高中數(shù)列知識(shí)總結(jié)

1、模塊六 數(shù)列² 考綱解讀最重要的是 數(shù)列求和性質(zhì)Ø 高考大綱考試內(nèi)容要求層次ABC數(shù)列的概念和表示法數(shù)列的概念和表示法P等差數(shù)列等差數(shù)列的概念P等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式P等比數(shù)列等比數(shù)列的概念P等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式PØ 分析解讀（1）以數(shù)列的前n項(xiàng)為背景，考查通項(xiàng)公式.（2）以數(shù)列的遞推公式為載體，考差數(shù)列各項(xiàng)的求法及數(shù)列的通項(xiàng).（3）由數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng).（4）理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.（5）體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì).（6）理解等比數(shù)列的概念，探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

2、和前n項(xiàng)和公式.（7）體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.（8）掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.（9）能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.² 知識(shí)導(dǎo)航² 考點(diǎn)剖析Ø 考點(diǎn)一 數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)的求法：1、公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。2、已知（即）求，用作差法：。3、已知求，用作商法：。4、若求用累加法：。5、已知求，用累乘法：。6、已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。形如的遞推數(shù)列都

3、可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。Ø 考點(diǎn)二 數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列求和的常用方法：1、公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；常用公式：，.2、分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.3、相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.4、錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前

4、和公式的推導(dǎo)方法）.5、裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：； ；，； ；.6、通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。Ø 考點(diǎn)三 等差數(shù)列的運(yùn)算1、等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。3、等差數(shù)列的前和：，。4、等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。Ø 考點(diǎn)四 等差數(shù)列的性質(zhì)1、當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.2、若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則

5、為常數(shù)列。3、當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.4、若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列.5、在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。6、若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.7、“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。8、如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)

6、列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.Ø 考點(diǎn)五 等比數(shù)列的運(yùn)算1、等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。2、等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。3、等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。4、等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，那么A叫做與的等比中項(xiàng)。Ø 考點(diǎn)六 等比數(shù)列的性質(zhì)1、當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.2、若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若 成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列.3、若，則為遞增數(shù)列；若, 則為遞減數(shù)列；若 ，則為遞減數(shù)列；若, 則為遞增數(shù)

7、列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.4、當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。5、.6、在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.7、如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。Ø 考點(diǎn)七 數(shù)列的綜合應(yīng)用1、數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型：（1）等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差；（2）等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；（3）遞推數(shù)列模型：如果題

8、目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮與的遞推關(guān)系，還是與之間的遞推關(guān)系.2、數(shù)列應(yīng)用題的求解策略：（1）構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型（有時(shí)也會(huì)是其他較特殊的數(shù)列）.（2）運(yùn)用相關(guān)概念、性質(zhì)及求和公式進(jìn)行運(yùn)算.（3）通過(guò)“歸納猜想證明”的思路探索規(guī)律，并嘗試應(yīng)用規(guī)律解題.3、等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的思想方法在求解中起重要作用，復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題總是要通過(guò)轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的特殊數(shù)列問(wèn)題來(lái)解決.² 真題演練1.【2010北京,2,5分】在等比數(shù)列中，公比.若，則（A）9 （B）10 （C）11 （D）12Ø 舉一反三1.1【2010福建,11,4分】在等比

9、數(shù)列an中，若公比q=4，前3項(xiàng)的和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an= .1.2 【2012安徽,4,5分】公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則=（ ） 1.3 【2012浙江,13,4分】設(shè)公比為q（q0）的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=_。2. 【2008北京,6,5分】已知數(shù)列對(duì)任意的滿足，且，那么等于（ ）A B C DØ 舉一反三2.1 【2012上海,18,5分】設(shè)，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D1002.2 【2012課標(biāo)全國(guó),16,5分】數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 2.3【2012福建,14,4分】數(shù)列an的

10、通項(xiàng)公式an=ncos+1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2012=_3.【2012北京,10,5分】已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和。若，則=_。Ø 舉一反三3.1【2012重慶,1,5分】在等差數(shù)列中，則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 3.2【2012浙江,7,5分】設(shè)是公差為d（d0）的無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A.若d0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B.若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有D. 若對(duì)任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列3.3 【2012全國(guó),5,5分】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100

11、項(xiàng)和為(A) (B) (C) (D) 4.【2011北京,11,5分】在等比數(shù)列an中，a1=，a4=-4，則公比q=_；_。Ø 舉一反三4.1 【2012遼寧,14,5分】已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an =_。4.2【2012上海,6,4分】有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 。4.3 【2012課標(biāo)全國(guó),5,5分】已知為等比數(shù)列，則（ ） 5.【2008北京,14,5分】某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下：第棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，其中，當(dāng)時(shí)，表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，按此方案，第6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)

12、應(yīng)為 ；第2008棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 Ø 舉一反三5.1【2012上海,10,4分】在行n列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當(dāng)時(shí)， 5.2【2012湖北,7,5分】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 A B C D 5.3【2012四川,12,5分】設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、6.【2009北京,14,5分】已知數(shù)列滿足：則_；=_.Ø 舉一反三6.1【2012江西,12,5分】設(shè)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，若，則_。

13、6.2 【2011江西,5,5分】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1 B.9 C.10 D.556.3【2012山東,20,12分】在等差數(shù)列中，.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.7.【2008北京,20,5分】對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令（）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列；（）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；（）證明：對(duì)于任意給定的

14、每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，Ø 舉一反三7.1【2012四川,16,4分】記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；當(dāng)時(shí)，；對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有_。（寫出所有真命題的編號(hào)）7.2【2010湖南,15,5分】若數(shù)列an滿足：對(duì)任意的nN，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得amn成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為（an）+，則得到一個(gè)新數(shù)列（an）+例如，若數(shù)列an是1，2，3，n，則數(shù)列（an）+是0，1，2，n-1已知對(duì)任意的nN+，an=n2，則（a5）+= 7.3【2012湖南

15、,19,12分】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， （1） 若a1=1，a2=5，且對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.（2） 證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.8.【2009北京,20,5分】已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.k.s.5. Ø

16、舉一反三8.1【2011山東,20,12分】等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和8.2 【2012上海,23,18分】對(duì)于數(shù)集，其中，定義向量集，若對(duì)任意，存在，使得，則稱具有性質(zhì)例如具有性質(zhì)（1）若，且具有性質(zhì)，求的值；（2）若具有性質(zhì)，求證：，且當(dāng)時(shí)，；（3）若具有性質(zhì)，且、（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.9.【2011北京,20,5分】若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=（）寫出一個(gè)滿足，且0的數(shù)列；（）若，n=2000，證明：E數(shù)列是

17、遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說(shuō)明理由。Ø 舉一反三9.1【2011江蘇,20,16分】設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n>k時(shí)，都成立。（1）設(shè)M=1，求的值；（2）設(shè)M=3，4，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。9.2【2012全國(guó),22,12分】函數(shù)f（x）=x22x3，定義數(shù)列 xn如下：x1=2，xn+1是過(guò)兩點(diǎn)P（4，5），Qn（ xn，f（ xn）的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）證明：2xnxn+13；（）求數(shù)列 x

18、n的通項(xiàng)公式² 輕松驛站微米世界里的秩序和斐波納契數(shù)之美1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144這個(gè)神秘的、包含了太多大自然秘密的斐波納契數(shù)列，在誕生的800年里已經(jīng)帶給人們太多的癡迷。它的追隨者們或許不會(huì)想到，在中科院物理研究所的一個(gè)實(shí)驗(yàn)室里，科學(xué)家們?cè)谖⒚祝ㄒ晃⒚椎扔谝话偃f(wàn)分之一米）尺度上用無(wú)機(jī)材料生長(zhǎng)出了迷人的斐波納契數(shù)花樣。此前，人們對(duì)斐波納契數(shù)列出現(xiàn)在許多植物中已是司空見(jiàn)慣。例如百合有3個(gè)花瓣，桃花是5個(gè)，這些都是斐波納契數(shù)列中的數(shù)字。一些植物的果實(shí)對(duì)這個(gè)數(shù)列也有“特殊偏好”：向日葵種子的排列可同時(shí)看作是兩組螺旋線，如果沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋的數(shù)目是某個(gè)斐波納

19、契數(shù)，則沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)螺旋的數(shù)目一定是相鄰的另一個(gè)斐波納契數(shù)。如果向日葵的種子排列用這樣的一對(duì)斐波納契螺旋數(shù)表示的話，它可以是（21，34），（34，55）直至（89，144）；而在最常見(jiàn)的菠蘿表面，其鱗片的排列一般是（5，8）和（8，13）這樣的兩對(duì)斐波納契螺旋數(shù)。大自然就是這么地精確，這么地不可思議。8月5日出版的科學(xué)雜志發(fā)表了中國(guó)科學(xué)家的這一發(fā)現(xiàn)。文章的反響同樣熱烈，第二天，電子郵件便“塞”滿了通訊作者曹則賢研究員的郵箱，來(lái)自世界各地不同領(lǐng)域的“斐迷”們期望能與作者進(jìn)行更深入的交流?！斑@個(gè)結(jié)果支持了學(xué)術(shù)界關(guān)于葉序?qū)W的一個(gè)大膽設(shè)想。”曹則賢研究員說(shuō)。對(duì)于生命中為何出現(xiàn)如此奇特的斐波納契現(xiàn)象，

20、學(xué)術(shù)界至今爭(zhēng)論不休。代表性的有“效率說(shuō)”，即植物為了競(jìng)爭(zhēng)有限空間，葉子要盡可能多地獲取陽(yáng)光以進(jìn)行光合作用，花要盡可能地展示自己來(lái)吸引昆蟲(chóng)傳粉，一個(gè)花托上要結(jié)出盡可能多的種子以利物種的繁衍；也有“基因說(shuō)”，即認(rèn)為是某種化學(xué)物質(zhì)決定的遺傳現(xiàn)象；還有來(lái)自純美學(xué)方面的考慮，認(rèn)為由于數(shù)列中相鄰兩個(gè)數(shù)字相除可以得到黃金分割數(shù)，這是大自然對(duì)和諧之美的選擇1941年，英國(guó)學(xué)生湯姆普森（W.Thompson）曾經(jīng)在后來(lái)成為該領(lǐng)域經(jīng)典著作的碩士論文生長(zhǎng)與形狀中提出一種假說(shuō)，認(rèn)為有關(guān)生物體的許多生長(zhǎng)與形狀發(fā)生的現(xiàn)象，盡管花樣繁多，但在本質(zhì)上必定只是數(shù)學(xué)問(wèn)題和物理問(wèn)題。在李超榮研究員和他的同事們?cè)O(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)中，他們首先

21、在高溫條件下形成銀為內(nèi)核、外層為氧化硅的10微米大小的“液滴”。由于冷卻在內(nèi)外兩種物質(zhì)（銀和氧化硅）中造成不同程度的收縮，這個(gè)結(jié)構(gòu)就會(huì)引起應(yīng)力。當(dāng)這個(gè)應(yīng)力很大時(shí)，應(yīng)力不再均勻分布，而會(huì)重新分布，形成某種花樣。在應(yīng)力不均勻的表面上，來(lái)自蒸發(fā)源的物質(zhì)也會(huì)出現(xiàn)不均勻的聚集，這相當(dāng)于對(duì)應(yīng)力分布的花樣做了“標(biāo)記”。這樣，通過(guò)觀察殼層上生長(zhǎng)的更小的（幾百個(gè)納米大小，一納米是十億分之一米）顆粒，就能夠得到應(yīng)力分布花樣的信息。在掃描電鏡下，他們觀察到，在近似球面的大“液滴”上，這些納米小顆粒以五邊形和六邊形規(guī)則地排列，如同自然界中的蒲公英和輪鋒菊花托上的小花。這個(gè)結(jié)果符合根據(jù)多面體歐拉定理所作的預(yù)期，因?yàn)槿绻仢M整個(gè)球面，五邊形和六邊形同時(shí)出現(xiàn)是必須的。真正吸引科學(xué)雜志關(guān)注的是接下來(lái)的工作。在略顯扁平的盤狀“液滴”結(jié)構(gòu)上，他們發(fā)現(xiàn)那些納米小顆粒形成了斐波納契數(shù)花樣。用順時(shí)針和逆時(shí)針螺旋數(shù)來(lái)標(biāo)記，他們觀察到了（5，8），（8，13）和（13，21）三組不同的斐波納契數(shù)花樣。 “在整個(gè)過(guò)程中，應(yīng)力是產(chǎn)生花樣的惟一驅(qū)動(dòng)因素。這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果讓我們馬上想到，植物中斐波納契數(shù)花樣的