整式的乘法和因式分解知識(shí)點(diǎn)匯總

1、整式乘除與因式分解一.知識(shí)點(diǎn)(重點(diǎn))1 .幕的運(yùn)算性質(zhì)：am an = am+n(m、n 為正整數(shù))同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例：(一2a)2( 3a2)3m n2 .(a)= amn(m、n 為正整數(shù))幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.例：(-a5)5n n n3 .(ab ) -a b(n為正整數(shù))積的乘方等于各因式乘方的積.例：(一a2b)3練習(xí)：,.、_3_ 2一 .2、(1) 5x2x y -3ab (-4b )(3)3ab 2a(4) yz2y2z2(5) (2x2y)3 (4xy2)(6)- a3b 6a5b2c(-ac2)234) am+an= am n(aw 0, m、n

2、 都是正整數(shù)，且 m>n)同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.例：(1) x8+x2(2) a4+a(3) (ab) 5+ ( ab) 25) ) (-a) 7+ (-a) 5(-b) 5+(-b)25 .零指數(shù)幕的概念：s° = 1(aw 0)任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于 l .例：若(2a3b)0 =1成立，則a,b滿足什么條件？6 .負(fù)指數(shù)幕的概念： 1ai p= ap(aw0, p 是正整數(shù))任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p (p是正整數(shù))指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的 p指數(shù) 幕的倒數(shù).nI m 'p I = II也可表示為： m) nn) (mw0, nw0, p為正

3、整數(shù))7.單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單 項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.21213324例：(1) 3a b 2abc - abc (2) (- m n) (-2m n)328.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積 相加.例：(1) 2ab(5ab2+3a2b)(2) (- ab2 -2ab) - ab32(3) (-5m2n) (2n+3m n2)(4) 2(x+ y2z + xy2z3) xyz9.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每

4、一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相 乘，再把所得的積相加.例：(1) (1 -x)(0.6-x) (2) (2x + y)( x y) (3) (2m + n)2練習(xí)：1 .計(jì)算 2x 3 , (2xy)( 一 ； xy) 3 的結(jié)果是 842 . (3X 10 8)x(-4X 10 4) =3.4.5.6.7.8.9.若n為正整數(shù)，且x 2n=3,則(3x3n) 2的值為 如果(a nb abm) 3=a 9b15,那么mn的值是 -a 2(2a 3-a) =(4x 2+6x 8) ( 1x 2) =22n(- 1 + 3mn ) =若 k(2k5) + 2k(1 k) = 32,貝U k =2、

5、(3x 2) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) = 10. 在(ax 2+bx3)(x 21x + 8)的結(jié)果中不含 x 3和 x 項(xiàng)，貝U a=, b=_11. 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為(a+4)cm,寬為(a3)cm,高為(a+5)cm,則它的表面積12. 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10cm,寬比長(zhǎng)少6cm,則它的面積是,若將長(zhǎng)方 形的長(zhǎng)和都擴(kuò)大了 2cm,則面積增大了 。10 .單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式 里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.例：(1) 28x4y2 + 7x3y (2) -5a5b3c+15a4b (

6、3) (2x2y) 3 (-7xy2) + 14x4y311 .多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.例：(1) (3x2y-6xy) 6xy (2) (5a3b- 10a2b2 - 15ab3)' (-5ab)練習(xí)：1 .計(jì)算：(1) - -x4y2z3 -x2y2 ;77(3) 16(a -b 6 +4(a -b 2 ./C/c23j 322：(2) (-2x y ) = 一一 x y ;< 2)(4)(4x3y2n 2 *(2xyn 3(5) (4x109 (2父103 )2 .計(jì)算：(1) 16x3y31x2y3

7、 .I-xyf;3232 2 '(I 2。(17(2) -x y -x y i - -xy i<5 / 12 J < 5 J/ q5 n 21 n. 2 !2 n. n !(3) a b 尸a b i a b< 2 八4 八5 J3 .計(jì)算：(1) 4(x -y 5(x + y 4 1 6(y - xjx + y 2 ；(2) 16(a +b 6 (a -b 5 1+ (a + b 3(a - b j .4.若 (ax3my12) -(3x3y2n)=4x6y8 ,貝U a =, m =易錯(cuò)點(diǎn)：在幕的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤；有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤；誤用

8、同底數(shù)幕的除法法則；用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò);乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12.乘法公式:平方差公式：(a+ b) (a-b) =a2b2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.完全平方公式：(a+ b) 2=a2 + 2ab+ b2(a b) 2 = a22ab+ b2文字語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或 減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍.例 1: (1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m +2n)(-m-2n).(3) (-2x+5)例 2：(1) (x+6) 2(2) (y

9、-5)練習(xí)： -435 42 3,32、22、3/2、31、(-a ) (-a )=。x(x y ) -2(x y) (xy )=2、6a4b3 +12a3b4 -8a3b2 =2a3b2 ()3、 x2 +9y2=(x+)2 ； x2 +2x35 = (x +7) ()1 一 3111 '4、已知 x + =5 ,那么 x + =； , x - =。 xxx5、若9x2 +mxy +16y2是一個(gè)完全平方式，那么 m的值是。6、多項(xiàng)式x3 +x2,x2 +2x+1,x2 x2的公因式是 。一 _x37、 因式分解： 8 +。272_128、因式分解： 4m +2mn+-n =。 49

10、、計(jì)算：0.131父8-0.004 父80.002父8=。2210、x -y _x + y= (xy)，A,則 A =易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13.因式分解(難點(diǎn))因式分解的定義.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式 分解.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整 式，這三個(gè)要素缺一不可；(2)因式分解必須是恒等變形；(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法 是把積化為和差的形式.

11、二、熟練掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念；(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分： 系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù) 相同字母的最低次數(shù)；(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確 定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng) 數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).(4)注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”； 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的 系數(shù)是正的.例： 8a3b2+12ab3c(2) 75x3y5 -

12、35x2y42、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用;常用的公式：平方差公式：a2b2= (a+b) (a- b)完全平方公式：a2+2ab+ b2= ( a+ b) 2a2 2ab+ b2= (a b) 2例：(1) a2b2 -0.25c2(2) 9(a b)2 + 6(b a) +142222222(3) a x -4a x y + 4x y(4) (x + y) 12(x + y)z+36z練習(xí)：1、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于。2、x2 +x+m =(x -n)2 貝U m =n =3、2x3y2與12x6y的公因式是4、若 xm -

13、 yn = (x + y2 )(x - y2 )(x2 + y4),貝U m=, n=?5、在多項(xiàng)式m2 +n2,-a2 -b2,x4+4y2, Ys2+9t4中，可以用平方差公式分解因 式的有,其結(jié)果是6、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則 m=。27、x +()x+2 =(x+2)(x +)8、已知 1 +x+x2 +x2004 +x2005 = 0,則*2006 =.9、若16(a-b)2+M +25是完全平方式 M=。2一_、22一_、210、x +6x + (_) = (x+3) , x +()+9=(x-3)11、若9x2 +k + y2是完全平方式，則k=o12、若x2

14、+4x-4的值為0,則3x2+12x_5的值是。13、若 x2 ax 15 = (x +1)(x 15)貝U a =。2214、右 x+y=4,x +y =6 貝 Uxy=。15、方程x2+4x = 0,的解是。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤; 分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀:整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、哥的有關(guān)運(yùn)算例1. （2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（A）a3 w2 =a6（B） （a2）3=a58242 22 4（C） a +a =a（D） （ab ） =a b分析:哥的運(yùn)算包括同底數(shù)哥

15、的乘法運(yùn)算、哥的乘方、積的乘方和同底數(shù)哥的除法運(yùn)算.哥的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ) ，準(zhǔn)確解決哥的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則知a3 a2 =a3也=a5,所以（A）錯(cuò)；根據(jù)哥的乘方運(yùn)算法則知（a2）3 =a2* =a6，所以（B）錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則知a8 -a2 =a8' =a6，所以（C）錯(cuò)；故選（D）.例 2. （2009 年齊齊哈爾）已知 10m =2, 10n =3,貝 U 103mH2n=.分析：本題主要考查哥的 運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)哥的乘法法則 am wn = a時(shí)將指數(shù)相加化為哥相乘的形式 ，再逆用哥的乘方的

16、法則 （am）n =amn,將指數(shù) 相乘轉(zhuǎn)化為哥的乘方的形式，然后代入求值即可.解：103m .=l03mx102n =（l0m）3 X （I0n）2 =23父32 =72.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例 3. （2009 年賀州）計(jì)算：（-2a）（1a31） =.4分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.計(jì)算時(shí)，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，注意符號(hào)的變化.解：（-2a） （1a3 -1） = （-2a） -a3 -（-2a） 1 = -a4 +2a .442考點(diǎn)3、乘法公式 2例 4. （2009 年山西?。┯?jì)算：（x+3 ） （x 1 K x 2 ）分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則

17、以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng)22_2_一斛：(x+3 ) (x 1 X x _2 )= x +6x+9(x 2xx+2)22=x 6x 9 - x 2x x - 2 = 9x 7.3例5. (2009年寧夏)已知：a+b=_, ab = 1 ,化簡(jiǎn)(a 2)(b2)的結(jié)果是.2分析:本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算，然后靈活變形，使其出現(xiàn)(a+b)與ab,以便求值.3解：(a 2)(b -2) = ab -2a-2b + 4 = ab-2(a+b) + 4 = i- 2x3+4 = 22'考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6. ( 2009年長(zhǎng)沙)先化

18、簡(jiǎn)，再求值：(a+b)(a - b)+(a + b)2 - 2a2 ,其中c .1a =3, b =.3分析:本題是一道綜合計(jì)算題，主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：(a+b)(a -b) +(a+b)2 -2a2222_2_ 2二a -ba 2ab b -2a二2ab1 .1當(dāng) a=3, b =時(shí)，2ab=2父3父=23 . 3.考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009 年廈門)計(jì)算:(2xy)(2x+y) + y(y6x) 2x分析:本題的一道綜合計(jì)算題，首先要先算中括號(hào)內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進(jìn)行 整式的除法運(yùn)算.解：(2x-y)( 2x+ y) + y(y- 6x) -2x= (4

19、x2-y2+y2-6xy) -2x2=(4x 6xy) -2x= 2x- 3y.考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算例8. (2009年定西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“金”,其法則為：a$b = a2-b2,求方程(4$3)x=24的解.分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式 a®b = a2 -b2可知，在本題中“份”定義的是平方差運(yùn)算，即用“前邊的數(shù)的平方減去 “份”后邊的數(shù)的平方.解：: a$b=a2b2 ,(4 © 3) © x = (42 -32 )© x = 7© x = 72 - x2.2227 -x =24 . . x =25 .- x = ±5 .考點(diǎn)7、乘法公式例3( 1)(2009年白銀市)當(dāng)x = 3、y = 1時(shí)，代數(shù)式(x+y)(xy) + y2的值是.(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3, ab=2,求a2+b2的值.解析：?jiǎn)栴}(1)主要是對(duì)乘法的平方差公式的考查.原式=x 2-