拋物線地性質(zhì)歸納及證明

1、實用標(biāo)準(zhǔn)拋物線的常見性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線上一點與其焦點的連線段；焦點弦：兩端點在拋物線上且經(jīng)過拋物線的焦點線段稱為焦點弦性質(zhì)及證明過拋物線y1 2=2px (p>0)焦點F的弦兩端點為A(xi, yi), B(x2, y2),傾斜角為«，中點為C(xo,y 0),分別過A、B、C作拋物線準(zhǔn)線的垂線,1.求證:焦半徑| AF |=x1 2.P :1 -cos 二垂足為 A'、B'、C'.,一, P P焦半徑|BF|=x2;21 cos二文案大全1 1 1+1i= y 弦長 | AB| =xdx2+p= 2P ;特別地，當(dāng) x1=x2( a =90口

2、)I AF I I BF I Psin2時，弦長|AB|最短，稱為通徑，長為 2p；4 AOB勺面積Saoab= p2sin ;證明：根據(jù)拋物線的定義，| AF |=| AD |=x+2，|BF |=| BC |=x2+p,| AB |= | AF |+| BF |=x + x2+p如圖2,過A、B引x軸的垂線AA1、BBn垂足為AB1,那么 | RF |=| AD |-| FA1 |= | AF |-| AF |cos 日,| AF |= | RF | =p1 cos 1 1 cos 二同理，| BF4丁:=1 + cos 1 1 + cos 二 | AB |= | AF |+| BF |=

3、-3 + p3 =當(dāng).1 cosu 1 + cosH sin HP2-9_1122.求證： x%="； y%=-p . 77Fl+FBFi=n.4| AF | | BF | p當(dāng)AB，x軸時，有AF = BF = p,成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點弦AB的方程為：y = k，x衛(wèi)L代入拋物線方程:2k2 1 x - =2px.化簡彳導(dǎo):k2x2 2方程（1）之二根為xi, x2,2-p k2 2 x -p-k2 -014k2% x2111111x1 x2 p+ = + = +=- - 2AF BF AA BB1. p . pp ,p1 x1+2 x2 +- x1x2 +Jx+x2

4、 ）十（x1 x2 px1 x2 p 2= 22 二 二一-x1x27 x1x2p p42423.求證：/AC'B =/A'FB' = Rt/ .先證明：/AMB = Rt/【證法一】延長 AM交BC的延長線于E, ADMA ECM ,| AM |=| EM |, | EC |=| AD | . | BE |= | BC |+ | CE |= | BC |+ | AD |=| BF |+ | AF |= | AB |圖3. .ABE為等腰三角形，又 M是AE的中點, BMXAE,即/ AMB=Rt/111【證法二】取 AB的中點N,連結(jié)MN,則| MN |=2(| AD

5、 |+| BC |)=2(| AF |+| BF |)=習(xí) AB |, . | MN |= | AN |=| BN |. .ABM為直角三角形，AB為斜邊,故/AMB = RtZ .【證法三】由已知得 C(-2, y2)、D(-p,yi),p 由此得m(2,y1 + y22 ).y1 一 kAM =yi + y2y1 一 y2P(y1 y2)“IpkAM kBM y12 y1+p- y1+p22。2p+P22-p= p-= -pT= 1 y2 y1y2- p-p2 pmyr y1+ p2L衛(wèi)y1同理kBM = -Py2 BMXAE,即/AMB= RtZ .【證法四】由已知得ppC( 2, y2

6、)、D(-2, y1),E y + y22，2 ).MA = (x1 +p,y1 y2 > , p y 2 ), MB =(x3+2,MA . -MB =(X1 + 2)(X2+p) +(y1一 y2)(y2 yi)= X1X2 + 2(X + x2)+422p! (y1 一 y1由此得y2 y12 )22 .2p yi + y2 2yly2£0，一，12+Z 3 = 2* 180 三 90°AMB= RtZ.接著證明：/DFC=Rt/【證法一】如圖 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可設(shè)/ AFD = / ADF = / DFR = a,

7、同理，設(shè)/ BFC=Z BCF = Z CFR= P,而/AFD + / DFR + Z BFC+Z CFR= 180° -2(a+ 自=180 °,即 ot+P=90 故/ DFC = 90 s【證法二】取CD的中點M,即M(-2,町署)由前知 kAM=p-, af="一=-y2=-p y1p p p y12 2 1 kAM = kcF, AM/CF,同理， BM / DF/ DFC = / AMB = 90 0【證法三】: 下F =(p, y1)，F(xiàn) =(p, - y2),DF , CF =p2+y1y2 = 0 .IfCf ,故/ DFC = 90 s【證法

8、四】由于 | RF |2= p2= y1y2= | DR | | RC |,即照；1 = | RF 1jRCj,且/ DRF = Z FRC = 90 °ADRFA FRC，/DFR = / RCF,而/ RCF+Z RFC = 90° ./ DFR + Z RFC=90° ./ DFC = 90*4. C' A、C' B是拋物線的切線2【證法一】: kAM = p, AM的直線方程為y-y1 = -p(x-y1)圖8yy? 2p，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立消去x得2 y2y丫產(chǎn)藍(lán)一整理得y22yiy+y1=0yi 2p 2p可見= (2y1)2

9、 4y2 = 0,故直線AM與拋物線y2=2px相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖 8.【證法二】由拋物線方程 y2=2px,兩邊對x求導(dǎo)，(力；=(2px)；,得2y-y；= 2p, y'= p，故拋物線y2= 2px在點A(x1，y1)處的切線的斜率為 k切=丫；| yR=y1 一 .yi又kAM=E,，卜切;女人乂，即AM是拋物線在點 A處的切線，同理 BM也是拋物線的 yi切線.【證法三】過點 A%, yi)的切線方程為yiy=p(x+xi),把M(-p,吟昌代入222左邊=yi ,yi + y2 y + yiy2 2Pxi - pp2=2=2=pxi-2,A的切線經(jīng)過點M

10、,2右邊=p( p+ xi)= - p-+ pxi,左邊=右邊，可見，過點即AM是拋物線的切線，同理 BM也是拋物 線的切線.5. C'A、C'B分別是/ A'AB和/ B'BA的平分線. 【證法一】延長AM交BC的延長線于E,如圖9,貝ADMA ECM，有 AD / BC, AB= BE, ./ DAM = Z AEB = Z BAM ,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【證法二】由圖 9可知只須證明直線 AB的傾斜角a是直線AM的傾斜角P的2倍即可，即口=2亨）.y2 yiy2yi2pt tan ot= kAB= 22-=X2-Xiy2 y1y

11、i y22P 2Pyi y2 y1 一丁 tan P= kAM =p-xi+ 2yi -. y2p(yi - y2)y2 y2 + p22而十 p-p2p(yiB ”yi + p2 yi. .tan 2 P= 2ta* 口 i - tan -2P yi 2pyi 2pyi=-22= "2=p/E、2y2-py2+ yiy2yi + y2I ()vyr2p-= tan、工. g 2 P,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.6. AC'、A'F、y軸三線共點，BC'、B'F、y軸三線共點【證法一】如圖i0,設(shè)AM與DF相交于點Gi,由以上證明知

12、| AD |=| AF |, AM平分/ DAF ,故AGi也是DF邊上的中線,.Gi是DF的中點.設(shè)AD與y軸交于點Di, DF與y軸相交于點 G2,易知，| DDi |= | OF |, DDi / OF,故 DDiG204 FOG2| DG2 |=| FG2 |,則 G2也是 DF 的中點.Gi與G2重合(設(shè)為點 G)，則 AM、DF、y軸三 線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點.2【證法二】AM的直線方程為yy1=衛(wèi)(x 廿)，yi2p令x=0得AM與y軸交于點Gi(0,5)，又DF的直線方程為y=- ypi(x-2),令x = 0得DF與y軸交于點G2(0,學(xué)).AM、DF與y軸的

13、相交同一點 G(0, ),則AM、DF、y軸三線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點 H.由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.7. A、O、B'三點共線，B、O、A'三點共線.【證法一】如圖ii,八人=工=2-=型, xi義yi而_ y2 維 2py22py2 _2pk0C 一 一 '2"=p p p- yi y2 yi2koA = koc,則A、0、C二點共線,同理D、0、B三點也共線.【證法二】設(shè) AC與x軸交于點 01AD / RF/ BC共線.| R0L|C0，|_| BF | | 0F |_| CB |''| AD| CA| AB

14、| AF| AB又| AD |=| AF |, | BC |=| BF |, 輯J|0F| R0'| = | 0F |,則 0 與 0 重合，即 C、0、A三點共線，同理D、0、B二點也【證法三】設(shè) AC與x軸交于點0'，RF/ BC,|_0T|=g | CB | | AB |'|0F =| CB | | AF | | BF | | AF | AB | AF |+| BF | AF | | BF |P【見證】0與0重合，則即C、0、A三點共線，同理 D、0、B三點也共線.【證法四】 0C = (-2,Y2), 0A=(xi, yi),“ ym n8 .若| AF |:

15、| BF |=m： n,點A在第一象限，6為直線AB的傾斜角.則cos6=一一； m+n【證明】如圖14,過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為 D, C,過B作BEXAD于 E,設(shè) | AF |=mt, | AF |=nt,則| AD |=| AF |, | BC |=| BF |, | AE |= | AD | BC | = (mn)t在 RtAABE 中,cos/ BAE =1AEJI AB I(m n)t(m+ n)tm nm+ ncos 0= cos/ BAE=m-n.m+ n【例6】設(shè)經(jīng)過拋物線 y2=2px的焦點F的直線與拋物線相交于兩點A、B,且| AF |: | BF |=3

16、: 1,則直線AB的傾斜角的大小為 【答案】60或120°9 .以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；A' B'為直徑的圓與焦點弦 AB相切.【說明】如圖15,設(shè)E是AF的中點,2+xi則E的坐標(biāo)為（-2 ，y1）,21則點E至ij y軸的距離為d= 2=2| AF |故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說明】如圖15,設(shè)M是AB的中點，作 MN，準(zhǔn)線l于N,則I MN |=2(| AD |+| BC |)=2(| AF |+|BF |) = 2| AB |1則圓心 M到l的距離| MN |=2

17、| AB |,故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切10. MN交拋物線于點 Q,則Q是MN的中點.22【證明】設(shè) A（2, y），B（2y1, y1），則 c（-p, y2）,y1），2 2P y + y2y + y2M(2，丁), n(r-設(shè)MN的中點為Q',則Q'（y1 + y22 )，2 ,2P y + y2-2+ 4P22 2p y + y22+ 4P22222P + y1 + y28Py1 + y22 )222y1y2 + y1 + y28Py1+ y2 222P，點Q'在拋物線y2=2px上，即Q是MN的中點.111 p 八Saoab = Sa oaf + S obf = 2 OF | y1 |+ 2| OF | y1 | = 2 2 '(| y1|十| y1 |)y1y2=-p2,則 y1、y2異號，因此，| y1 |+| y |=|y一 y2 |22saoab = p| y 一 y2 | = pZ(y1 十丫2)24y1y2 = ,4m2p2+ 4p2=pV1+ m2 = 2 .2 2 y2, 2P22222MA，1MB ,故/