課標(biāo)版數(shù)學(xué)中考第二輪專題復(fù)習(xí)-15分類討論型試題(含.(1.55M)-843

1、分類討論型問題探究分類思想是解題的一種常用思想方法，它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學(xué)生學(xué)會完整地考慮問題、化整為零地解決問題，學(xué)生只有掌握了分類的思想方法，在解題中才不會出現(xiàn)漏解的情況.例1（2005年黑龍江） 王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米(水渠的寬不計)，請你計算這塊等腰三角形菜地的面積分析：本題是無附圖的幾何試題，在此情況下一般要考慮多種情況的出現(xiàn)，需要對題目進(jìn)行分情況討論。分類思想在中考解題中有著廣泛的應(yīng)用，我們在解題中應(yīng)仔細(xì)分析題意，挖掘題目的題設(shè)，結(jié)論

2、中可能出現(xiàn)的不同的情況，然后采用分類的思想加以解決.解：（1)當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(如圖1)，由勾股定理得AE25（m）由DEFC得，得FC24（m） SABC= ×40×24=480（m2）(2)當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(如圖2)同理可得，SABC=×64×24=768（m2）圖1圖2A說明：本題主要考查勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等內(nèi)容。練習(xí)一1、（2005年資陽市）若O所在平面內(nèi)一點P到O上的點的最大距離為a，最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為（）A. B. C. 或D. a+b或a-b2（2005年杭州）在右圖的幾何體中,

3、上下底面都是平行四邊形, 各個側(cè)面都是梯形, 那么圖中和下底面平行的直線有( ) (A) 1條 (B) 2條 (C) 4條 (D) 8條3（2005年濰坊市）已知圓和圓相切，兩圓的圓心距為8cm，圓的 半徑為3cm，則圓的半徑是（ ） A5cm B11cm C3cm D5cm或11cm4.（2005年北京） 在ABC中，B25°，AD是BC邊上的高，并且，則BCA的度數(shù)為_。5、（2005年金華）直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，拋物線yx2x6與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C.如果點M在y軸右側(cè)的拋物線上， SAMOSCOB，那么點M的坐標(biāo)是.例題2（2005

4、年金華）如圖，在矩形ABCD中，AD8，點E是AB邊上的一點，AE2. 過D，E兩點作直線PQ，與BC邊所在的直線MN相交于點F.（1）求tanADE的值；（2）點G是線段AD上的一個動點，GHDE，垂足為H. 設(shè)DG為x，四邊形AEHG的面積為y，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果AE2EB，點O是直線MN上的一個動點，以O(shè)為圓心作圓，使O與直線PQ相切，同時又與矩形ABCD的某一邊相切. 問滿足條件的O有幾個？并求出其中一個圓的半徑.分析：分類討論的思考方法廣泛存在于初中數(shù)學(xué)的各知識點當(dāng)中，數(shù)學(xué)中的許多問題由于題設(shè)交代籠統(tǒng)，要進(jìn)行分類討論；由于題情復(fù)雜，包含的內(nèi)容太多，也要進(jìn)行討論。

5、解：（1） 矩形ABCD中，A90°，AD8，AE2， tanADE. （2） DE6， sinADE，cosADE. 在RtDGH中， GDx， DHDG·cosADEx， SDGHDG·DH·sinADE·x·x·x2. SAEDAD·AE×8×28， ySAEDSDGH8x2， 即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是yx28. （3）滿足條件的O有4個. 以O(shè)在AB的左側(cè)與AB相切為例，求O半徑如下： ADFN， AEDBEF. PFNADE. sinPFNsinADE. AE2BE， AED與BEF

6、的相似比為21， ，F(xiàn)B4.過點O作OIFP，垂足為I，設(shè)O的半徑為r，那么FO4r. sinPFN， r1. （滿足條件的O還有：O在AB的右側(cè)與AB相切，這時r2；O在CD的左側(cè)與CD相切，這時r3；O在CD的右側(cè)與CD相切，這時r6） 說明：本題考查了三角函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)，以及二次函數(shù)的有關(guān)知識，是一道涉及面較廣，體現(xiàn)分類思想較明顯的綜合性題目。練習(xí)二1、（2005年河南）如圖1，中，,點在邊上，且. (1)動點在邊上運動，且與點，均不重合，設(shè) 設(shè)與的面積之比為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）； 當(dāng)取何值時， 是等腰三角形？寫出你的理由。 （2）如圖2，以圖1中

7、的為一組鄰邊的矩形中，動點在矩形邊上運動一周，能使是以為頂角的等腰三角形共有多少個（直接寫結(jié)果，不要求說明理由）？2（2005年河南課改）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB2，DC2，點P在邊BC上運動(與B、C不重合)，設(shè)PCx，四邊形ABPD的面積為y。求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；若以D為圓心、為半徑作D，以P為圓心、以PC的長為半徑作P，當(dāng)x為何值時，D與P相切？并求出這兩圓相切時四邊形ABPD的面積。3、（2005年常州）已知的半徑為1，以為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系有一個正方形，頂點的坐標(biāo)為（，0），頂點在軸上方，頂點在上運動（1）當(dāng)點運動

8、到與點、在一條直線上時，與相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不相切，也請說明理由；（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，正方形的面積為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值和最小值4、（2005年安徽）在一次課題學(xué)習(xí)中活動中,老師提出了如下一個問題:點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N,使點P是線段MN的三等分點,這樣的直線能夠畫幾條?經(jīng)過思考,甲同學(xué)給出如下畫法:如圖1,過點P畫PEAB于E,在EB上取點M,使EM=2EA,畫直線MP交AD于N,則直線MN就是符合條件的直線l.根據(jù)以上信息,解決下列問題:(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由

9、.(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出.(3)如圖2,A1、C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?(4)如圖3,正方形ABCD邊界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在邊的三等分點.當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時,試討論,符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況.5、（2005年上海）在ABC中，ABC90°，AB4，BC3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EPED，交射線AB

10、于點P，交射線CB于點F。(1)如圖8，求證：ADEAEP；(2)設(shè)OAx，APy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)BF1時，求線段AP的長.能力訓(xùn)練1、（2005年河北課改）圖151至157中的網(wǎng)格圖均是20×20的等距網(wǎng)格圖（每個小方格的邊長均為1個單位長）。偵察兵王凱在P點觀察區(qū)域MNCD內(nèi)的活動情況。當(dāng)5個單位長的列車（圖中的）以每秒1個單位長的速度在鐵路線MN上通過時，列車將阻擋王凱的部分視線，在區(qū)域MNCD內(nèi)形成盲區(qū)（不考慮列車的寬度和車廂間的縫隙）。設(shè)列車車頭運行到M點的時刻為0，列車從M點向N點方向運行的時間為t（秒）。在區(qū)域MNCD內(nèi)，請你針對圖1

11、51，圖152，圖153，圖154中列車位于不同位置的情形分別畫出相應(yīng)的盲區(qū)，并在盲區(qū)內(nèi)涂上陰影。只考慮在區(qū)域ABCD內(nèi)形成的盲區(qū)。設(shè)在這個區(qū)域內(nèi)的盲區(qū)面積是y（平方單位）。如圖155，當(dāng)5t10時，請你求出用t表示y的函數(shù)關(guān)系式；如圖156，當(dāng)10t15時，請你求出用t表示y的函數(shù)關(guān)系式；如圖157，當(dāng)15t20時，請你求出用t表示y的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)中得到的結(jié)論，請你簡單概括y隨t的變化而變化的情況。根據(jù)上述研究過程，請你按不同的時段，就列車行駛過程中在區(qū)域MNCD內(nèi)所形成盲區(qū)的面積大小的變化情況提出一個綜合的猜想（問題是額外加分，加分幅度為14分）。 2、（2005年錦州）如圖，在平面直

12、角坐標(biāo)系中有一直角梯形OABC，AOC=90°，ABOC，OC在x軸上，過A、B、C三點的拋物線表達(dá)式為. (1)求A、B、C三點的坐標(biāo)； (2)如果在梯形OABC內(nèi)有一矩形MNPO，使M在y軸上，N在BC邊上，P在OC邊上，當(dāng)MN為多少時，矩形MNPO的面積最大？最大面積是多少？ (3)若用一條直線將梯形OABC分為面積相等的兩部分，試說明你的分法. 注：基總結(jié)出一般規(guī)律得滿分，若用特例說明，有四種正確得滿分. 3（2005年徐州）有一根直尺的短邊長2，長邊長10，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm.如圖12，將直尺的短邊DE放置與直角三角形紙板的斜

13、邊AB重合，且點D與點A重合.將直尺沿AB方向平移(如圖13)，設(shè)平移的長度為xcm(0x10)，直尺和三角形紙板的重疊部分(圖中陰影部分)的面積為S2.(1)當(dāng)x=0時(如圖12)，S=_；當(dāng)x = 10時，S =_.(2) 當(dāng)0x4時(如圖13)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；xFEGABCD(圖13)不妨用直尺和三角板做一做模擬實驗，問題就容易解決了！(3)當(dāng)4x10時，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值(同學(xué)可在圖14、圖15中畫草圖).(圖12)(D)EFCBAABC(圖14)ABC(圖15)4、（2005年四川）已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于不同的兩點A(x1，0

14、)和B(x2，0)，與y軸的正半軸交于點C。如果x1、x2是方程x2x6=0的兩個根(x1<x2)，且ABC的面積為。 (1)求此拋物線的解析式； (2)求直線AC和BC的方程； (3)如果P是線段AC上的一個動點(不與點A、C重合)，過點P作直線y=m(m為常數(shù))，與直線BC交于點Q，則在x軸上是否存在點R，使得PQR為等腰直角三角形?若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。5（2005年濰坊）拋物線交軸于、兩點，交軸于點,已知拋物線的對稱軸為，,.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2） 在拋物線對稱軸上是否存在一點，使點到、兩點距離之差最大？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

15、（3）平行于軸的一條直線交拋物線于兩點，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑··16、（2005年太原） 如圖，直線y=x+2與y軸交于點A，與x軸交于點B，C是ABO的外接圓(O為坐標(biāo)原點)，BAO的平分線交C于點D，連接BD、OD。 (1)求證：BD=AO； (2)在坐標(biāo)軸上求點E，使得ODE與OAB相似； (3)設(shè)點A在OAB上由O向B移動，但不與點O、B重合，記OAB的內(nèi)心為I，點I隨點A的移動所經(jīng)過的路程為l，求l的取值范圍。7、（2005年大連）如圖，P是y軸上一動點，是否存在平行于y軸的直線xt，使它與直線yx和直線分別交于點D、E（E在D的上方），且PD

16、E為等腰直角三角形。若存在，求t的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因。y= x2ky=xOxy8、（2005年江蘇）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示。 求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標(biāo)； 若點N為線段BM上的一點，過點N作軸的垂線，垂足為點Q。當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為，四邊形NQAC的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； 在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； 將OAC補(bǔ)成矩形，使上OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接

17、寫出矩形的未知的頂點坐標(biāo)（不需要計算過程）。答案：練習(xí)一1、C； 2、C； 3、D； 14、65度或115度；5、（1，6），（4，6）練習(xí)二1、 2、過點D作DEBC于E，ABC900，DEAB2，又DC2，EC2BCBEECADEC213S四邊形ABPD4x，即yx4 (0x3）當(dāng)P與E重合時，P與D相交，不合題意；當(dāng)點P與點E不重合時，在RtDEP中，DP2DE2EP222|2x|2x24x8P的半徑為x，D的半徑為，當(dāng)P與D外切時，(x)2x24x8，解得x此時四邊形ABPD的面積y4當(dāng)P與D內(nèi)切時，(x)2x24x8，解得x此時四邊形ABPD的面積y4P與D相切時，四邊形ABPD的面

18、積為或3、（1）CD與O相切。 因為A、D、O在一直線上，ADC=90°，所以COD=90°，所以CD是O的切線 CD與O相切時，有兩種情況：切點在第二象限時（如圖），設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則a2（a1）2=13，解得a=2，或a=-3（舍去） 過點D作DEOB于E，則RtODERtOBA，所以，所以DE=，OE=，所以點D1的坐標(biāo)是（-，） 所以O(shè)D所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= 切點在第四象限時（如圖），設(shè)正方形ABCD的邊長為b，則b2（b1）2=13，解得b=-2（舍去），或b=3 過點D作DFOB于F，則RtODFRtOBA，所以，所以O(shè)F=，DF=，所以點

19、D2的坐標(biāo)是（，-） 所以O(shè)D所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= （2）如圖，過點D作DGOB于G，連接BD、OD，則BD2=BG2DG2=（BOOG）2OD2-OG2= 所以S=AB2= 因為-1x1，所以S的最大值為，S的最小值為 4、(1)的畫法正確.因為PEAD,所以MPEMNA,所以,而EM=2EA,所以MP:MN=2:3,因此點P是線段MN的一個三等分點.(2)能畫出一個符合題目條件的直線,在EB上取M1,使EM1=AE,直線M1P就是滿足條件的直線,圖略;(3)若點P在線段A1C1上,能夠畫出符合題目條件的直線無數(shù)條,圖略;(4)若點P在A1C1,A2C2,B1D1,B2D2上時,可

20、以畫出無數(shù)條符合條件的直線l;當(dāng)點P在正方形A0B0C0D0內(nèi)部時,不存在這樣的直線l,使得點P是線段MN的三等分點;當(dāng)點P在矩形ABB1D1,CDD2B2,A0D0D2D1,B0B1B2C0內(nèi)部時,過點P可畫出兩條符合條件的直線l,使得點P是線段MN的三等分點.5、能力訓(xùn)練1、解：略如圖6，當(dāng)5t10時，盲區(qū)是梯形AA1D1DO是PQ中點，且OAQD，A1，A分別是PD1和PD中點A1A是PD1D的中位線。又A1A，D1D而梯形AA1D1D的高OQ=10，如圖7，當(dāng)10t15時，盲區(qū)是梯形A2B22C22D22，易知A2B2是PC2D2的中位線，且A2B2=5，C2D2=10又梯形A2B2C

21、2D2的高OQ=10，如圖8，當(dāng)15t20時，盲區(qū)是梯形B3BCC3易知BB3是PCC3的中位線且BB3又梯形B3BCC3的高OQ=10，當(dāng)5t10時，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，盲區(qū)的面積由0逐漸增大到75；當(dāng)10t15時，盲區(qū)的面積y為定值75；當(dāng)15t20時，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，盲區(qū)的面積由75逐漸減小到0通過上述研究可知，列車從M點向N點方向運行的過程中，在區(qū)域MNCD內(nèi)盲區(qū)面積大小的變化是：在0t10時段內(nèi)，盲區(qū)面積從0逐漸增大到75；在10t15時段內(nèi)，盲區(qū)的面積為定值75；在15t20時段內(nèi)，盲區(qū)面積從75逐漸減小到02、(1)由圖形得，點A橫坐標(biāo)為0，將x=0代入， 得y=10，A

22、(0,10) ABOC，B點縱坐標(biāo)為10，將y=10代入得， ，x1=0, x2=8. B點在第一象限，B點坐標(biāo)為(8,10) C點在x軸上，C點縱坐標(biāo)為0，將y=0代入得， 解得x1=-10，x2=18. C在原點的右側(cè)，C點坐標(biāo)為(18,0). (2)法一：過B作BQOC，交MN于H，交OC于Q，則RtBNHRtBCQ， . 設(shè)MN=x，NP=y，則有.y=18-x. S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81. 當(dāng)x=9時，有最大值81. 即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81.法二：過B作BQx軸于Q，則RtCPNRtCQB，.設(shè)MN=x，N

23、P=y，則有.y=18-x.S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.當(dāng)x=9時，有最大值81.即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81.法三：利用RtBHNRtNPC也能解答，評分標(biāo)準(zhǔn)同上.法四：過B點作BQx軸于Q，則RtBQCRtNPC，QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，BQC為等腰直角三角形，NPC為等腰直角三角形.設(shè)MN=x時矩形MNPO的面積最大.PN=PC=OC-OP=18-x.S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.當(dāng)x=9時，有最大值81.即MN=9時，矩形MN

24、PO的面積最大，最大值為81.(3)評價要求：此處體現(xiàn)分類思想，但分類方法不惟一，給出的答案僅供參考. 對于任意一條直線，將直線從直角梯形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過程中，總有一個位置使得直線將該梯形面積分割成相等的兩部分.過上、下底作一條直線交AB于E，交OC于F，且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可.構(gòu)造一個三角形，使其面積等于整個梯形面積的一半，因此有：，；，；，；，；不要求寫出P點的坐標(biāo). 平行于兩底的直線，一定會有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分；2(1)由圖形得，點A橫坐標(biāo)為0，將x=0代入， 得y=10，A(0,10) ABOC，B點縱坐標(biāo)為10，將y=1

25、0代入得， ，x1=0, x2=8. B點在第一象限，B點坐標(biāo)為(8,10) C點在x軸上，C點縱坐標(biāo)為0，將y=0代入得， 解得x1=-10，x2=18. C在原點的右側(cè)，C點坐標(biāo)為(18,0). (2)法一：過B作BQOC，交MN于H，交OC于Q，則RtBNHRtBCQ， . 設(shè)MN=x，NP=y，則有.y=18-x. S矩形MNOP=xy=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81. 當(dāng)x=9時，有最大值81. 即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81.法二：過B作BQx軸于Q，則RtCPNRtCQB，.設(shè)MN=x，NP=y，則有.y=18-x.S矩形MNOP=xy=

26、x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.當(dāng)x=9時，有最大值81.即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81.法三：利用RtBHNRtNPC也能解答，評分標(biāo)準(zhǔn)同上.法四：過B點作BQx軸于Q，則RtBQCRtNPC，QC=OC-OQ=18-8=10，又QB=OA=10，BQC為等腰直角三角形，NPC為等腰直角三角形.設(shè)MN=x時矩形MNPO的面積最大.PN=PC=OC-OP=18-x.S矩形MNOP=MN·PN=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81.當(dāng)x=9時，有最大值81.即MN=9時，矩形MNPO的面積最大，最大值為81.(3)評價要求：此處

27、體現(xiàn)分類思想，但分類方法不惟一，給出的答案僅供參考.對于任意一條直線，將直線從直角梯形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過程中，總有一個位置使得直線將該梯形面積分割成相等的兩部分.過上、下底作一條直線交AB于E，交OC于F，且滿足于梯形AEFO或梯形BEFC的上底與下底的和為13即可.構(gòu)造一個三角形，使其面積等于整個梯形面積的一半，因此有：，；，；，；，；不要求寫出P點的坐標(biāo). 平行于兩底的直線，一定會有其中的一條將原梯形分成面積相等的兩部分；3、4、5、解：（1）將代入，得 將，代入，得 .(1)是對稱軸， (2) 將（2）代入（1）得， 所以，二次函數(shù)得解析式是（2）與對稱軸的交點即為到的距離之差最大的

28、點點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為， 直線的解析式是，又對稱軸為， 點的坐標(biāo) （3）設(shè)、，所求圓的半徑為r，則 ，.(1) 對稱軸為， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 將代入解析式，得 ，.(4)整理得： 由于 r=±y，當(dāng)時，解得， ， （舍去），當(dāng)時，解得， ， （舍去）所以圓的半徑是或6、7、解：存在。方法一：當(dāng)xt時，yxt、當(dāng)xt時，。E點的坐標(biāo)為（t，），D點坐標(biāo)為（t，t）。E在D的上方，且t。PDE為等腰直角三角形，PEDE或PD=DE或PE=PD。若t0，PE=DE時，。P點坐標(biāo)為（0，）。若t0，PD=DE時，。P點坐標(biāo)為（0，）。若t0，PE=PD時，即DE為斜邊，。，DE的中點的坐標(biāo)為（t，），P點坐標(biāo)為（0，）。若t0，PE=PD時，由已知得DE=t，t40（不符合題意，舍去），此時直線xt不存在。若t0，PE=PD時，即DE為斜邊時，由已知得DE=2t，。P點坐標(biāo)為（0，0）綜上所述：當(dāng)t時，