數(shù)字信號處理復(fù)習(xí)總結(jié)-湯巧治

1、數(shù)字信號處理復(fù)習(xí)要點(diǎn)引言 數(shù)字信號處理主要包括如下幾個部分1、 離散時間信號與系統(tǒng)的基本理論、信號的頻譜分析2、 離散傅立葉變換、快速傅立葉變換3、 數(shù)字濾波器的設(shè)計一、離散時間信號與系統(tǒng)的基本理論、信號的頻譜分析1、離散時間信號：1）離散時間信號：時間是離散變量的信號，即獨(dú)立變量時間被量化了。信號的幅值可以是連續(xù)數(shù)值，也可以是離散數(shù)值。2） 數(shù)字信號：時間和幅值都離散化的信號。（本課程主要講解的實際上是離散時間信號的處理）3） 離散時間信號可用序列來描述4） 序列的卷積和（線性卷積）5）幾種常用序列a)單位抽（采、取）樣序列（也稱單位沖激序列）,b)單位階躍序列,c)矩形序列，d)實指數(shù)序列

2、,6） 序列的周期性所有存在一個最小的正整數(shù),滿足：,則稱序列是周期序列，周期為。正弦序列的周期性取決于，是周期序列。7）時域抽樣定理：一個限帶模擬信號，若其頻譜的最高頻率為，對它進(jìn)行等間隔抽樣而得，抽樣周期為T，或抽樣頻率為；只有在抽樣頻率時，才可由準(zhǔn)確恢復(fù)。2、離散時間信號的頻域表示（時域離散信號的傅里葉變換；序列的傅立葉變換），3、離散時間信號的復(fù)頻域分析（時域離散信號的Z變換，序列的Z變換）；1） Z變換與傅立葉變換的關(guān)系，2） Z變換的收斂域收斂區(qū)域要依據(jù)序列的性質(zhì)而定。同時，只有Z變換的收斂區(qū)域確定之后，才能由Z變換唯一地確定序列。一般來來說，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀

3、區(qū)域：3）有限長序列：， 右序列： ，左序列：，（|z|<Rx+，N2>0時：0<|Z|< Rx+；N20時：0|Z|< Rx+）雙邊序列：，總結(jié)：因果序列的收斂域包括無窮大點(diǎn)。常用序列的Z變換：Z變換之逆變換，C：收斂域內(nèi)繞原點(diǎn)逆時針的一條閉合曲線1） 留數(shù)定理：，即 對于單極點(diǎn)zi： 2） 留數(shù)輔助定理（C內(nèi)有高階極點(diǎn)時）：適用條件：F(z)在C外M個極點(diǎn)zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上！3） 利用部分分式展開：，然后利用定義及常用序列的Z變換求解。4、離散時間系統(tǒng)： 系統(tǒng)函數(shù)：，沖激響應(yīng)：5、 線性系統(tǒng)：滿足疊加原理的系統(tǒng)。6、 移不變

4、系統(tǒng)：若，則7、 線性移不變系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，它可以表示為單位取樣序列的移位加權(quán)和，即: 那么，系統(tǒng)對應(yīng)的輸出為： 如果該系統(tǒng)是一線性移不變系統(tǒng)，根據(jù)其線性則有： 又根據(jù)移不變性和h(n)定義，則有： 沖激響應(yīng)：所以此時系統(tǒng)輸出為：，8、 系統(tǒng)的頻率特性可由其零點(diǎn)及極點(diǎn)確定 （式中，zk是極點(diǎn)，zi是零點(diǎn)；在極點(diǎn)處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應(yīng)包括極點(diǎn)。）9、 穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓 |z|=110、 因果系統(tǒng)：時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定。線性移

5、不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx11、 穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿足上述兩個條件的系統(tǒng)P62線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，或：H(z)的極點(diǎn)在單位園內(nèi)，且H(z)的收斂域滿足：12、 差分方程線性移不變系統(tǒng)可用線性常系數(shù)差分方程表示（差分方程的初始條件應(yīng)滿足松弛條件）13、 差分方程的解法1）直接法：遞推法 2）經(jīng)典法 3）由Z變換求解 二、 離散傅立葉變換、快速傅立葉變換（第三、四章）1、周期序列的離散傅立葉級數(shù)（DFS）其中：= 2、有限長序列的離散傅立葉變換(DFT)，0 ，0n應(yīng)當(dāng)注意，雖然和都是長度為的有限長序列，但

6、他們分別是由周期序列和截取其主周期（主值區(qū)間）得到的，本質(zhì)上是做DFS或IDFS，所以不能忘記它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時更要注意。3、離散傅立葉變換與Z變換的關(guān)系4、頻域抽樣定理對有限長序列x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔抽樣，抽樣點(diǎn)數(shù)為N，或抽樣間隔為，當(dāng)NM時，才可由X(k)不失真恢復(fù)。內(nèi)插公式：5、周期卷積、循環(huán)卷積周期（線性）卷積：循環(huán)卷積：6、用周期（周期）卷積計算有限長序列的線性卷積 對周期要求：（N1、N2分別為兩個序列的長度）7、時域抽取基2 FFT算法（DIT-FFT） 1）數(shù)據(jù)要求：1、N=8，F(xiàn)FT運(yùn)算流圖2、DITFFT的運(yùn)算規(guī)律序列長N=2M點(diǎn)的

7、FFT，有M級蝶形，每級有N/2個蝶形運(yùn)算。每個蝶形都要乘以旋轉(zhuǎn)因子WpN，p稱為旋轉(zhuǎn)因子的指數(shù)。，第L級共有B=2L-1個不同的旋轉(zhuǎn)因子；同一蝶形運(yùn)算兩輸入數(shù)據(jù)的距離B=2L-1。同一級中，每個蝶形的兩個輸入數(shù)據(jù)只對本蝶形有用，每個蝶形的輸入、輸出數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)在同一條水平線上。經(jīng)過M級運(yùn)算后，原來存放輸入序列數(shù)據(jù)的N個存儲單元中可依次存放X(k)的N個值。原位計算：利用同一存儲單元存儲蝶形計算的輸入輸出數(shù)據(jù)。3） DIT-FFT計算效率（復(fù)數(shù)運(yùn)算）：乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計算次數(shù)： （對比DFT運(yùn)算：乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：）（復(fù)數(shù)運(yùn)算） 8、利用DFT對模擬信號進(jìn)行譜分析首先必須對信號進(jìn)行

8、采樣，使之變成離散信號，然后，就可按照前面的方法，用 FFT來對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析。按采樣定理，采樣頻率應(yīng)大于2倍信號的最高頻率，為了滿足采樣定理，一般在采樣之前要設(shè)置一個抗混迭低通濾波器。由此可得到用FFT對模擬信號進(jìn)行頻譜分析的方框圖如下截斷的信號時間長度為Tp=NT，F(xiàn)表示對模擬信號頻譜的采樣間隔，所以稱之為頻率分辨率，信號分析過程中為了避免混疊，要求，為提高頻率分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，或者增加對信號的觀察時間Tp 例3.4.2及習(xí)題18注意：用 FFT 進(jìn)行頻譜存在的問題 1） 頻譜泄漏 ，2）為柵欄效應(yīng)。各種形式的傅里葉變換：非周期實連續(xù)時間信號的傅里葉變換：頻譜是一個非周期的連

9、續(xù)函數(shù)；周期性連續(xù)時間信號的傅里葉變換：頻譜是非周期性的離散頻率函數(shù)；非周期離散信號的傅里葉變換：頻率函數(shù)是周期的連續(xù)函數(shù)；離散周期序列的傅里葉變換：具有既是周期又是離散的頻譜。三、 數(shù)字濾波器的設(shè)計（一） FIR濾波器的設(shè)計1、特點(diǎn)：可實現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位特性、系統(tǒng)是穩(wěn)定的、因果的；階數(shù)較高。2、實現(xiàn)線性相位的條件（1）h(n)為實數(shù)（2） A類線性相位：h(n)=h(N-1-n)可以設(shè)計一般意義下的FIR濾波器；N是偶數(shù)時，不能做高通濾波器。或 B類線性相位：h(n)=-h(N-1-n) 對稱中心：m=(N-1)/2適于做希爾伯特變換器，微分器和正交網(wǎng)絡(luò)。3、主要設(shè)計方法 用窗函數(shù)法設(shè)計FI

10、R濾波器的步驟（1） 給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)。，F(xiàn)IR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：直接型： 級聯(lián)型：將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對的零點(diǎn)放在一起，形成一個實系數(shù)的二階形式；級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個因式都用直接型實現(xiàn)。設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：H(z) = 0.96 + 2.0z-1 + 2.8z-2 + 1.5z-3畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解： 將H(z)因式分解得： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)分別如下圖的b圖、a圖所示。 a圖 b圖（2） 求單位脈沖響應(yīng)hd(

11、n)。 （3） 由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求可選定窗形狀，并估計窗口長度N：設(shè)待求濾波器的過渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過渡帶近似與窗口長度成反比， NA/，A決定于窗口形式。例如，矩形窗A=4，海明窗A=8等，A參數(shù)選擇參考表。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下， 盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。 （4） 最后，計算所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)： h(n)=hd(n)w(n) 0nN-1 （5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) （二） IIR濾波器的設(shè)計1、特點(diǎn) 階數(shù)少、運(yùn)算次數(shù)及存儲單元都較少 適合應(yīng)用于要求相位特性

12、不嚴(yán)格的場合。 有現(xiàn)成的模擬濾波器可以利用，設(shè)計方法比較成熟。 是遞歸系統(tǒng)，存在穩(wěn)定性問題。2、間接設(shè)計方法先設(shè)計模擬濾波器，然后轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。脈沖（沖激）響應(yīng)不變法基于butterworth模擬低通濾波器設(shè)計過程：(1) 將數(shù)字濾波器設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)。 ； (2) 設(shè)計相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。求出波紋幅度參數(shù)為 ， ，根據(jù)通帶衰減要求計算3 dB截止頻率c 或根據(jù)阻帶衰減要求計算3 dB截止頻率c (3) 查表求歸一化Ga(p)。或(4) 將p=s/c代入Ga(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5） 將T和代入，

13、將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即 ：脈沖（沖激）響應(yīng)不變法的特點(diǎn)： 有混疊失真 只適于限帶濾波器 不適合高通或帶阻數(shù)字濾波器的設(shè)計雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)這種方法的主要特點(diǎn)是先進(jìn)行頻率變換，求模擬濾波器的頻率指標(biāo)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計過渡模擬低通濾波器，然后用將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。特點(diǎn)： (i) 穩(wěn)定性不變 （ii） 無混疊（iii）頻率非線性變換，會產(chǎn)生畸變，設(shè)計時，頻率要做預(yù)畸變處理無限長脈沖響應(yīng)濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)1) 直接型： 根據(jù)系統(tǒng)的差分方程：記憶方法：天女散花；反饋在前；分子在后。2) 級聯(lián)型若將N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分別進(jìn)行因式分解，得到多個因式連乘積的形式 ：或表示為：其中，式中Hi(z)為一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；多項式的系數(shù)是實數(shù)， Cr和dr是實數(shù)或者是共軛成對的復(fù)數(shù)。將共軛成對的