清華大學課件信號

1、信號陸 建 華工程系2004年春季學期第三章葉變換上節(jié)課回顧¥工程系葉級數(shù)f (t) =ån=-¥F (nw1)e jnw1tF (nw ) =1T1f (t )e - jnw1 t dtF1Tò0簡記 n1F= Et Saæ nw1t öT周期矩形：n1ç÷è2øf (t )E- T- T1- t 0 tT1Tt122221- 2pt02p4pttw1第三章葉變換§3.4 變換級數(shù)周期信號變換非周期信號把非周期信號的情況作為周期信號的一種極限來處理，可 由級數(shù)推演出變換，而進一步借助

2、奇異函數(shù)， 可以求得周期信號的變換。Recall 上節(jié)課周期脈沖的頻譜分析2工程系§3.4變換工程系T1 = 2tT1 = 4tf (t)f (t)0.50t00.50t0T1 = 8tf (t)T1 ® ¥Þw1 ® 00.5t00譜線高度03從數(shù)學上看，當T1小，仍有意義® ¥時，譜線高度雖很小，但其相對大從物理上看，各頻譜分量仍然，且相對大小有實際意義ï¥ì f (t) = å F (nw1)e jnw1tò T由ïn=-¥í1T1演變&#

3、239;F (nw ) =1î1T2f (t)e - jnw1t dt- 12將F (nw1) 除以w1Þ 2pF (nw1 )w1定義為頻譜密度（Spectrum Density）4§3.4變換工程系F (nw )1T1- jnw 1=2f (t)e1t dt 為一定值，令w= nw1w12pò-T12w ®02pF (nw )T1T ®¥ ò-T1- jnw記F (w ) =lim11= limw112f (t)e21t dt為譜密度函數(shù)，¥= ò-¥f (t)e - jwt dt

4、 w =nw1Þ Dw= D(nw1 )= w1¥ f (t) = åF (nw) × 1 e jnw t D(nw ) =¥1 F (w)e jwt Dwn=-¥111å1w =-¥w2pDw ® 0 1 ò¥F (w )e jwt dw2p-¥5§3.4變換¥因此得到變換對：工程系ïìF (w)= F f(t) =ò-¥f (t)e- jwt dt正變換íï f (t)= F -1F (w)

5、= 1 ò¥F (w )e jwt dw逆變換î2p-¥F (w )為復函數(shù)，可以寫作F (w) =F (w) e jj (w )F (w)為頻譜函數(shù)的模，代表信號中各頻率分量的相對大小；j (w ) 為F (w )的相位函數(shù)，表示信號中各頻率分量之間的相位。6§3.4變換討論： f (t)反映信號的時域特征，F(xiàn) (w ) 反映信號的頻域特征，F(xiàn) 變換之本質。非周期信號同周期信號類似，可以分解為不同的頻率分量； 所不同的是，周期信號的頻譜為離散線譜，非周期信號的 頻譜為連續(xù)譜，以密度函數(shù)表示。 具有離散頻譜的信號，其能量集中在一些諧波分量之中。

6、具有連續(xù)頻譜的信號，其能量分布在所有頻率之中，每一頻率分量之能量®0。7工程系§3.4變換工程系變換的條件：什么樣的f(t)可以取F (w ) ？¥充分條件：ò-¥f (t) dt < ¥類似于級數(shù)的Dirichlet條件，但不是必要條件。借助奇異函數(shù)，周期信號、階躍信號雖不滿足以上條件，但可以變換。8第三章葉變換§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)ç÷(一) 矩形脈沖信號wt工程系F (w ) =f (t)e -jwt dt =t2 Ee - jwt dt= Etsin×2 =Et &

7、#215; Saæ wt ö¥ò-¥ò-t2wtè 2 ø2f (t)Et 0 tF(w)Et- 2pt2pt0t-229§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)2210工程系給定f(t) ÞF (w )確定，若f(t)是某一周期信號的一個周期，則其離散譜有相同的。(二) 升余弦Raised Cosinoidal Signalf (t) =E æ1 +ç¥2 ècos pttöu(t÷ø+ t ) - u(t- t )Ef (t

8、)F (w) =ò-¥f (t)e- jwt dtt= ò-tE æ1 + cos pt öçe÷2 èt ø- jwt dtE / 20-t0t2t§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)工程系tE= 2 ò-te - jwt dt +4 ò-tj pttEe te - jwt dt +4 ò-t- j pttEete - jwt dt(公式)= EtSa(wt ) + Et Sa éæw - pöt ù + EtSa 

9、33;æw + p öt ùêç2ëè÷út ø û2ç÷êtúëèø û=E sinwt=EtSa(wt )éæ wt ö2 ùæ wt ö2w ê1 - ç p ÷ ú1 - ç p ÷êèø úûèø11f (t)

10、EE / 20注意：-t0t22F(w)EtEt / 202t- 3pt- 2p - ptt0p2p3pttt(1) 隨增長，諧波與w 3成反比(減小)，因此升余弦脈沖能量更集中。一個解釋是升余弦函數(shù)沒有跳變，有跳變者高頻分量多，無跳變者高頻分量少，關于這一現(xiàn)象有如下規(guī)律：12§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)函數(shù) f (t)本身有不連續(xù)點，幅度增與成反比16工程系d dtf (t)有不連續(xù)點，幅度譜與w 2成反比d 23 dt 2f (t)有不連續(xù)點，幅度譜與w成反比(1)(3)(2)(2) 升余弦的寬度定義在E 處，而不是在底端，這樣以便2與矩形比較，二者頻譜的第一個零點一改

11、。0wp2TpT3p2T(3) 升余弦信號在數(shù)字通信中被廣泛采用(能量集中)， 但形式略有不同。H (w )1.舉例：實用升余弦濾波器0.80.60.40.2(a = 0.5)升余弦滾降濾波器的頻域表示ì H0T ìé T æp öùüp (1 - a )p (1 + a )ï2í1 - sin ê 2a çw - T÷úý,£ w £TTïîëïèøûþp

12、 (1 - a )H (w ) = íïïïïîH0T ,0 £ w0,w£T> p (1 + a )T升余弦滾降濾波器的時域表示h( t T )1.0-3-2-10123tTsin p tcos ap th(t) =H0TT2p t T思考題14：4a 2t21 -T 2(a = 0.5)如何據(jù)此波形通過時域的辦法實現(xiàn)升余弦濾波器？§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)信號經(jīng)過升余弦滾降濾波后的時域波形Amplitude10t-117工程系f (t)0(三) 單邊指數(shù)信號 p20-p218f (t

13、)= e-atu(t)| F(w) |1/ a0t¥F (w ) = ò0e-at e- jwt dt =1a + jwj(w)a2 + w 2F (w) =1j (w ) =-tg-1 waf (t)eate-at(四) 偶對稱雙邊指數(shù)信號f (t)= e- a|t| F (w ) |2 / a1 / aò0t0F (w) =ò-¥eate- jwt dt +¥10e-ate- jwt dt1= a - jw+ a + jw=2aa 2 + w 20a19(五) 奇對稱雙邊指數(shù)信號f (t)e-atf (t) =-eatu(-t)

14、+ e-atu(t)- eat| F (w ) |0t1 / a0F (w ) =ò-¥(-eat )e - jwt dt +¥ e -at e - jwt dtò0j (w )p20- p2- a0 a= -1+1=- 2 jwa - jwa + jwa 2 + w 22F (w ) =ì p2 wípj (w ) = ï 22w < 0a+ wï-w > 0î220§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)+ 10- 1t(六) 符號函數(shù)f ( t )工程系| F(w) |sgn(t

15、 ) =u(t ) -u(-t )取雙邊奇對稱指數(shù)信號極限Þ sgn(t )因此，F(xiàn) (w )= lim - 2 jw=2a®0 a 2+ w 2jw0Þ F (w )= 2 wìp+p2íj (w ) = ïï-î2(w < 0)j(w)p20-p221(w > 0)§3.5 典型非周期信號的頻譜(變換)(七) ()信號什么信號其頻譜仍與原信號形式相同？信號æ t ö2-ç t ÷f (t) = Ee è øæ wt &#

16、246;2pÞF (w ) =Ete-ç 2 ÷èøf (t) 、F (w )都是()函數(shù)。(頻譜圖略)22工程系第三章葉變換§3.6 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)之變換23工程系(一)F d (t)F d (t) =¥ò-¥d (t)e- jwt dt = 1沖激函數(shù)之頻譜覆蓋所有頻段，各種工業(yè)中產(chǎn)生的瞬間電火花，其造成的干擾是全頻段的。F 1 =2pd(w )(利用逆變換)§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)之變換(二)F d ¢(t)24工程系¥F d ¢(t) =ò-

17、¥d ¢(t)e- jwt dt= e- jwt d¥(t)+-¥jw ¥ò-¥e- jwt d(t)dt = jwÞ思考題15：利用分步積分法證明F d(n) (t)=( jw )nn ³ 1§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)之變換工程系(三)F u(t)u(t) =1 + 1 sgn(t)22F u(t) = F é 1 ù + F é 1 sgn(t)ù = pd (w ) +1êë 2 úûêë

18、2úûjw注意：d (w )的出現(xiàn)是因為u(t)中含有直流分量。由于時間，§3.6不進一步細講，建議課后閱讀， 希望也能掌握書中提到的。25¥小結：ìF (w ) =ò-¥f (t)e - jwt dt F 變換定義í1ï f (t) =î2pò-¥F (w )ejwt dwï¥典型非周期信號的變換，注意其集中能量的特點：EtSaæ wt öµ 12wE-t / 2t / 2E-E-本身不連續(xù)ç÷èødEtSa 2 æ wt ö12dt 不連續(xù)ç÷µèøw 2d 2EtSa(wt )不連續(xù)21µ3 (很