑。所以只能用代數(shù)法所以只能用代數(shù)法 直線與

3、橢圓的位置關(guān)系的判定直線與橢圓的位置關(guān)系的判定mx2+nx+p=0（m 0）方程組無解方程組無解相離相離無交點(diǎn)無交點(diǎn)方程組有一解方程組有一解相切相切一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交方程組有兩解方程組有兩解兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)代數(shù)方法代數(shù)方法由方程組：由方程組：222201axbycxyab= n2-4mp0消去消去y這是求解直線與這是求解直線與二次曲線有關(guān)問二次曲線有關(guān)問題的通法。題的通法。例例1、對(duì)不同的實(shí)數(shù)值、對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線，討論直線y=x+m與橢圓與橢圓2214xy的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。回憶：直線與圓的相交弦長回憶：直線與圓的相交弦長弦長公式：弦長公式：222lrd推導(dǎo)：推導(dǎo)：設(shè)直線與

4、橢圓交于設(shè)直線與橢圓交于p1(x1,y1)，p2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線斜率為兩點(diǎn)，直線斜率為k弦長公式：弦長公式：2221212121221|1()41()4abkxxx xyyy yk二、直線與橢圓的相交弦長二、直線與橢圓的相交弦長其中 、 可以由韋達(dá)定理求得12xx12x x例例2：已知斜率為：已知斜率為1的直線的直線l過橢圓過橢圓 的右焦點(diǎn)，的右焦點(diǎn)，交橢圓于交橢圓于a，b兩點(diǎn)，求弦兩點(diǎn)，求弦ab之長之長方法與過程：(1)聯(lián)立方程組；(2)消去其中一個(gè)未知數(shù)，得到二元一次方程；(3)韋達(dá)定理；(4)弦長公式.2、過橢圓、過橢圓 的左焦點(diǎn)作傾斜角為的左焦點(diǎn)作傾斜角為 的直的直線，求弦長線

5、，求弦長ab。2224xy30課堂練習(xí)課堂練習(xí)1、過點(diǎn)、過點(diǎn)a(5,5)與橢圓與橢圓 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（有（ ）a.0條條 b.1條條 c.2條條 d.3條條1162522 yxa的坐標(biāo)變?yōu)榈淖鴺?biāo)變?yōu)?(0,2)，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？ 3、 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，判斷點(diǎn)，判斷點(diǎn)a(1,1)與與橢圓的位置關(guān)系橢圓的位置關(guān)系,你能求出以你能求出以a為中點(diǎn)橢圓為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程嗎？的弦所在的直線方程嗎？例例 ：已知橢圓：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)p(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解

6、法一：解法一：韋達(dá)定理韋達(dá)定理中點(diǎn)坐標(biāo)斜率斜率三、弦中點(diǎn)問題三、弦中點(diǎn)問題課后探討第二種解法課后探討第二種解法例例 ：已知橢圓：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)p(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解法一：解法一：韋達(dá)定理韋達(dá)定理中點(diǎn)坐標(biāo)斜率斜率三、弦中點(diǎn)問題三、弦中點(diǎn)問題課后探討第二種解法課后探討第二種解法例例 ：已知橢圓：已知橢圓 過點(diǎn)過點(diǎn)p(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被引一弦，使弦在這點(diǎn)被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解法一：解法一：韋達(dá)定理韋達(dá)定理中點(diǎn)坐標(biāo)斜率斜率三、弦中點(diǎn)問題三、弦中點(diǎn)問題課后探討第二種

7、解法課后探討第二種解法點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造 出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而a ,b在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過a,b兩點(diǎn)的直線有且只有一條兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)中點(diǎn)”這這一一 條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，練習(xí)：練習(xí)：1、如果橢圓被、如果橢圓被 的弦被點(diǎn)（的弦被點(diǎn)（4，2）平分，）平分，求這條弦所在直線方程。求這條弦所在直線方程。193622yx2、弦長弦長的計(jì)算方法：的計(jì)算方法：弦長公式：弦長公式： |ab|= = （適用于任何曲線）（適用于任何曲線） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 結(jié)結(jié)1、直線與橢圓的位置關(guān)系及其判斷方法、直線與橢圓的位置關(guān)系及其判斷方法3、弦中點(diǎn)問題弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法：的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理； （2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減