高中數(shù)學配套同課異構31回歸分析的基本思想及其初步應用人教A版選修2-3ppt課件

1、 第三章第三章 統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例3.1 3.1 回歸分析的根本思想及其回歸分析的根本思想及其初步運用初步運用 比中“回歸添加的內(nèi)容數(shù)學數(shù)學統(tǒng)計統(tǒng)計畫散點圖畫散點圖了解最小二乘法的思了解最小二乘法的思想想求回歸直線方程求回歸直線方程y ybxbxa a用回歸直線方程處理用回歸直線方程處理運用問題運用問題選修2-3統(tǒng)計案例引入線性回歸模型ybxae了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的緣由了解殘差圖的作用了解相關指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關系利用線性回歸模型處理一類非線性回歸問題正確了解分析方法與結果回歸分析的內(nèi)容：回歸分析的內(nèi)容： 中，已對具有相關關系的變量利用回歸分析的方法進展了研討，其步驟為畫

2、散點圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進展預告。 回歸分析對具有相關關系的兩個變量進展統(tǒng)計分析的一種常用的方法，也就是經(jīng)過一個變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。最小二乘法：最小二乘法： y = bx+a(x,y)(x,y)稱為樣本點的中心?；貧w直線過樣稱為樣本點的中心?；貧w直線過樣本點中心本點中心n n( (x x- - x x) )( (y y- - y y) )i ii ii i= =1 1b b = =n n2 2( (x x- - x x) )i ii i= =1 1a a = = y y - - b bx x. .n nn n1 11 1其其 中中 x x = =x x ,

3、,y y = =y y . .i ii in nn ni i= =1 1i i= =1 1n niiiii=1i=1n n2 22 2i ii=1i=1x y -nxyx y -nxy=,=,x-nxx-nx例例1 從某大學中隨機選取從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預告她的體重的回歸方程，并預告一名身高為求根據(jù)一名女大學生的身高預告她的體重的回歸方程，并預告一名身高為1

4、72cm的女大學生的體重。的女大學生的體重。案例案例1：女大學生的身高與體重：女大學生的身高與體重解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重為，體重為因變量因變量y，作散點圖：，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程描寫它們之間的關系。回歸方程描寫它們之間的關系。分析：由于問題中要求根據(jù)身高預告體重，因此分析：由于問題中要求根據(jù)身高預告體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量選取身高為自變量，體重為因變量172.85849. 0 xy學學身身高高1 17 72 2c cm m女

5、女大大生生體體重重y y = = 0 0. .8 84 49 91 17 72 2- -8 85 5. .7 71 12 2 = = 6 60 0. .3 31 16 6( (k kg g) )2.2.回歸方程：回歸方程：1. 散點圖；散點圖；探求：探求：身高為身高為172cm的女大學生的體重一定是的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？假設不是，他能解析一下緣由嗎？嗎？假設不是，他能解析一下緣由嗎？答：身高為答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是的女大學生的體重不一定是60.316kg，但普通可以以為她的體重接近于，但普通可以以為她的體重接近于60.316kg。即，用這個回歸方程不能

6、給出每個身高為即，用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，只能給出她們平均的女大學生的體重的預測值，只能給出她們平均體重的值。體重的值。例例1 從某大學中隨機選取從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。所示。編號12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學生的身高預告求根據(jù)一名女大學生的身高預告她的體重的回歸方程，并預告一她的體重的回歸方程，并預告一名身高為名身高為172cm的女大學生的體重。的女大學生的體重。

7、案例案例1：女大學生的身高與體重：女大學生的身高與體重解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重，體重為因變量為因變量y，作散點圖：，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程描寫它們之間的關系?；貧w方程描寫它們之間的關系。3、從散點圖還看到，樣本點分布在、從散點圖還看到，樣本點分布在某一條直線的附近，而不是在一條某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描畫它們關系。描畫它們關系。函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之

8、間的差別函數(shù)模型：abxy線性回歸模型：eabxy當隨機誤差恒等于當隨機誤差恒等于0時，時，線性回歸模型就變?yōu)楹瘮?shù)模線性回歸模型就變?yōu)楹瘮?shù)模型型函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：abxy回歸模型：eabxy 線性回歸模型y=bx+a+e添加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。 在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預告變量。我們可以用下面的線性回歸模型來表示：我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e， (3)其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。稱為

9、隨機誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.在線性回歸模型在線性回歸模型(4)中，隨機誤差中，隨機誤差e的方差的方差 越小，經(jīng)過越小，經(jīng)過回歸直線回歸直線 (5)2ybxa預告真實值預告真實值y的精度越高。隨機誤差是引起預告值的精度越高。隨機誤差是引起預告值 與真實值與真實值y之間的誤差的緣由之一，其大小取決于隨機誤差的方差。之間的誤差的緣由之一，其大小取決于隨機誤差的方差。y 另一方面，由于公式另一方面，由于公式(1)和和(2)中中 和和 為截距和斜率的估計值，為截距和斜率的估計值，它們與真實值它們與真實值a和和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預告值之間也存在誤差，這種

10、誤差是引起預告值與真實值與真實值y之間誤差的另一個緣由。之間誤差的另一個緣由。 y ab思索思索:產(chǎn)生隨機誤差項產(chǎn)生隨機誤差項e的緣由是什么？的緣由是什么？隨機誤差隨機誤差e e的來源的來源( (可以推行到普通：可以推行到普通：1 1、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；差；2 2、忽略了其它要素的影響：影響身高、忽略了其它要素的影響：影響身高 y y 的的要素不只是體重要素不只是體重 x x，能夠還包括遺傳基因、，能夠還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等要素；飲食習慣、生長環(huán)境等要素；3 3、身高、身高 y y 的觀測誤差。的觀測誤差。 以上三項誤差

11、越小，闡明我們的回歸模型以上三項誤差越小，闡明我們的回歸模型的擬合效果越好。的擬合效果越好。探求探求:e 是是 用預告真實值用預告真實值Y的的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么怎樣研討隨機誤差呢？那么怎樣研討隨機誤差呢？abx 回歸模型：eabxyybxaeyyiiiiieyyybxa其估計值為其估計值為而言，它們的隨機誤差而言，它們的隨機誤差對于樣本點對于樣本點表表3-2列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。 在研討兩個變量間的關系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判別它們能否線性相關，在研討兩個

12、變量間的關系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判別它們能否線性相關，能否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。能否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以經(jīng)過殘差然后，我們可以經(jīng)過殘差 來判別模型擬合的效果，判別原始來判別模型擬合的效果，判別原始數(shù)據(jù)中能否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析任務稱為殘差分析。數(shù)據(jù)中能否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析任務稱為殘差分析。12,ne ee 編號編號12345678身高身高/cm165165157170175165155170體重體重/kg4857505464614359殘差殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.

13、627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。殘差圖的制造及作用。殘差圖的制造及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；假設模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸假設模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別留意。對于遠離橫軸的點，要特別留意

14、。身高與體重殘差圖異常點 錯誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點闡明：幾點闡明： 第一個樣本點和第第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需求確認在采集過程中能否有人為個樣本點的殘差比較大，需求確認在采集過程中能否有人為的錯誤。假設數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)的錯誤。假設數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；假設數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，那么需求尋覓其他的緣由。據(jù)；假設數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，那么需求尋覓其他的緣由。 另外，殘差點比較均勻地落在程度的帶狀區(qū)域中，闡明選用的模型計較適宜，這另外，殘差點比較均勻地落在程度的帶狀區(qū)域中，闡明選用的模型計較適宜，這樣的帶狀

15、區(qū)域的寬度越窄，闡明模型擬合精度越高，回歸方程的預告精度越高。樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，闡明模型擬合精度越高，回歸方程的預告精度越高。顯然，顯然，R2的值越大，闡明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。的值越大，闡明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預告變量變化的奉獻率。表示解析變量對預告變量變化的奉獻率。 R2越接近1，表示回歸的效果越好由于R2越接近1，表示解析變量和預告變量的線性相關性越強。 假設某組數(shù)據(jù)能夠采取幾種不同回歸方程進展回歸分析，那么可以經(jīng)過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f

16、：總的來說：相關指數(shù)相關指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種目的。是度量模型擬合效果的一種目的。在線性模型中，它代表自變量描寫預告變量的才干。在線性模型中，它代表自變量描寫預告變量的才干。我們可以用相關指數(shù)我們可以用相關指數(shù)R2來描寫回歸的效果，其計算公式是來描寫回歸的效果，其計算公式是22121()11()niiiniiyyRyy殘差平方和?？偲钇椒胶?354總計0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機誤差比例平方和來源表表1-3 從表從表3-1中可以看出，解析變量對總效應約奉獻了中可以看出，解析變量對總效應約奉獻了64%，即，即R2 0.64，可以表達為，可以表達為“身高解析

17、了身高解析了64%的體重變化，而隨機誤差奉獻了剩余的的體重變化，而隨機誤差奉獻了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。我們可以用相關指數(shù)我們可以用相關指數(shù)R2來描寫回歸的效果，其計算公式是來描寫回歸的效果，其計算公式是22121()11()niiiniiyyRyy殘差平方和?？偲钇椒胶陀蒙砀哳A告體重時，需求留意以下問題：用身高預告體重時，需求留意以下問題：1、回歸方程只適用于我們所研討的樣本的總體；、回歸方程只適用于我們所研討的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程普通都有時間性；、我們所建立的回歸方程普通都有時間性；3、樣

18、本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預告值就是預告變量的準確值。、不能期望回歸方程得到的預告值就是預告變量的準確值。 現(xiàn)實上，它是預告變量的能夠取值的平均值?，F(xiàn)實上，它是預告變量的能夠取值的平均值。這些問題也運用于其他問題。這些問題也運用于其他問題。涉及到統(tǒng)計的一些思想：涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型適用的總體；模型的時間性；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預告結果的正確了解。模型預告結果的正確了解。小結小結普通地，建立回歸模型的根本步驟為：普通地，建立回歸模型的根本步驟

19、為：1確定研討對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預告變量。確定研討對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預告變量。2畫出確定好的解析變量和預告變量的散點圖，察看它們之間的關系畫出確定好的解析變量和預告變量的散點圖，察看它們之間的關系 如能否存在線性關系等。如能否存在線性關系等。3由閱歷確定回歸方程的類型如我們察看到數(shù)據(jù)呈線性關系，那由閱歷確定回歸方程的類型如我們察看到數(shù)據(jù)呈線性關系，那么選用線性回歸方程么選用線性回歸方程y=bx+a.4按一定規(guī)那么估計回歸方程中的參數(shù)如最小二乘法。按一定規(guī)那么估計回歸方程中的參數(shù)如最小二乘法。5得出結果后分析殘差圖能否有異常個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘得

20、出結果后分析殘差圖能否有異常個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等，過存在異常，那么檢查數(shù)據(jù)能否有誤，差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等，過存在異常，那么檢查數(shù)據(jù)能否有誤，或模型能否適宜等?；蚰Ｐ湍芊襁m宜等。相關系數(shù)相關系數(shù)v 1. 1.計算公式計算公式v2 2相關系數(shù)的性質相關系數(shù)的性質v(1)|r|1(1)|r|1v(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相關程度越大；，相關程度越大；|r|r|越接越接近于近于0 0，相關程度越小，相關程度越小v問題：到達怎樣程度，問題：到達怎樣程度，x x、y y線性相關呢？它線性相關呢？它們的相關程度怎樣呢？們的相關程度怎樣呢？n ni

21、ii ii i= =1 1n nn n2 22 2i ii ii i= =1 1i i= =1 1( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )r r = =( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )負相關負相關正相關正相關n n(x -x)(y -y)(x -x)(y -y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x -x) (y -y)(x -x) (y -y)iiiii=1i=1i=1i=1相關系數(shù)相關系數(shù)正相關；負相關通常，正相關；負相關通常， r-1,-0.75-r-1,-0.75-負相關很強負相關很強; ; r0.75,1r0.

22、75,1正相關很強正相關很強; ; r-0.75,-0.3-r-0.75,-0.3-負相關普通負相關普通; ; r0.3, 0.75r0.3, 0.75正相關普通正相關普通; ; r-0.25, 0.25-r-0.25, 0.25-相關性較弱相關性較弱; ; 例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度與溫度x有關有關,現(xiàn)搜集現(xiàn)搜集了了7組觀測數(shù)據(jù)組觀測數(shù)據(jù),試建立試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 解解:1):1)作散點圖作散點圖; ;從散點圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關系并不能從散點圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關系并不能用線性回歸模型來很好地近似。這些散點更像是集中用

23、線性回歸模型來很好地近似。這些散點更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。解解: : 令令 那么那么z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出出x x與與z z 的散點圖的散點圖 z =lnyz =lnyx和z之間的關系可以用線性回歸模型來擬合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121232325252727292932323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.045

24、3.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.7842) 2) 用用 y=c3x2+c4 y=c3x2+c4 模型模型, ,令令 , ,那么那么y=c3t+c4 ,y=c3t+c4 ,列列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t t與與y y 的散點圖的散點圖 2 2t t = = x x散點并不集中在一條直線的附近，因此用線散點并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t t44144152952962562572972984184110241024 12251225y y7 71111212124246666115115325325( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3( (2 2) )2 2y y= = e e, ,y y= = 0 0. .3 36 67 7x x - -2 20 02 2. .5 54 4( (1 1) )( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 8