知識講解-指數與指數冪的運算-基礎

1、指數與指數冪的運算【學習目標】1.理解分數指數的概念，掌握有理指數冪的運算性質(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質，能根據性質進行相應的根式計算； (2)能認識到分數指數是指數概念由整數向有理數的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進行根式與分數指數冪的互化；(3)能利用有理指數運算性質簡化根式運算. 2.掌握無理指數冪的概念，將指數的取值范圍推廣到實數集；3.通過指數范圍的擴大，我們要能理解運算的本質，認識到知識之間的聯系和轉化，認識到符號化思想的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；4.通過對根式與分數指數冪的關系的認識，能學會透過表面去認清事物的本質【要點梳理】要

2、點一、整數指數冪的概念及運算性質1整數指數冪的概念2運算法則（1）；（2）；（3）；（4）.要點二、根式的概念和運算法則1n次方根的定義：若xn=y(nN*，n>1，yR)，則x稱為y的n次方根.n為奇數時，正數y的奇次方根有一個，是正數，記為；負數y的奇次方根有一個，是負數，記為；零的奇次方根為零，記為；n為偶數時，正數y的偶次方根有兩個，記為；負數沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.2兩個等式（1）當且時，；（2）要點詮釋：要注意上述等式在形式上的聯系與區(qū)別；計算根式的結果關鍵取決于根指數的取值，尤其當根指數取偶數時，開方后的結果必為非負數，可先寫成的形式，這樣能避免出現錯誤要點三

3、、分數指數冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定a>0，n，mN*，且為既約分數，分數指數冪可如下定義：要點四、有理數指數冪的運算1有理數指數冪的運算性質(1) (2) (3)當a>0，p為無理數時，ap是一個確定的實數，上述有理數指數冪的運算性質仍適用.要點詮釋：(1)根式問題常利用指數冪的意義與運算性質，將根式轉化為分數指數冪運算；(2)根式運算中常出現乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如；(3)冪指數不能隨便約分.如.2.指數冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數運算負指數冪化為正指數冪的倒數底數是負數，先確定符號，底數是小數，先要化成分

4、數，底數是帶分數，先要化成假分數，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數運算性質在化簡運算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（a±b）2a2±2abb2，（a±b）3a3±3a2b3ab2±b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的運用，能夠簡化運算.【典型例題】類型一、根式例1.求下列各式的值：（1）.【答案】 -3；【解析】 熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結果的符號.（1）；（2）；（3）；（4）【總結升華】（1）求偶次方根應注意，正數的偶次方根有兩個，例如，4的平方根是，但不是.（2）根式運

5、算中，經常會遇到開方與乘方兩種運算并存的情況，應注意兩者運算順序是否可換，何時可換.舉一反三：【變式1】計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.例2.計算：（1）；（2）.【答案】【解析】 對于（1）需把各項被開方數變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質求解.對于（2），則應分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）=+-=|+|-|=+-（）=2 （2） = = =【總結升華】對于多重根式的化簡，一般是設法將被開方數化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題.化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）

6、中，的分子、分母中同乘以.舉一反三：【變式1】化簡：（1）；（2）【答案】（1）；（2）類型二、指數運算、化簡、求值例3.用分數指數冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】 ；【解析】先將根式寫成分數指數冪的形式，再利用冪的運算性質化簡即可（1）（2）；（3）；（4）解法一：從里向外化為分數指數冪=解法二：從外向里化為分數指數冪 =【總結升華】 此類問題應熟練應用當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外或由外向里，用分數指數冪寫出，然后再用性質進行化簡舉一反三：【高清課堂：指數與指數運算369050 例1】【變式1】把下列根式用指數形式表示出來，并化簡（1）

7、；【答案】（1）；（2）【變式2】把下列根式化成分數指數冪：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】；【解析】（1）=； （2）；（3）；（4）= =例4.計算下列各式：（1）（2）【思路點撥】利用指數冪的運算法則即可得出【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式= = =（2）原式=【總結升華】（1）運算順序(能否應用公式)；（2）指數為負先化正；（3）根式化為分數指數冪.舉一反三：【變式1】計算下列各式：(1)；(2).【答案】 112；【解析】(1)原式=；(2)原式.【變式2】計算下列各式：【高清課堂：指數與指數運算369050 例3】【答案】21+【解析】原式=16+5+2+=21+例5

8、.（2016 湖北期末）計算：（1）；（2）；（3）【思路點撥】（1）即合并同類項的想法，常數與常數進行運算，同一字母的化為該字母的指數運算；（2）對字母運算的理解要求較高，即能夠認出分數指數的完全平方關系；(3)具體數字的運算，學會如何簡化運算.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）；（3）原式【總結升華】本題考查了指數冪的運算性質，考查了推理能力與計算能力舉一反三：【變式1】計算化簡下列式子【答案】【解析】原式=或注意：當n為偶數時，.【變式2】化簡【答案】 【解析】應注意到之間的關系，對分子使用乘法公式進行因式分解，原式.【總結升華】根式的化簡結果應寫為最簡根式.(1)被開方數的指數與根指數互質；(2)被開方數分母為1，且不含非正整數指數冪；(3)被開方數的每個因數的指數小于根指數.【變式3】化簡下列式子：(1)(2)(3)【答案】 ；【解析】 (1)原式(2)由平方根的定義得：(3).【高清課堂：指數與指數運算369050 例4】例6已知，求的值【答案】 【解析】 從已知條件中解出的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應設法從整體尋求結果與條件的聯系，進而整體代入求值，=【總結升華】 對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值本題的關鍵是先求及的值，然后整體代入舉一反三：【變式1】求值：(1)