實數(shù)典型例題

1、實數(shù)典型問題精析（培優(yōu)）例1 . （2009年烏魯木齊市中考題） .2的相反數(shù)是（）B . 、2 C.-二 D .二2 2例2. （2009年江蘇省中考題）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù):第1個數(shù)：1 + 一:第2個數(shù)：1決1)“(-1)3 2 1 2丿3 12丿<3丿< 4丿第3個數(shù)：1 U+一U"（-1）八1 +( /"(-1)51412丿< 3丿< 4丿< 5丿< 6丿第n個數(shù)：1+ |1廠*1廠III一（-1嚴(yán)n +112 丿< 3丿4丿l2n丿那么，在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A .第1

2、0個數(shù)B .第11個數(shù)C.第12個數(shù)D .第13個數(shù)例3 （荊門市）定義 玄b = a2- b,則口2）探3 = .例4 （河北?。┕畔ＥD著名的畢達哥拉斯學(xué)派把 1、3、6、10、，這樣的數(shù)稱為 三角形數(shù)” 而把1、4、9、16、，這樣的數(shù)稱為 正方形數(shù)”從如圖所示中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰 三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A.13 = 3+10B.25 = 9+16C.36= 15+21D.49 = 18+314=1+39=3+616=6+10例5. （2009年荊門市中考題）若x=1 - .1=x =（x y）2，則x-y的值為（）A . -

3、1 B. 1 C. 2 D. 3例6. （2009年宜賓市中考題）已知數(shù)據(jù)：1 ， -、2，-、3 , n，- 2 .其中無理數(shù)出現(xiàn)3的頻率為（）A. 20% B . 40% C . 60% D . 80%例7 .（2009年鄂州市中考題）為了求122，23* 2 2008的值，可令S =122222008，則 2S= 22 23 -2' - 2 2009，因此2S-S = 2 2009 -1，所以122222008 = 22009 -1 .仿照以上推理計算出1552552009的值是( ) 20092010A. 52009 - 1B. 5 2010 - 1 C. 5_11D. 520

4、10 -144說明：你能從中得到解決這類問題的一般性規(guī)律嗎？試一試?yán)?. (2009年棗莊市中考題)a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù).如:1-a.11112的差倒數(shù)是1 , -1的差倒數(shù)是.已知31, 32是31的差倒數(shù)，331-21-(-1)23是32的差倒數(shù)，34是33的差倒數(shù)，依此類推，則a2009二 .典型例題的探索(利用概念)例3.已知：M =32a8是3 8的算術(shù)數(shù)平方根，N =23»4b 3是b - 3立方根，求M N的平方根。練習(xí)：1.已知,x 2 3, 3.4x -3y = -2，求x y的算術(shù)平方根與立方根。2. 若一個正數(shù)3的兩個平方根分別為 X 1和X

5、 3，求3 2005的值。(大小比較)例4.比較a、: a的大小。3(利用取值范圍)例5.已知有理數(shù)3滿足2004 a + Ja-2005=3，求a 20042的 值。練習(xí)：若x、y、m適合關(guān)系式3x 5y - 3 - m 2x 3y - m = :x- 2005 y , 2005 - x - y，試求 m 的值。(思路:x-2005+y與2005-x-y互為相反數(shù)，且均有算術(shù)平方根，故二者分別為0)(規(guī)律探索)例6.借助計算器計算下列各題：(1) .11 -2 (2) .1111 -22 (3) .111111 -222 (4) .11111111 - 2222仔細觀察上面幾道題及其計算結(jié)果

6、，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一規(guī)律嗎？實數(shù)思想方法小結(jié)實數(shù)是整個數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，對于初學(xué)者來講，有些概念比較抽象、難懂，但是，如果我們運用數(shù)學(xué)的思想方法來指導(dǎo)本章的學(xué)習(xí)，卻會收到良好的效果. 那么，在本章中有哪些重要思想方法呢？一、估算思想估算能力是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法， 估算思想就是在處理問題時，采用估算的方法達到問題解決的目的，在遇到無理數(shù)的大小比較或確定無理數(shù)的范圍等問題時，常用到估算的方法進行解決。例1估計，10+ 1的值是()(A )在2和3之間(B )在3和4之間(C)在4和5之間(D )在5和6之間二、數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與

7、直觀的圖形結(jié)合起來的一種方法。通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化， 從而達到優(yōu)化解題的目的。 在數(shù)軸上表示實數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)進行有關(guān)的計算等都能體現(xiàn) 數(shù)形結(jié)合思想的重要作用。例2如圖1，數(shù)軸上點A表示、2，點A關(guān)于原點的對稱點為 B，設(shè)點B所表示的數(shù)為x , 求x -、2 ° 2x的值.BA圖1三、分類思想所謂分類討論思想就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對象分成為數(shù)不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決， 最后予以總結(jié)做出結(jié)論的思想方法。按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，實數(shù)會有一些不同的分類方法。IJ 1例3在所給的數(shù)據(jù):22,3 -5, ,二,0.57,0.5858

8、85888588885(相鄰兩個5之間8的個數(shù)逐 3次增加1個)其中無理數(shù)個數(shù)().(A)2 個 (B)3(C)4 個 (D)5 個平方根典例分析平方根是學(xué)習(xí)實數(shù)的準(zhǔn)備知識，是以后學(xué)習(xí)一元二次方程等知識的必備基礎(chǔ)，也是中考的必考內(nèi)容之一 現(xiàn)以幾道典型題目為例談?wù)勂椒礁鶈栴}的解法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.一、基本題型例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根1152I -（1）64 ；（ 2）（一3）；（ 3） 49 .點評：這類問題應(yīng)按算術(shù)平方根的定義去求要注意（一3）2的算術(shù)平方根是3,而不是3另外,當(dāng)這個數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，然后再求其算術(shù)平方根,不要出現(xiàn)類似的錯誤想一想：如果把例 1改為：求下列各數(shù)

9、的平方根 你會解嗎？請試一試 例2求下列各式的值叵 J（1） - 81 ；（ 2） -、16 ；（ 3） ： 25 ；（ 4），一4）2例3若數(shù)m的平方根是2a 3和a -12，求m的值.少？有下面的解題過程：X 1和1 X都是算術(shù)平方根，故兩者的被開方數(shù)X 1,1 X都X -1與、1 - X同時成立，貝y X的值應(yīng)是多是非負數(shù)，而X-1和1 - X是互為相反數(shù)兩個非負數(shù)互為相反數(shù)，只有一種情形成立，那就二、創(chuàng)新題型例4先閱讀所給材料，再解答下列問題：若是它們都等于o，即X-1=0, X=0,故x1.問題：已知y = J -2x rx"2,求Xy的值（穿墻術(shù)）例5請你認(rèn)真觀察下面各個

10、式子，然后根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第、個式子. .16 = -1 16 = 1 42 = 1 . 42 = 1 4 = 4 ； 32 = 2 16=2 42 = 2 f 42 = 2 4 = 4、2 ； = ®16 = +3 疋 42 = J3 漢 44 =434 = 4 J3分析：要寫出第、個式子，就要知道它們的被開方數(shù)分別是什么， 為此應(yīng)認(rèn)真觀察所給 式子的特點通過觀察，發(fā)現(xiàn)前面三個式子的被開方數(shù)分別是序數(shù)乘以16得到的，故第、個式子的被開方數(shù)應(yīng)該分別是 64和80.一、巧用被開方數(shù)的非負性求值 大家知道，當(dāng)a>0時，a的平方根是土a，即a是非負數(shù).例 1、若 2 _ x _

11、x _ 2 _ y = 6,求 yx 的立方根.例2、已知：一個正數(shù)的平方根是2a 1與2 a,求a的平方的相反數(shù)的立方根三、 巧用算術(shù)平方根的最小值求值我們已經(jīng)知道a - 0 ,即a=0時其值最小，換句話說a的最小值是零例3、已知：y=、a 一2 3（b ' 1），當(dāng)a、b取不同的值時，y也有不同的值.當(dāng)y最小時，求 ba的非算術(shù)平方根.（即負的平方根）四、 巧用平方根定義解方程.我們已經(jīng)定義：如果x2=a （a> 0）那么x就叫a的平方根.若從方程的角度觀察，這里的x實 際是方程x2=a （a> 0）的根.例4、解方程（x+1 ） 2=36.例4實際上用平方根的定義解了

12、一元二次方程（后來要學(xué)的方程）.你能否解27（x+1）3=64這個方程呢？不妨試一試.利用平方根的定義及性質(zhì)解題如果一個數(shù)的平方等于 a （a>0,那么這個數(shù)是a的平方根根據(jù)這個概念，我們可以解決 一些和平方根有關(guān)的問題.（例1與例2區(qū)別）例1已知一個數(shù)的平方根是 2a 1和a11,求這個數(shù).例2已知2a 1和a11是一個數(shù)的平方根，求這個數(shù).（區(qū)別：類似3是9的平方根，但9的平方根不是3,是+3、-3.）例3已知2x 1的平方根是 ±5,2x+y 1的平方根是 ±5,求2x 3y+11的平方根.例4若2m 4與3m 1是同一個數(shù)的平方根，則m為（ ）（A） 3（ B

13、） 1（C） 3 或 1（ D） 1練一練：已知x的平方根是2a 13和3a 2,求 x的值.已知2a 13和3a 2是x的平方根，求 x的值3. 已知 x+2y=10,4x+3y=15,求 x+y 的平方根.從被開方數(shù)入手二次根式中被開方數(shù)的非負性，時常是求解二次根式問題的重要隱含條件。從被開方數(shù)入手，將會使很多問題迎刃而解。一、確定二次根式有意義例1.下列各式中一定是二次根式的是（）A.B.C. J/+4 D. J" 1了 _丁 _-例2.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。、含有相反數(shù)的被開方數(shù)根式的化簡與求值例3.已知y= -. + . 1 - ：亠口，求（xy 64）的

14、算術(shù)平方根。其中，m、x、例4設(shè)等式' /- - - -“在實數(shù)范圍內(nèi)成立。y是互不相等的三個實數(shù)，求代數(shù)式一 的值。下面兩道練習(xí)題，同學(xué)們不妨試試。1.x取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。- _ .一：彳_；八二丁一-：-A -2若 y= Jl-2x + J(x-iy，試求（4x 2y） 2010 的值。是初中數(shù)學(xué)的本文介紹幾種實數(shù)大小進行比較的常用方法實數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，不少同學(xué)感到困難。實數(shù)重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好其他知識的基礎(chǔ)。為幫助同學(xué)們掌握好這部分知識， 比較實數(shù)大小的常用方法，供同學(xué)們參考。3 -11例1: （1）比較 5與5的大小。（2）比較1

15、2與1 3的大小。3 -11例2:比較 5與5的大小。例 3：比較 2004 2003 與 2005 . 2004 的大小。（超綱，不作要求）方法四：平方法平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù) a>0, b>0時，可由a2 >b2得到 a> b來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例5:比較2，6與3，5的大小13 -31例4:比較 8 與8的大小例6:比較2 7與3 3的大小方法七：取特值驗證法比較兩個實數(shù)的大小，有時取特殊值會更簡單。12 例7：當(dāng)0 Y x Y1時，x，X，x的大小順序是 。例（常德市）設(shè) a= 20, b= （ 3）2,

16、c= ；-9 , d= 2 ，貝U a、b、c、d按由小到大的順 序排列正確的是（）A.c v av dv bB.b v dv av c C.av cv dv bD.bv cv av d除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對值比較法等 比較實數(shù)大小的方法。 對于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。能快速地取得令人滿意的結(jié)果。無限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)我們知道小數(shù)分為兩大類：一類是有限小數(shù)，一類是無限小數(shù)而無限小數(shù)又分為兩類：無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù).有限小數(shù)都可以表示成十分之幾、百分之幾、千分之幾,很容易化為分?jǐn)?shù).無限不循環(huán)小數(shù)即無理數(shù)，它是不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)

17、的.但無限循環(huán)小數(shù)卻可 以化成分?jǐn)?shù)，下面請看：探索（1）:把0.323232（即0.32）化成分?jǐn)?shù).分析：設(shè) x=32=0.32+0.0032+0.000032+ 上面的方程兩邊都乘以100得100x=32+0.32+0.0032+0.000032+ 得 100x x=3299x=3232x= 32所以 032323232 =99用同樣方法，我們再探索把0.5，0.302化為分?jǐn)?shù).可知0.5= 5，0.302=獨.9999我們把循環(huán)節(jié)從小數(shù)點后第一位開始循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)，通過上面的探索可以發(fā)現(xiàn)，純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，化成分?jǐn)?shù)的分母就有幾個9組成，分子恰好是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字.探

18、索（2）:把0.4777和0.325656化成分?jǐn)?shù)分析：把小數(shù)乘以10得0.4777X 10=4.777再把小數(shù)乘以100得0.4777X 100=47.77 得 0.4777X 100 0.4777 X 10=47 40.4777X 90=430.4777=90 所以 0.47774390再分析第二個數(shù) 0.325656化成分?jǐn)?shù).把小數(shù)乘以100得0.325656 X 100=32.5656 X 10000=3256.56 0.325656得0.3256560.325656把小數(shù)X 10000得X( 10000100) =3256323224X 9900=3224/ 0.325656=喬同樣的方法，我們可化0.1725m17080 3