牧羊人的希望建模

1、數(shù)學建模牧羊人的希望 問題：一個牧羊人擁有xm2的牧場,他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃， 希望能獲得滿意的收獲，他要考慮以下問題：1) 他應該飼養(yǎng)多少只羊？2) 夏季應存儲多少干草用作冬季飼料？3) 為了繁殖，每年應該保留多大比例的母羊？F面是低洼地的某一類草(多年生黑麥草)的近似平均生長率:季節(jié)冬季春季夏季秋季日生長率/g0374般母羊的生育期是58年，每年產(chǎn)一頭，兩頭或三頭.如果每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售，下面是一只母羊在每個年齡段生產(chǎn)的平均羊羔數(shù):年齡/年0-11-22-33-44-5生產(chǎn)羊羔/01.82.42.01.8頭在一年里每頭羊所需飼料的平均飼養(yǎng)量為:日需草量/kg羊羔1八、母羊冬季

2、02.10春季1.002.40夏季1.651.15秋季01.35問題分析：這是個關(guān)于資源分配的優(yōu)化問題即以固定的資源經(jīng)過合理 分配獲得最大利潤。在本問題中，我們的目標是合理分配所擁有的牧 場及草料養(yǎng)羊，合理分配養(yǎng)羊羔、母羊的數(shù)目和比例及草料存儲使牧 羊人在今后n年中獲得的總利潤最大。而獲得的利潤受到養(yǎng)羊的成 本、賣羊羔和母羊的數(shù)量、市場供求關(guān)系等因素的影響。初步分析： 如果每年都獲得當年的最大利潤，則總利潤必達到最大化?，F(xiàn)在考慮 養(yǎng)殖達到的穩(wěn)定狀態(tài)即草料、場地等正好得到充分利用，則每年獲得 利潤必達到最大，也是養(yǎng)殖追求最大利潤的最理想狀態(tài)。而合理的配 置所擁有的資源，可以提高牧場的產(chǎn)量，增加經(jīng)

3、濟效益；保持年齡結(jié) 構(gòu)的穩(wěn)定，則可以保持整個羊群數(shù)量的穩(wěn)定。 于是我們下面就著手建 立模型求解穩(wěn)定狀態(tài)的母羊、羊羔數(shù)目及比例和夏季的儲草情況。 由 于原型中有太多的影響因素，為了建立模型求解，必須要刪繁從簡， 留主去次，綜合考慮作出以下假設：模型假設：1.僅考慮養(yǎng)殖所需的飼草供給條件，圈舍、配合飼料、給水、飼 養(yǎng)費用等其他養(yǎng)殖條件忽略不計。2 .設全部用于養(yǎng)殖的土地均為生長著多年生黑麥草的低洼地， 牧場規(guī)模保持不變，不考慮天氣等偶然因素對黑麥草生長的影響， 且牧場對草的供應是持續(xù)可靠的，而不考慮種植問題。經(jīng)查資料得 知相鄰兩株黑麥草的種植間距為 15-25cm之間，取20cm計算知每平 方米可

4、種植36株黑麥草。這里就考慮每平方米種植 36株黑麥草。 3.除去冬季外均進行野外放牧，因天氣不能野外放牧忽略不計,而冬季食用其他季節(jié)存儲的干草作飼料。牧羊人預先儲備了適量干 草Qkg當春天的鮮草不夠時，可以使用上一年剩余的干草。4. 鮮草與干草均具有相同的喂養(yǎng)效果。經(jīng)查資料，得知鮮草向 干草的轉(zhuǎn)化率為45%5. 母羊僅在春天繁殖，且一年僅繁殖一次。6. 羊的售出僅在春季繁殖過后進行（即繁殖后立即決定售出情 況，這樣可保證羊的總數(shù)不變，且處理仍在春季），其他季節(jié)不售出。7. 假設穩(wěn)定態(tài)的羊共N只，則春季考慮N只全為母羊的食草量， 相鄰兩代的羊數(shù)量在繁殖售出前后的數(shù)量變化是連續(xù)的，即繁殖售 出后

5、i代羊數(shù)量為繁殖前i+1代的羊數(shù)量（因穩(wěn)定狀態(tài)要保持羊數(shù) 目及比例不變，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均 食草量，由假設6有：母羊繁殖后就處理母羊或小羊，因此這樣假 設就保證了春季草量的充足且由假設可知這樣的假設和實際食草量 可認為近似吻合）。8. 草的日生長量（g）是指每株草的日生長量。9. 該牧民盡量避免近親繁殖，且只飼養(yǎng)母羊和母羊羔。10. 需要配種時，可以外配，配種成本忽略不計。11. 母羊所產(chǎn)羊羔的性別比，從概率角度一般認定為1:1,根據(jù) 假設9,公羊羔全部被賣出。12. 羊的成長無恙，即不考慮死亡等偶然因素。13.0-1年的羊為羊羔，1-2,2-3,3-4,4-5年的羊

6、分別為第一，二,三，四代母羊。14. 第一年只購買第一，第二，第三，第四代母羊，并且當年春 季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，買的母羊繁殖出的羊羔還要售出 一部分，所以羊羔就可不用考慮購買，這樣不僅省了一部分資金買母 羊繁殖，還省了買的羊羔白吃的草料）。15. 第四代母羊在春季繁殖后直接就全部售出 （因每只母羊僅喂 養(yǎng)5年就出售，繁殖后就售出，這樣就節(jié)省了第四代母羊從繁殖后到 第二年春季的草料）。16. 羊市場穩(wěn)定，且只關(guān)心羊的數(shù)量及年代，而不關(guān)心它們的重 量，每只羊羔價格p元和每只母羊的價格q元都穩(wěn)定，經(jīng)查資料知 p:q近似為1:3，這里認為比例就為1:3，假定羊的價格僅有這兩種。17. 羊的

7、繁殖率按上述表格中的平均繁殖率， 食草量及草的生長 率亦按表格給出的平均率計算（由假設 4的鮮草向干草的轉(zhuǎn)化折扣 以及夏季將有三分之二的鮮草剩余，經(jīng)計算知僅將夏季的剩余鮮草 曬制為干草是不夠的，所以秋季的剩余草也要進行干化。這也說明了從春季開始飼養(yǎng)的合理性）。模型建立：設開始牧羊人購買第一代、第二代、第三代、第四代母羊的數(shù)量分別為a1、a2、a3、a4頭，為保證羊群的相對穩(wěn)定，則春季售羊后相應的羊羔、第一代、第二代、第三代數(shù)量分別為a1、a2、a3、a4頭,且有a1>=a2>=a3>=a4>=0于是同年春季羊繁殖前及售后有以下關(guān)系:母羊羔第一代第二代第三代第四代繁殖前0

8、ala2a3a4母羊羔第一代第二代第三代第四代羊售后ala2a3a40每年售出羊羔：1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a 仁0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4（注：公羊羔全售出，保留al頭母羊羔）第一代：a1-a2第二代：a2-a3第三代：a3-a4第四代：a4養(yǎng)羊數(shù)量：N=a1+a2+a3+a4目標函數(shù)：收益 Y=n(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a1q且滿足：Q+S春-T 春 >=0w仁S夏-T夏>=0w2=S秋-T 秋 >=0Q=k(w1+w2)-T冬 >=0p:q=1:30.9a1+1.2a2+a3+0.9a4>=a1a

9、1>=a2>=a3>=a4>=0其中:S 春=36*3x*0.001*90=9.72x kg春季鮮草產(chǎn)量T 春=2.4(a1+a2+a3+a4)*90 kg春季所需草料S 夏=7*36x*0.001*90=22.68x kg夏季鮮草產(chǎn)量T 夏二1.65a1 + 1.15(a2+a3+a4)*90 kg夏季所需草料S 秋=4*36x*0.001*90=12.96x kg秋季鮮草產(chǎn)量T秋=1.35(a2+a3+a4)*90 kg秋季所需草料T冬=2.1(a2+a3+a4)*90 kg冬季所需草料w1為夏季剩余鮮草量，w2為秋季剩余鮮草量p為每只羊羔的價格，q為每只母羊的價格

10、Q為牧羊人初始準備的干草量n為牧羊人計劃的年數(shù)，x為牧場面積a1>=a2>=a3>=a4>=0，且均取整數(shù)鮮草向干草的轉(zhuǎn)化率k=0.45化簡整理得：n 年總收益：Y=n(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a1q制約條件為：25.758x-282.825a1-506.25(a2+a3+a4)>=0w仁22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)>=0w2=12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=016.038x-66.825a1-290.25(a2+a3+a4)>=0 0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4&l

11、t;=0a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整數(shù)各個量含義及其性質(zhì)如上所述。由此得到基本模型：MAX Y=n(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a1q(1)s.t.9.72x+Q-216(a1+a2+a3+a4)>=0(2)22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)>=0(3)12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=0(4)Q=16.038x-66.825a1-290.25(a2+a3+a4)>=0(5)0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4-a0<=0(6)a1>=a2>=a3&g

12、t;=a4>=0,且均取整數(shù)(7)模型求解：軟件實現(xiàn)：不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元用LINDO 6.1版本軟件求解，在其窗口中打開一個新文件，直接輸入：max 7600a1+4800a2+2000a3+3600a4s.t.1) 282.825a1+506.25a2+506.25a3+506.25a4<=25758002) 148.5a1+103.5a2+103.5a3+103.5a4<=2268003) 121.5a2+121.5a3+121.5a4<=1296004) 66.825a1-290.25a2-290.25a3-290

13、.25a4<=1603805) 10a1-120a2-100a3-90a4<=06) a1-a2>=07) a2-a3>=08) a3-a4>=0endgin 4注：最后一行“ gin 4 ”是“ 4個變量均為整數(shù)”的說明語句求解得到輸出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 47OBJECTIVE V ALUE =11547494.0FIX ALL V ARS.(2)WITH RC>0.000000E+00SETA1 TO<=1443 AT1, BND=0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3154SETA2 TO>=12

14、1 AT2, BND=0.1155E+08TWIN= 0.1152E+0857SETA1 TO<=1442 AT3, BND=0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3161TWIN=-0.1000E+3161SETA2 TO <=122 AT 4, BND= 0.1154E+08TWIN=-0.1000E+3161TWIN=-0.1000E+3161TWIN= 0.1155E+0864NEW INTEGER SOLUTION OF 11544800.0 ATBRANCH 10 PIVOT64BOUND ON OPTIMUM: 0.1154749E+08FLIPA2 TO

15、>=11546145.123 AT 4 WITH BND=SETA1 TO <=1441 ATTWIN二0.1000E+31675, BND= 0.1155E+08SETA1 TO >=1441 AT6, BND= 0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3161TWIN=-0.1000E+3161TWIN=-0.1000E+3167SETA2 TO <=123 AT7, BND= 0.1154E+08TWIN=-0.1000E+3161TWIN=-0.1000E+3161TWIN=-0.1000E+3168DELETEA2 AT LEVEL7DELETEA1

16、AT LEVEL6DELETEA1 AT LEVEL5DELETEA2 AT LEVEL4DELETEA1 AT LEVEL3DELETEA2 AT LEVEL2DELETEA1 AT LEVEL1RELEASE FIXED V ARIABLESENUMERATION COMPLETE. BRANCHES=12 PIVOTS=86LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUNDRE-INSTALLING BEST SOLUTION.OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)0.1154480E+08VARIABLEVALUEREDUCED COSTA11

17、442.000000-7600.000000A2122.000000-4800.000000A30.000000-2000.000000A40.000000-3600.000000A00.0000000.000000ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)2106203.7500000.0000003)36.0000000.0000004)114777.0000000.0000005)99428.8515620.0000006)220.0000000.0000007)0.0000000.0000008)1320.0000000.0000009)122.0000000.0

18、0000010)0.0000000.000000NO. ITERATIONS=86BRANCHES=12 DETERM.=1.000E0IP的最優(yōu)解為a仁1442,a2=122,a3二a4=（最優(yōu)值 Y =11547494，即問題 中牧羊人應該飼養(yǎng)1564只羊，為了繁殖，每年應飼養(yǎng)母羊 8.5% （根 據(jù)我們的模型求解，應為第一代母羊），計算得知，夏季應儲存 w仁24.3kg的干草。結(jié)果分析：根據(jù)模型假設及參量的設置，得知牧羊人一開始要存儲的 干草量為Q=28607.85kg,設置預備存儲，是為了使養(yǎng)殖規(guī)模達到相 對最大化，避免夏季和秋季存儲的干草，在冬季被大量剩余、而造成 牧場每年的草料大量

19、浪費，從而達到更高的經(jīng)濟效益。而從現(xiàn)實意義 來說，預備存儲也是合情合理的。由于假設羊羔的價格和母羊的價格 差不多，而母羊一年中的食草量為羊羔的2.64倍，為了達到最大經(jīng)濟效益，應該全養(yǎng)羊羔，但是考慮到繁殖率和取整的條件限制，我們 預想應該養(yǎng)一小部分母羊，再者，由于第三、四代羊按假設知其繁殖 率和羊羔差不多，但食草量卻大得多，所以應盡量少養(yǎng)，最好不養(yǎng)， 這正好和計算得到的結(jié)果相吻合。 至于現(xiàn)實中養(yǎng)殖中存在第三、四代 羊現(xiàn)象，是因為第三、四代中也有些繁殖率較高的，考慮到繁殖率， 保留下來了。從算法及結(jié)果，我們預測：p與q的比例K影響羊羔和 母羊的比例（p與q比例：0-1），但波動性較小，母羊和羊羔

20、的比例隨 K增先減后增，最終收斂于1:1。這也正與實際情況相符合。目標函 數(shù)可知：年數(shù)不影響?zhàn)B羊的分配情況；由算法知：牧場的規(guī)模也與養(yǎng) 羊的分配無關(guān)（僅使Y增大對應倍數(shù)而不影響al、a2、a3、a4的取值）。模型檢驗：2) p=200, q=400OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1)9360000.VALUEREDUCED COST-5600.000000-4800.000000-2000.000000-3600.000000VARIABLEA1A2A3A4900.000000900.0000000.0000000.000000A00.0000000.0000003)p=20

21、0,q=300OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1)8460000.VARIABLEVALUEREDUCED COSTA1900.000000-4600.000000A2900.000000-4800.000000A30.000000-2000.000000A40.000000-3600.000000A00.0000000.0000004) p=200,q=2001)7560000.VARIABLEVALUEREDUCED COSTA1900.000000-3600.000000A2900.000000-4800.000000A30.000000-2000.000000A40.000000-3600.000000A00.0000000.0000005) p=100,q=1000NOBJECTIVE FUNCTION V ALUE6) p=100,q=10000（現(xiàn)實中不可能達到這么小的比例）1)9734400VARIABLEVALUEREDUCED COSTA0900.0000000.000000A16.00000016931.742188A20.00000018331.742188A30.00000017531.742188OBJECTIVE FUNCTION V