建筑力學課件8平面圖形的幾何性質

1、基本內容與學習要求基本內容與學習要求 掌握平面圖形的形心、靜矩、慣性矩、極慣性矩和平行移軸公式的應用；了解轉軸公式；掌握平面圖形的形心主慣性軸、形心主慣性平面和形心主慣性矩的概念。知識要點與重點難點知識要點與重點難點 靜矩與形心；慣性矩、極慣性矩、慣性積；平行移軸公式；移軸公式；主慣性軸的概念；形心主慣性軸、形心主慣性平面與形心主慣性矩的概念；形心主慣性軸確定、形心主慣性矩計算。一 靜矩、形心及相互關系二 慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑三 平行移軸定理四 轉軸定理五 形心主軸、形心主矩 為什么要研究平面圖形的幾何性質 材料力學的研究對象為桿件,桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。 桿

2、件的承載能力,不僅與截面大小有關,而且與截面的幾何形狀有關。課堂小實驗 相同的材料、相同的截面積,截面的幾何形狀不同,承載能力差異很大。研究平面圖形幾何性質的方法 : 化特殊為一般實際桿件的橫截面平面圖形的幾何性質包括: 形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑 、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、主慣性矩等一 靜矩、形心及相互關系AyAzSdAzAySd:靜矩是對某一坐標軸定義的,靜矩與坐標軸有關截面對某一軸的靜矩等于零,則該軸必通過形心。截面對通過形心軸的靜矩恒等于零。即: 0zcS0ycS: 靜矩與截面尺寸、形狀、軸的位置有關。: 可以為正、或負、或等于零。: mm3 、cm3 、m32211cczyAy

3、AS3213221hahhbhbah262abhzyOC1C20cxASyzcbahbah2262babah23二 慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑AyAzId2AAId2PAyzAyIzdAzAyId2AIiyyAIizzAyAzId2AAId2PAyzAyIzdAzAyId21、慣性矩和慣性積是對一定軸而定義的，而極慣矩，是對點定義的。2、任何平面圖形對于通過其形心的對稱軸和與此對稱軸垂直的軸的慣性積為零。3、對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠，其慣性矩越大。: 截面形狀、尺寸、軸的位置。: 慣性矩、極慣性矩和慣性半徑恒為 正; 慣性積可以為正、為負、為零。: 慣性矩、極慣性

4、矩和慣性積的單位相 同,均為mm4 、cm4 、m4 慣性半徑: mm 、cm 、mhozybydydAyIAz2同理：同理：12332232222hbzhdzhzdAzIbbAybbdybyhh2222233hhyb123bh例題例題 圓截面慣性矩、極慣性矩計算圓截面慣性矩、極慣性矩計算d三 平行移軸定理 移軸定理是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關系。即通過已知圖形對于一對坐標的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標的慣性矩與慣性積。AaIIzcz2abAIIzcyczyCzcycyzObadAczAzdAyI2ACdAay2AcdAy2AcdAya2AdAa2zcIAa2AccyA

5、dAyAbIIycy2在所有相互平行的坐標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小，但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小cy 應用平行移軸定理應注意的問題 兩平行軸中，必須有一軸為形心軸,截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系,應通過平行的形心軸慣性矩來換算。czAyS zb/2b/2h/2h/2Oyz1322hhbh122bhydyAzdAyI2222hhbdyy123bh12213bhIz243bh23221bhhIIzczzc2322bhhhIIzcz262423bhhbhIzc363bhIzc9236331bhbhIx43bh 例題圖示為三個等直徑圓相切的組合問題,求對形心軸zc的慣性矩.O1O2O

6、3zcO2、O3到zc軸的距離dd632331O1到zc軸的距離dd33233222422433464634642ddddddIzc64114d 四 轉軸定理 所謂轉軸定理是研究坐標軸繞原點轉動時，圖形對這些坐標軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。已知已知： Iy、Iz、Iyz、求：求： Iy1、Iz1、Iy1z1五 形心主軸、形心主矩1 主慣性軸、主慣性矩 對于任何形狀的截面,總可以找到一對特殊的直角坐標,使截面對于這一對坐標軸的慣性積等于零。慣性積等于零的一對坐標軸就稱為該截面的主慣性軸,而截面對于主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。2 形心主慣性軸、形心主慣性矩 當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合

7、時,他們就被稱為該截面的形心主慣性軸。而截面對于形心主慣性軸的慣性矩就稱為形心主慣性矩。(1)如果平面圖形有一條對稱軸,則此軸必定是形心主慣性軸,而另一條形心主慣性軸通過形心,并與此軸垂直.CCC觀察法確定形心主軸的位置:(2) 如果平面圖形有兩條對稱軸,則此兩軸都為形心主慣性軸. CCCC(3)如果平面圖形具有三條或更多條對稱軸,那么通過證明后可以知道:過該圖形形心的任何軸都是形心主慣性軸,而且該平面圖形對于其任一形心慣性軸的慣性矩都相等。CCCCC對于沒有對稱軸的截面,其形心主慣性軸的位置通過轉軸定理確定。(1) 矩形截面的形心主慣性矩 123bhIz123hbIy常見截面的形心主矩:64

8、4DIIyz(2) 圓形截面的形心主慣性矩 AyAyiic則則a12cm，a22cm。42323136528421212262121262cmICZ4334036412621226cmICy 2221212211AaIIAaIIZZZZCCZz2zcz1yc1cc26cm2cm6cm2cmy1y2a2a1yc（yc）212211AAyAyA2662126562cm3在下列關于平面圖形的結論中，（ ）是錯誤的。A.圖形的對稱軸必定通過形心；B.圖形兩個對稱軸的交點必為形心；D.使靜矩為零的軸必為對稱軸。C.圖形對對稱軸的靜矩為零；D在平面圖形的幾何性質中，（ ）的值可正、可負、也可為零。A.靜矩

9、和慣性矩；B.極慣性矩和慣性矩；C.慣性矩和慣性積；D.靜矩和慣性積。D 圖示任意形狀截面，它的一個形心軸zc把截面分成和兩部分，在以下各式中，（ ）一定成立。0;.0;.CCCCZZZZIIBIIAZC。AADISC.0;.CCZZC 圖a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面積。設它們對對稱軸x的慣性矩分別為 對對稱軸y的慣性矩分別為 ，則（ ）。axIbxIayIbyIoxy)(aoxy)(b。，；，；，；，babababababababaIIIIDIIIICIIIIBIIIIAxxyyxxyyxxyyxxyy.C圖示半圓形，若圓心位于坐標原點，則（ ）。，；，；，；，yxyxyxyxII.II.II.II.yxyxyxyxSSDSSCSSBSSAxyD 任意圖形的面積為A，x0軸通過形心C， x1 軸和x0軸平行，并相距a，已知圖形對x1 軸的慣性矩是I1，則對x0 軸的慣性矩為（ ）。；AaDAaCAaBA1x021x021x0 x0II.II.II.0I.Ca1x0 xB 設圖示截面對y軸和x軸的慣性矩分別為Iy、Ix，則二者的大小關系是（ ）。不確定。；.DIICIIBIIAxyxyxyyRRR2OxB 圖示任意形狀截面，若Oxy軸為一對主形心軸，則（ ）不是一對主軸。；yxODyxOCxyOBOxyA1311211.1O2OO3O1yyx1xCA.