2012年天津高考數(shù)學(xué)理科試卷(帶詳解)

1、2012年天津高考數(shù)學(xué)卷解析一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 7 i1. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z ()3 iA. 2 iB.2 iC. 2 iD . 2 i【測(cè)量目標(biāo)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.【考查方式】直接給出復(fù)數(shù)的分式形式求其值.【難易程度】容易【參考答案】B7 i (7 i)(3 i) 21 7i 3i 1 n .試題解析 z 2 i3 i (3 i)(3 i) 102 .設(shè)R ,則“ 0”是f (x) cos(x )(x R)為偶函數(shù)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的奇偶性，充分、必

2、要條件.【考查方式】判斷三角函數(shù)初相參數(shù)取值與函數(shù)奇偶性的關(guān)系【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】0 f(x) cos(x )(x R)為偶函數(shù)，反之不成立，“0”是“f (x) cos(x )(x R)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件3 .閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入 x的值為 25時(shí)，輸出x的值為 ()A. 1B.1C.3D. 9第3題圖【測(cè)量目標(biāo)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖.【考查方式】閱讀程序框圖得出程序運(yùn)算結(jié)果【難易程度】容易【參考答案】C【試題解析】根據(jù)圖給的算法程序可知：第一次x 4,第二次x 1,則輸出x 2 113.一x 34 .函數(shù)f(x) 2 x 2在區(qū)間(0,1

3、)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C .2D.3【測(cè)量目標(biāo)】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷.【考查方式】直接給出函數(shù)的解析式判斷其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】解法1：因?yàn)閒(0) 10 21, f (1) 2 23 2 8,即f(0)gf(1) 0且函數(shù)f(x)在0,1內(nèi)連續(xù)不斷，故f(x)在0,1內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.解法2:設(shè)x3y1 2 ,y2 2 x ,在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖像如圖所本:可知B正確.5.在(2x2A.10B. 10C.40D.401、5 , ，一一-)5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為 x【測(cè)量目標(biāo)】二項(xiàng)式定理.【考查方式】直接給出一個(gè)二項(xiàng)展開式求某項(xiàng)的系數(shù)【難

4、易程度】容易【參考答案】D【試題解析】Tr 1，.二 10r 2、5r,1、r 5 r r r 10 3rC5(2x ) a x )2 ( 1) C5x.x的系數(shù)為 40.6.在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知8b5c,C2B ,則 cosC ()7A.-257B.257C.2524D.-25【測(cè)量目標(biāo)】正弦定理，三角函數(shù)中的二倍角公式【考查方式】已知三角形角與邊的關(guān)系運(yùn)用正弦定理求一角的余弦值【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】 8b 8sin B 5sin2B,4cosB 一 , cosC55c ,由正弦定理得8sin B 5sin C ,(步驟 2)所以 8

5、sin B 10sin BcosB ,2-7-cos2B 2cos B 1.(步驟 4)25(步驟易知(步驟3)uiur7.已知4ABC為等邊三角形， AB 2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足APuur AB,uuurAQ (1uur)AC,uur uuu31 A.21 '.10C.2R ,若 BQcCP-,則B2【測(cè)量目標(biāo)】平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【考查方式】給出三角形邊的向量關(guān)系式，運(yùn)用平面向量的知識(shí)求解未知參數(shù)【試題解析】1） 又uur uuurABgACuuu 2 AB42(8.設(shè) m, n中等Auuur . BQuur uurBQgCPuuu uuurABgACuuurAQI，且cos60

6、uurABuuuABuur uur1)ABgAC1) 4(1若直線（muuur(1 )ACuurACuuur 2(1) AC3 一，解得2uuu uuu uuu unrAB, CP AP ACuuu uurAB, ACuur(1 )AC,（步驟3）（步驟4）2第7題圖1)x (n 1)y 2 0與圓(xuurABuurAC ,（步驟uuuAB (所以1)2 (yuurAB1)2uurAC)1相切,的取值范圍是A. 1.3,1.3B.,1,3,C. 2 2 2,2 2.2D.,22、2 U【考查方式】【難易程度】【參考答案】【測(cè)量目標(biāo)】直線與圓的位置關(guān)系 已知一直線與圓的位置關(guān)系求未知參數(shù)的取值

7、范圍中等D【試題解析】直線(m 1)x (n 1)y 2 0與圓(x 1)2 (y 1)2 1 相切,（步驟1）圓心（1,1）到直線的距離為d(m 1) (n 1) 2,(m 1)2 (n 1)21 ,所以 mn m n 1,一 . 一 1 2- _-.一(步驟2)設(shè)t m n,則一tt 1,解得t ,2 2貶 U 2 242,.(步驟3)4二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.9.某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 所學(xué)校，中學(xué)中抽取 所學(xué)校. 【測(cè)量目標(biāo)】分層抽樣.【考查方式】運(yùn)用分層

8、抽樣里的按比例抽樣知識(shí)解決實(shí)際問題【難易程度】容易【參考答案】18, 9【試題解析】.分層抽樣也叫按比例抽樣，由題知學(xué)?？倲?shù)為 250所，所以應(yīng)從小學(xué)中抽取 30=18,中學(xué)中抽取 二 30 9.250250310.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所不 (單位：m),則該幾何體的體積為 m .正推圖制物圖第10題圖【測(cè)量目標(biāo)】由三視圖求幾何體的表面積與體積【考查方式】給出一個(gè)幾何體的三視圖求其原幾何體的體積【難易程度】容易【參考答案】18 9幾【試題解析】由三視圖可該幾何體為兩個(gè)相切的球上方了一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體，所以其43 33體積為： V 3 6 1 2 - Tt (-)3 18 9jtm3.11

9、 .已知集合 A x R|x 2 3,集合 B xR(x m)(x 2) 0 ，且AI B ( 1,n),則 m ,n .【測(cè)量目標(biāo)】集合的基本運(yùn)算，集合間的關(guān)系 .【考查方式】給出含有未知參數(shù)的集合通過它們直接的關(guān)系求出未知參數(shù)【難易程度】容易【參考答案】1, 1【試題解析】AxRx23 x 5 x 1，又 AI B ( 1,n),畫數(shù)軸可知 m 1,n 1.12 .己知拋物線的參數(shù)方程為x 2Pt , (t為參數(shù))，其中p 0,焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l ,y 2pt,過拋物線上一點(diǎn) M作的垂線，垂足為E,若EF |ME ,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則p .【測(cè)量目標(biāo)】拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考查方式】

10、給出拋物線的參數(shù)方程，運(yùn)用其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)求未知數(shù)【難易程度】中等【參考答案】2【試題解析】: x 2 Pt '可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 2px（p 0）,（步驟1） .焦點(diǎn) y 2pt,F（；p,0） , 點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3 ,則M （3,廊）,（步驟2 ）所以點(diǎn)E（ p, J6p）, EF2 考。）2 （0廊）2 （步驟3）由拋物線得幾何性質(zhì)得 p21 2ME 3,Q EF MF, p 6p - p 3P 9,解得 p 2.（步驟 4）13 .如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過點(diǎn)B作圓的切線與 AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) D,過點(diǎn)3C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn) E,與AB相交于點(diǎn)F,

11、 AF 3,FB 1,EF 一,則線段2CD的長(zhǎng)為.【測(cè)量目標(biāo)】圓的性質(zhì)的應(yīng)用 .【考查方式】給出與圓相關(guān)的直線與線段由圓的性質(zhì)求未知線段【難易程度】中等入4【參考答案】433【試題解析】' AF 3,FB 1,EF 3,由相交弦定理得AFgFB EFgFC ,所以AFFC 2,（步驟 1）又Q BD/CE, ABFCAB4,BD gFC -BDAF3設(shè)CD x ,則AD 4x,再由切割線定理得2BD CD gAD ,即 xg4x-8 一2 -,（步驟2）3（-）2 ,解得 x -,334 一故CD -.（步驟3）3x2 114 .已知函數(shù)y 的圖象與函數(shù) y kx 2的圖象恰有兩個(gè)交

12、點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范x 1圍是【測(cè)量目標(biāo)】【考查方式】【難易程度】函數(shù)圖像的應(yīng)用 已知兩個(gè)函數(shù)的圖像的位置關(guān)系求解未知參數(shù)的取值范圍 中等【試題解析】:函數(shù)y kx 2的圖像直線恒過定點(diǎn)B（0, 2）,且A(1, 2),C(1,0), D(1,2) , 2+2?"0二0 ， kBC0+2 八2+2 晶團(tuán)=2, kBD =4,由圖1 01 0(0,1)U(1,4)像可知 k (0,1) U (1,4).三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f （x） sin（2x）sin（2x）2cos2 x 1,x R.33

13、（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期;（n）求函數(shù)f（x）在區(qū)間-,丁上的最大值和最小值.4 4【測(cè)量目標(biāo)】三角函數(shù)的周期性、最值 .【考查方式】給出三角函數(shù)的函數(shù)解析式求解其最小正周期和在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值（步驟1)【試題解析】(i)f(x) sin(2x ) sin(2x ) 2cos2x 1 332sin2xcos cos2x 2sin(2 3函數(shù)f（x）的最小正周期為兀一一.（n） 一蒯 x4（步驟3）一蒯2x 42五2二2冗（步驟2）蒯 sin(2 x當(dāng)2x花2(x冗r ,一）時(shí),8f (x)max我當(dāng)2x 4花4(x冗r ,一）時(shí),4f(x)min16.（本小題滿分1 （步驟4）13分）

14、現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加 者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加個(gè)游戲, 擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(I )求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率：(n)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率：(出)用X,Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游又的人數(shù)，記 X Y ,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望 E .【測(cè)量目標(biāo)】互斥事件與相對(duì)獨(dú)立事件的相關(guān)性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望【考查方式】針對(duì)實(shí)際問題運(yùn)用互斥事件與相對(duì)獨(dú)立事件的性質(zhì)求解概率問題【難易程度】中等12【試題解析】(I)每個(gè)人參加甲

15、游戲的概率為p -,參加乙游戲的概率為1 p (步33驟1)2 228這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游又的概率為 C4 P (1 p) 27 .(步驟2)_ k k4 k(n) X : B(4, p) P(X k) C4P (1 p) (k 0,1,2,3,4),(步驟 3)這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為P(X 3) P(X 4)(出) 可取0,2,4P(0)P(X2)P(2)P(X1)P(4)P(X0)隨機(jī)變量的分布列為一(步驟4)9827P（X 3）P（X 4）40811781 （步驟5）024P84017278181c 8 c 40 , 17 148024 278

16、18181 （步驟 6）17.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐 P ABCD中，PAL平面ABCD,AC AD, AB BC, BAC 45 , PA AD 2, AC 1 .(I)證明：PC AD；（n）求二面角 A PC D的正弦值;（m）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線 BE與CD所成的角為30 ,求AE的長(zhǎng).【測(cè)量目標(biāo)】線線垂直、異面直線所成的角的正弦值【考查方式】通過空間幾何體中的線線，線面直接的位置角度關(guān)系求證線線垂直以及異面直 線所成角白正弦值.【難易程度】較難uuu uuur uur【試題解析】（I ）以AD,AC,AP為x,y,z正半軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz .

17、（步驟1)則 D(2,0,0), C(0,1,0),B(1 12,2,0), P(0,0,2)(步驟 2)uurPC(0,1,uuir2), AD (2,0,0)uuir uuirPCgAD 0 PC AD（步驟3）(n)uuirPCuuir(0,1, 2),CD(2,umrngPC 0 則 uurngDD 0y2x2zuuirAD(2,0,0)cosnurAD,n第17題（1）圖1,0)，設(shè)平面PCD的法向量是平面PAC的法向量uuur _AD gn 6 uutrAD nn (x, y,z)2z取z 1sinunrAD, n(1,2,1)(步驟4)306得：二面角A PC D的正弦值為叵6

18、（步驟5）（出）設(shè)AE huuur0,2 ；則 AEuuu (0,0, 2) , BE1 1 uur(2,：h),CD (2, 1,0)uuu uuir cos BE,CDuuu UULT BEgDD uuu uuur BE CD3,10 20h2昱h叵即AE210,1010 (步驟6)18.（本小題滿分13分）已知 a是等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,bn是等比數(shù)列，且al bl 2,a4b4 27, S4 b4 10（i）求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(n)記 Tnanbi an b an 2b3 abn；證明：Tn 122an10bn(n N ).【測(cè)量目標(biāo)】等差等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì).【考查

19、方式】 給出等差等比數(shù)列中已知項(xiàng)之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng), 新數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)用與證明.【難易程度】較難由兩種數(shù)列結(jié)合成的【試題解析】（I ）設(shè)數(shù)列an的公差為d ,數(shù)列bn的公比為q ；(n)a4 b4 27則44S4 b4 10得：an 3n 1,bn2 3d4al 6d2q32q327102. _(步驟i）2nTnanb1an 心 an 2b3ah2na12n1a22anQna2an、2 (a1萬2TT)an3n 12n 12n 13n 2 3n 52n 22n 1cn 1（步驟2）Tn2n (Ci C2)(C2 Q)(Cn 1Cn)2n(CiCn)10 2n 2(3n5) 10bn 2an

20、 12Tn12 10bn2an（步驟3）2x19.（本小題滿分14分）設(shè)橢圓2 ab21(ab 0）的左、右頂點(diǎn)分別為 A,B ,點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)1（I）若直線 AP與BP的斜率之積為 一，求橢圓的離心率;2()若AP OA ,證明：直線OP的斜率k滿足k J3.【測(cè)量目標(biāo)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系判斷橢圓與直線【考查方式】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓的參數(shù)， 的位置關(guān)系求解未知數(shù)的取值范圍.【難易程度】較難【試題解析】(I)取 P(0,b), A(a,0), B(a,0)；則八！）：2b2（步驟1）2-22 a bea（步驟2）(n)設(shè) P(acos,bsin)(0,a2時(shí)；則線段OP的中點(diǎn)Q（- cos2b .,sin2)(步驟3)APOAAQOPkAQk 1bsin2a a cosbsinakAQ cos2 akAQ（步驟4)2 akAQ,、b2a2k2AQa. 1k2AQ,3（步驟5）20.（本小題滿分14分）已知函數(shù) f（x）x ln（ x