物理奧賽輔導(dǎo)：第2講_運動和物體系的相關(guān)速度

1、第2講運動和物體系的相關(guān)速度、知識點擊1. 直線運動和曲線運動勻變速直線運動：勻變速直線運動包括勻加速直線運動和勻減速直線運動兩種情況, 它的特點是加速度 a=恒量，并與速度在同一直線上.勻變速運動的基本公式為:atr r sot勻變速曲線運動:勻變速曲線運動的特點是a=恒量，但與速度 的方向不在同一直線上,如斜拋運動，研究斜拋運動可以有多種方法，既可以將它看成是水平方向的勻速運動和豎 直方向的（上或下）拋運動的合成；也可以看做是拋出方向的勻速運動和一個自由落體運動的合成.勻速圓周運動：勻速圓周運動的特點是 a與的大小為恒量，但它們的方向無時無刻不在改變，它是一種特殊的曲線運動，但卻是研究曲線

2、運動的基礎(chǔ)，一般曲線運動的任何一個位置，都可以作為一個瞬時的圓周運動來研究。22 我們經(jīng)常將圓周運動分解成法向和切向兩個方向來研究，法向加速度anR ,R對于勻速圓周運動，其切向的加速度為零，如果是變速圓周運動，那么它在切向上也有加r r r速度ai.此時它的合加速度是：a an ai。2. 相對運動：在大多數(shù)情況下，我們都習(xí)慣于以地面作為參照物，但在某些場合，我們選擇其他一些相對地面有速度的物體作為參照物，這樣會給解決問題帶來方便，所以相對運動就是研究物體對于不同參考系的運動以及它們之間的聯(lián)系，比如A物體相對于地面的速度為A地，如果取另一個相對地面有速度B地的B物體作參照物，那么 A物體相對

3、B物體的速度為:r r rABA地B地r r r或 ABA地B 地通常把物體相對“固定”參考系的速度稱為絕對速度，把相對于“運動”參考系的速度稱為相對速度，而把運動參考系相對固定參考系的速度稱為牽連速度，所以上式我們可以表述為“相對速度等于絕對速度和牽連速度之差”速度的合成必須用平行四邊形定則進行計算.3. 剛體的平動和轉(zhuǎn)動剛體：剛體是指在任何條件下，形狀和大小不發(fā)生變化的物體。這樣的物體實質(zhì)上是不存 在的，但固體在一般情形下可視為剛體平動：剛體在運動過程中，其上任一直線段在各個時刻的位置始終保持平行，這種運動稱 為平動做平動的物體可視為質(zhì)點.轉(zhuǎn)動：剛體所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動，這種運動

4、稱為轉(zhuǎn)動，這一直線稱為轉(zhuǎn)軸。 如果轉(zhuǎn)軸固定不動，就稱為定軸轉(zhuǎn)動.角速度：.即單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度（角位移）求出剛體在 t時間內(nèi)的平均角速度，對于瞬時角速度，對于非勻速轉(zhuǎn)動，上式只是lim t角加速度：單位時間內(nèi)角速度的變化量limt對于勻變速轉(zhuǎn)動，可以類比勻變速直線運動的規(guī)律，有ot定軸轉(zhuǎn)動中與線速度RaiR，切向加速度ai和法向加速度an的關(guān)系為an22R -Rt24. 關(guān)聯(lián)速度所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個通過某種方式聯(lián)系起來的速度.比如一根桿上的兩個速度通過桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過繩發(fā)生聯(lián)系.常用的結(jié)論有： 桿（或張緊的繩）上各點沿桿（或張緊的繩）方向的速度分量相同； 如果桿（或張緊的繩）

5、圍繞某一點轉(zhuǎn)動，那么桿（或張緊的繩）上各點相對轉(zhuǎn)動軸的角速度相同二、方法演練類型一、勻速直線運動的問題本來是物理學(xué)中最基本的知識，但往往當(dāng)基本模型隱藏得比較深的時候，就成為一種比較難解的題，要解這類題目時，一般都要進行某種轉(zhuǎn)換把其本 來的模型突顯出來才能找出簡便的解題方法。例1.在聽磁帶錄音機的錄音磁帶時發(fā)覺，帶軸于帶卷的半徑經(jīng)過時間ti=20 min減小一半問此后半徑又減小一半需要多少時間？分析和解：本題的關(guān)鍵在于要弄清錄音磁帶轉(zhuǎn)動時是轉(zhuǎn)軸勻速，還是帶速恒定，這要系實際聽樂音所需的效果就可以確定應(yīng)該是帶速恒定，然后再把磁帶卷過的長度轉(zhuǎn)換到帶卷的面積來考慮問題即可解題。4r，于是當(dāng)半徑減少一半

6、，成為2r時，帶卷的面積減少了S (16r2 4r2)12 r2這等于所繞帶的長度11，與帶的厚度211t1，于是有12 r t1d當(dāng)帶軸上半徑又減少一半(從2r到3 r2t2d設(shè)帶半徑的初半徑為d之乘積.在聽錄音時帶運行的速度恒定，所以r)時，帶卷的面積減少了(4r2 r2) 3 r2，即由得t25min類型二、相對運動的問題是運動學(xué)中一種比較難處理的類型，一般來說，選擇不同的參考系物體的運動狀態(tài)不同，但采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法也可以改變物體的運動情況特別是可以把 直覺看來是曲線運動的物體轉(zhuǎn)換成直線運動的情況卻很少學(xué)生了解，解題時采用這樣的 方法可以使問題簡化很多。例2.由于汽車在冰面上行駛時摩擦因數(shù)

7、很小,所以其最大加速度不能超過a=0.5m/s2.根據(jù)要求，駕駛員必須在最短時間內(nèi)從A點到達B點，直線AB垂直于汽車的初始速度，如圖2 一 1所示.如果A、B之間的距離 AB=375m ,而初速度 =10 m/s,那么這個最短時間為多少？其運動軌跡是什 么？分析和解：本題是一個典型的相對運動問題，而且用常規(guī)的方法是很B 圖21難解出此題的，然而如果才坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法解此題，其難度卻可以大大降低。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：汽車在 A點不動，而讓B點以恒速 向汽車運動的相 反方向運動在此坐標(biāo)系內(nèi)汽車為了盡快與B點相遇，必須沿直線以恒加速度 a向B點駛?cè)ゼ僭O(shè)它們在D點相遇，如圖2 2所示設(shè)AB=b，我們可以列出:b2

8、 (t)2 (1at2)2由式可得：tala a將數(shù)據(jù)代人式得t = 50s。在地球坐標(biāo)系內(nèi)，它的運動是兩個不同方向上的勻速直線運動和勻加速直線運動的合運動，因而它的運動軌跡是一條拋物線.類型三、關(guān)聯(lián)速度問題是運動的合成和分解的一個基本模型，關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動和平動的關(guān)聯(lián)，分析時既要考慮運動的獨立性原理，又要考慮物體實際的運動軌跡，還要考慮連繩的長度，建立好正確的幾何模型對解題至關(guān)重要。例3 .線軸置于斜面上，斜面與水平面的夾角為a線的自由端固定?。ㄈ鐖D 2 3）.線繩為垂直線時的瞬間線軸的旋轉(zhuǎn)角速度等于3 求在這瞬間的: 線軸軸心的速度；線軸與斜面相切點的速度.線軸的半徑為R.分析和解：本題中

9、由于線繩不能伸長，所以垂直線最下面的點和與其相接觸的線軸上的A點的速度A相同，A的方向是水平方向線軸的運動由兩個運動合成：平行于斜面的直線運動，其速度為0 ;繞軸心的順時針轉(zhuǎn)動,其角速度等于3。在題中情況下,A點的速度（圖2 4a)等于r rirA 0不難看出,R，且A，由此可得R0 sinC點的速度（圖24b)同理可以求出線軸與斜面相切uaC 0其速度在斜面方向的投影為將代人得C R1 sinsin圖24例4. AC BD兩桿均以角速度3繞A、B兩固定點在同一豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,方向如圖1 一 5所示，當(dāng)t=0時，a =3 =60°，試求t時刻交點M 的速度和加速度.分析和解：本題實質(zhì)

10、上也是關(guān)聯(lián)速度的問題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì) 是兩桿的角速度相同，所以a+3 =120°不變，推知M點的軌跡在正三角形M外接圓上運動.由此可重點在幾何模型上去探求AB=l，轉(zhuǎn)動解法。在t=0時刻， ABM為正三角形，則 AM=BM=|，兩桿旋轉(zhuǎn)過程中，因轉(zhuǎn)動的角速度相同，則a角增加量等于3角的減小量，a+ 3 =120°不變，則頂角M大小始終不變，即/ M=60°,則M點的軌跡在正三角形ABM外接圓上運動(如圖2 一 6所示)。貝MOM' = 2 / MB M'，則3 m = 23M點作以半徑為R在任意t時刻速度為：2 R 乙"3 i ,3向心加

11、速度為：an (2 )2R 土 2|3類型四、物理學(xué)中特殊的曲線運動主要有兩類，即圓周運動和拋體運動，其中拋體運動 軌跡的曲率半徑是隨時變化的，所以在考慮拋體運動時，如果要計算向心加速度，則必 須通過有關(guān)運動的計算得出曲率半徑才能求解。r例5.以速度、與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行如果蚊子以大小恒定的速率0沿同一軌道飛行問蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計.分析和解：蚊子的運動實際上是勻速率曲線運動它的加速度就是它運動到不同位置時的向心加速度關(guān)鍵在于求出最大高度一半處時的曲率半徑R.我們可以根據(jù)軌道方程,求出曲率半徑 R.現(xiàn)在我們根據(jù)石塊的運動來求曲率半徑石塊的運動

12、為斜上拋運動，它到達的最大高度為 H22oSi n1設(shè)在尹處，速度與水平方向成e角運動速度關(guān)系為x cos故有tan由以上四式得tan.2 tan將加速度g分解為法向和切向方向得an g cos根據(jù)向心加速度公式,an2xRcos22 2 得R斗 g cos0(11 . 2sin2g cos蚊子以o的恒定速率沿石塊的軌跡運動,蚊子在-H粵處曲率半徑仍為石塊運動到此的2曲率半徑R,但切向加速度為 0，法向加速度an20，蚊子的加速度等于該處的法向加R速度.aancos1 -3g(1 -si n2 )22即為蚊子飛到最大高度一半處具有的加速度.類型五、剛體的平動和轉(zhuǎn)動問題的解題關(guān)鍵在于分析清楚物體

13、間的內(nèi)部約束和外界約束, 其約束條件往往就是解題的突破口。例6.圖2 7細桿AB長|，端點A、B分別被約束在x和y軸上運動，試求:(1)桿上與A相距al (0 a l )的P點的運動軌跡;(2)如果圖中B角和a為已知，那么P點的x、y方向分運動速率px、 Py是多少？分析和解：本題中的內(nèi)部約束就是桿長和P點在桿中的位置，而外部約束是A、B分別被(1)桿A端在y軸上的位置用坐標(biāo)約束在x和y軸上運動，這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。yA九表示，桿B端的位置用坐標(biāo)Xb表示，P點的坐標(biāo)為yP (1 a)xA (1 a)l cos(Xp、y p)，利用幾何關(guān)系，得出Xp、yp與Xb、目a的關(guān)系為xP a

14、lXba lyPl al1 ayAl即xPaxBal sin2 2由以上兩式，得傘一也P1(al)2(1 a)l這是一個橢圓方程，故 P點的運動軌跡為橢圓.設(shè)在 t時間內(nèi)，P點坐標(biāo)的改變量為 xP和yP，桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為yA和 xB ,利用 P點坐標(biāo)與 A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有Xba t專(1 a)十根據(jù)速度分量的定義，當(dāng)t 0 時 Px a B , Py (1 a) A式中A和B分別是A端和B端的速度由AB桿不可伸長，有A cos B sin最后得出P點的速度分量為Px a A cotPy (1 a) a三、小試身手 1.線段AB長S,分成n等分，一質(zhì)點由A靜止出發(fā)以加速

15、度 a向B作分段勻加速度直線運動,a當(dāng)質(zhì)點到達每一等分的末端時，它的加速度增加，求質(zhì)點運動到 B點時的速度。n2.質(zhì)點Pi,以i由A向B作勻速運動，同時質(zhì)點P2以2從B指向C作勻速運動，AB l ,P1P2的間距d最短，為多少?/ ABC=a且為銳角，如圖 2 8,試確定何時刻3處于一平直軌道上的甲、乙兩物相距S,同時同向開始運動甲以初速°、加速度ai向乙作勻加速運動，乙作初速為零、加速度為a2的勻加速直線運動，設(shè)兩車相互超前時各不影響，試討論兩車相遇的條件及對應(yīng)的相遇次數(shù).4 .在傾角為30°足夠長的斜坡上，以初速度0發(fā)射一炮彈，設(shè)0與斜坡的夾角為60°，如圖2

16、 9所示，求炮彈落地點離發(fā)射點的距離L.5. 兩直桿11、運動，如圖12，交角為交點為 A,若二桿各以垂直于自身的速度2 10所示.求交點 A運動速度的大小.2沿著紙平面6. 一塊小木塊P放在很粗糙的水平面上，被一根繩拉著滑動，繩的另一端Q以速度°在軌道中運動，繩長I，繩與軌道的夾角是B （圖2 11）.求此時P的速度和加速度.7. 個足夠大的房間高為 H, 盞燈掛在離地面高 h處，燈泡破裂，碎片以同樣大小的速度 向四面八方飛去，如果碎片與天花板的碰撞是彈性的，與地板的碰撞是完全非彈性的，那么碎片灑落在地板上的半徑多大？若H二5m， 0=10 m/s，求：h為多大時，R有最大值，并求

17、出該最大值。2x&在豎直平面內(nèi)，支在原點 O的一根彎桿，其形狀可以用函數(shù) z來描寫，k為有長度量k(圖 2 12)綱的非零正常數(shù)在桿上穿一滑塊，桿與滑塊間的靜摩擦因數(shù)為卩(1)(2)(3)有一個是正確的，試作出判斷并說明理由:0、g、2gZ4z k考慮摩擦，但桿不動，在什么情況下滑塊可以在桿上靜止？（用現(xiàn)在設(shè)桿以角速度3繞z軸勻速轉(zhuǎn)動，且有關(guān)系這時滑塊可以在何處相gz 4ZF g。Z、3、g、k表示）不考慮摩擦，求滑塊的高度為z時，它在沿桿方向的加速度的大小下列5種答案中對于桿靜止?(4)若卩=0.5,，則滑塊不滑動的條件又如何?9.圖2 13所示為用三角形剛性細桿 AB BC CD連

18、成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。 AB和CD桿可分別繞過A、D的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動，A、D兩點位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與AB桿和CD桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動（類似鉸鏈） 。當(dāng)AB桿繞A軸以恒定的角速 度 轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時，AB桿處于豎直位置。BC桿與CD桿都與水平方向成 45°角, 已知AB桿的長度為I , BC桿和CD桿的長度由圖給定。求此時 C點加速度ac的大小和方 向（用與CD桿之間的夾角表示）參考解答1.s解：質(zhì)點由A靜止出發(fā)以加速度 a作勻加速度直線運動的位移為 一，質(zhì)點的速度動學(xué)公式可得i J2a-，同理第二個-的初速度為S nni由運a ，則n2 S(2ana)，依

19、次類推，則nnn(n i(n 2)(n n)，所以質(zhì)點運動到 B點時的速度為,as(31)n2解：設(shè)經(jīng)過時間t相距為d，則此時質(zhì)量點 Pi前進的距離為1t，P2前進的距離為2t，由余弦定理可得 d . (lit)2 ( 2t)2 2(lit) 2t cos ，即d ,. ( 22 2 i 2cos )t2 2(l i l 2cos )t l2，對根號里面配方可得l( i 2 cos )22 i 2 cosl 2 sin2 i 2cos3.提示:當(dāng) 2(a2 ai)s20能相遇，其中2(a2能相遇二次。4. 解:將0正交分解為0x0 cos30 , 0yx00xt0 cos30i .2t, y0

20、yt -gtL 2 02gL,x2 y2可解得:dmin.i2222 2ai)so 時相遇一次，2(a2 ai)so 時,°sin30°，設(shè)經(jīng)過t的時間落到斜面上則o i 2yo0y sin30 t gt，又由 tan30 和2x5.解：根據(jù)勻速運動的特點,設(shè)二桿運動單位時間li的位移為l2的位移為2，如圖2uuiruuurii所示，A的位移為AA , AA的大小就是A點速度的大小(.2sini cot )22 i 2cossinP的速度一定沿繩6.解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此的方向，那么P的速度 0 cos現(xiàn)取Q為參考系，因為 Q無加速度

21、，所以P在Q系中的加速度等于 P在地面系中的加速 度。r r ra p at an在Q系中，P有一個垂直于PQ的速度1o sin 。2 . 2o sinlat10 sint sin()tt因為很小，所以cos1, sin4 0 sinsin costcos sinsin -t22，因此 at0 cos -00 sincos因此apsin441220 2 20 2 sin cossinll7.解：(1)假設(shè)碎片不會碰頂，應(yīng)有0t21 2 2 2( gt2 h)2r2即：g2t4( 0 gh)t2 h24R21配方得：/t22( 0 gh)2gg2 ( 02 2gh) R22當(dāng) t22( o gh

22、)g2時,0'( 0 2gh)，此時garcsi n0 h0t以上假設(shè)要求:H，即 h H4g( 0gh)(2)若h不滿足上述要求，則以B角飛出的碎片將撞擊天花板，飛行軌跡發(fā)生變化。此時拋得最遠的碎片應(yīng)該是未撞擊天花板而最高點恰好和天花板相切的碎片，這時有2 20 sin 2g(H h)1 2 h 0 sin gtcos t由以上三式可解得:Rmax4(H h) G H h , H )(3)因為 Rmax0 ro_2gh), 所以在不碰頂時，h越大R越大。H可取的最大值是g4h H202.56m，此時 Rmax 12.3m4g( 2 gh)F面再考慮碎片碰頂?shù)那闆r,Rmax4(H h)

23、 (. h 由)求極值，可得當(dāng)h 3.75m時，R有最大值12.99m& (1)在不考慮摩擦?xí)r，滑塊在桿上運動的加速度即為重力加速度的切向分量a g sin 其中B為滑塊所在點桿的法線與重力方向的夾角。a 一般不為零，且一定不超過g,當(dāng)z時，桿近于豎直，a趨近于g,于是可判斷a 2n z_ ,由此算得sin 2Z,4z k, 4z k(2)考慮摩擦而桿不動，則滑塊靜止為靜力平衡，滑塊受重力影響有下滑趨勢，摩擦力向上，支持力和摩擦力大小分別為Fn mg cos,Ffmg sinFffn平衡條件要求，或 tanFnFn2k設(shè)z Z0時，tan，則滑塊靜止的條件為Z Zo4(3)當(dāng)桿勻速轉(zhuǎn)動時，則在滑塊相對于桿不動時，支持力和摩擦力在豎直方向的分力之和與重力平衡，在水平方向的分力之和使滑塊產(chǎn)生水平的向心加速度，由此可得，(不妨設(shè)摩擦力沿桿向上)2m 2ktanFN sinFf cos m 、kz2Fn cosFf sinmg由以上二式可得：空(1 A)tanFn1 Ata n2k2g時，A 1，有空 0。即無摩擦力，向心加速度完全由重力和支持力的Fn(4)當(dāng)時，A 3，由脅牛鬻&