比較二次根式大小的巧妙方法

1、比較二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中數(shù)學(xué)中的根底知識(shí)，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)容；而比較二次根式的大小又是二次根式知識(shí)中的難點(diǎn)，也是中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見的題型，經(jīng)常會(huì)考到不查表、 不求二次根式的值，來(lái)比較幾個(gè)不含分母的二次根式的大小的問題。盡管教材上介紹了比較二次根式大小的幾種根本方法，如求近似值法、比較被開方數(shù)法等， 盡管很多教輔材料中也總結(jié)了不少諸如“作差、“做商、“有理化、“取倒數(shù)、“平方等方法，但許多 學(xué)生在考試中仍顯得力不從心，并不清楚到底什么時(shí)候用哪種方法最適宜？解答這類題目時(shí) 缺少方法與對(duì)策，以至于無(wú)從下手。下面就舉例介紹幾種比較二次根式大小的有效方法。一、移動(dòng)因式法此法好學(xué)

2、，適用。就是將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小。例1:比較的大小。解：/二、運(yùn)用平方法兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為比較幕的大小。此法的依據(jù)是：兩個(gè)正數(shù)的平方是正數(shù)，平方大 的數(shù)就大；兩個(gè)負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)，平方大的數(shù)反而小。例2 :比較與的大小。解：0, 0/.四、分子有理化法此法是先將各自的分子有理化，再比較大小。例4:比較與的大小解：T五、求差或求商法求差法的根本思路是：設(shè)為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出與的差，再根據(jù)“當(dāng)v0時(shí)，v；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)0時(shí)，來(lái)比較與的大小。求商法的根本思路是： 設(shè)為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)， 先求出與的商，再根據(jù)“同號(hào)：當(dāng)1時(shí), ；=1時(shí)，；v 1時(shí)，V。異號(hào)：正數(shù)大于負(fù)數(shù)

3、來(lái)比較與的大小。例5:比較的大小。解： v例6:比較的大小。解： 1 六、求倒數(shù)法先求兩數(shù)的倒數(shù)，而后再進(jìn)展比較。例7:比較的大小。解：T/.七、運(yùn)用媒介法此法是借助中間量定量或變量巧妙轉(zhuǎn)換到達(dá)直觀比較的方法，類似于解方程中的換元法。例8：，試比較的大小。解：設(shè)，那么，,，即八、設(shè)特定值法如果要比較的二次根式中含有字母，為了快速比較，解答時(shí)可在許可的條件下設(shè)定特殊值來(lái)進(jìn)展比較。例9 :比較與的大小。解：設(shè)，那么：=1,=/九、局部縮放法如果要比較的二次根式一眼看不出有什么特點(diǎn)，又不準(zhǔn)求近似值，可采取局部縮放法， 以確定它們的取值圍，從而到達(dá)比較大小的目的。例10:比較的大小。解：設(shè)，, 7VV

4、 8，即 7VV 8,8vv 9, 即卩 8vv 9 V,即V例11:比較與的大小。解：十、“結(jié)論推理法通過(guò)二次根式的不斷學(xué)習(xí)，不難得出這樣的結(jié)論：“0，利用此結(jié)論也可以比較一些二次根式的大小結(jié)論證明見文末。例12：比較1與的大小。解：，由 0可知：即又 , 即 卩 1 總的來(lái)說(shuō)，比較二次根式大小的方法不僅僅局限于以上十種，除此之外諸如移項(xiàng)、 拆項(xiàng)法，類比推理法，數(shù)形結(jié)合法，數(shù)軸法，還有假設(shè)推理法等等，但不管使用哪種方法，都必 須在掌握二次根式的根本性質(zhì)和運(yùn)算法那么上進(jìn)展，要根據(jù)問題的特征，二次根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，多角度地探索思考， 做到具體問題具體分析， 針對(duì)不同問題采取不同的策略，另外還應(yīng)多做

5、這方面的訓(xùn)練，方能到達(dá)熟練而又快捷，運(yùn)用自如的程度。附：“ 0的證明。證明 0【典題新練】：1、比較與的大?。?、比較與的大小；3、比較與的大?。?、比較與的大小；5、比較與的大?。?、比較與的大小其中為正整數(shù)7、設(shè)，試比較它們的大?。?、比較與的大小；9、比較與的大?。?0、比較與的大小；11、比較與的大?。?2、比較的大小；13、比較與的大?。?4、比較與的大小；15、假設(shè)為正整數(shù)，試比較的大小;16、比較的大??；17、比較與的大小。【典題新練參考答案】：1、提示：，,3、提示：可利用0。，即4、提示：分母有理化后再進(jìn)展比較。,即故7、提示：設(shè)，那么：，/ .,.8、平方后再進(jìn)展比較。9、提示：I 2vv 3, 7vv 8,12、提示：，而7VV 8,二的整數(shù)局部為 7。同樣可得的整數(shù)局部為8,. 14、提示：平方后再比較大小。, v15、 提示：由偶次根式的定義得，2021,. 0,v 0,二16、提示：由，設(shè)，那么 4,兩邊平方得： 16,二 4，這與=4相矛盾，假設(shè)不成立，故V。17、提示：可在方格紙或坐標(biāo)紙上作折線圖。，例如如以下圖