奧數(shù)中的數(shù)圖形個數(shù)

1、.wd第三講 數(shù)數(shù)與計數(shù)二例1 數(shù)一數(shù)，圖31中共有多少點？解：1方法1：如圖32所示從上往下一層一層數(shù)：第一層 1個第二層 2個第三層 3個第四層 4個第五層 5個第六層 6個第七層 7個第八層 8個第九層 9個第十層 10個第十一層 9個第十二層 8個第十三層 7個第十四層 6個第十五層 5個第十六層 4個第十七層 3個第十八層 2個第十九層 1個總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55+45=100利用已學過的知識計算.2方法2：如圖33所示：從上往下，沿折線數(shù)第一

2、層 1個第二層 3個第三層 5個第四層 7個第五層 9個第六層 11個第七層 13個第八層 15個第九層 17個第十層 19個總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100利用已學過的知識計算.3方法3：把點群的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖34所示的樣子，變成為10行10列的點陣.顯然點的總數(shù)為10×10=100個.想一想：數(shù)數(shù)與計數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋.由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等號左邊這樣的一串數(shù)之和等于中間數(shù)的自乘積.由此我們猜測：1=1×11+2

3、+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×51+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多.同學們可以自己檢

4、驗一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即從1開場的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積.由此我們猜測：1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×51+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10

5、5;10還可往下一直寫下去，同學們自己檢驗一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.例2 數(shù)一數(shù)，圖35中有多少條線段？解：1我們，兩點間的直線局部是一條線段.以A點為共同端點的線段有：AB AC AD AE AF 5條.以B點為共同左端點的線段有：BC BD BE BF 4條.以C點為共同左端點的線段有：CD CE CF 3條.以D點為共同左端點的線段有：DE DF 2條.以E點為共同左端點的線段有：EF1條.總數(shù)5+4+3+2+1=15條.2用圖示法更為直觀明了.見圖36.總數(shù)5+4+3+2+1=15條.想一想：由例2可知，一條大線段上有六個點，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線

6、段.由此猜測如下規(guī)律見圖37：還可以一直做下去.總之，線段總條線是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1.我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.它說明了點數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系.上面的事實也可以這樣說：如果把相鄰兩點間的線段叫做根本線段，那么一條大線段上的根本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是：線段總條數(shù)是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于根本線段的條數(shù)見圖38.根本線段數(shù) 線段總條數(shù)還可以一直寫下去，同學們可以自己試試看.例3 數(shù)一數(shù)，圖39中共有多少個銳角？解：1我們知道，圖中任意兩條從O點發(fā)出的射線都組成一個銳角.所以，以O(shè)A邊為公共邊的銳角有：LAOB，AOC，AOD，A

7、OE，AOF共5個.以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4個.以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：COD，COE，COF共3個.以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：DOE，DOF共2個.以O(shè)E邊為一邊的銳角有：EOF只1個.銳角總數(shù)5+4+3+2+115個.用圖示法更為直觀明了：如圖310所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15個.想一想：由例3可知：由一點發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1個，由此猜測出如下規(guī)律：見圖31115兩條射線1個角見圖311三條射線2+1個角見圖312四條射線3+2+1個角見圖313五條射線4+3+2+1個角見圖314六條射線5+4+3+2+1

8、個角見圖315總之，角的總數(shù)是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1.同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做根本角，那么有共同頂點的根本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是：角的總數(shù)是從1開場的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于根本角個數(shù).注意，例2和例3的情況極其相似.雖然例2是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學表達式.同學們可以看出，一個數(shù)學式子可以表達外表上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學的魔力. 習題三1.書庫里把書如圖316所示的那樣沿墻堆放起來.請你數(shù)一數(shù)這些書共有多少本？2.圖317所示是一個跳棋盤，請你數(shù)一數(shù)，這個

9、跳棋盤上共有多少個棋孔？3.數(shù)一數(shù)，圖318中有多少條線段？4.數(shù)一數(shù)，圖319中有多少銳角？5.數(shù)一數(shù)，圖320中有多少個三角形？6.數(shù)一數(shù)，圖321中有多少正方形？ 習題三解答1.解：方法1：從左往右一摞一摞地數(shù)，再相加求和：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135本.方法2：把這摞書形成的圖形看成是由一個長方形和一個三角形“尖頂組成.長方形中的書 10×11=110三角形中的書 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25總數(shù)：110+25=135本.2.解：因為棋孔較多，應找出排列規(guī)律，以便于計數(shù).仔細觀察可知，圖中大三角形ABC上的棋孔

10、的排列規(guī)律是從上往下數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外還有三個小三角形中的棋孔的排列規(guī)律是1，2，3，4，所以棋孔總數(shù)是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+1+2+3+4×3=91+10×3=121個.3.解：方法1：按圖322所示方法數(shù)圖中只畫出了一局部線段總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28條.方法2：根本線段共7條，所以線段總數(shù)是：7+6+5+4+3+2+1=28條.4.解：按圖323的方法數(shù)：角的總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28個.5.解：方法1：1三角形是由三條邊構(gòu)成的圖形.以O(shè)A邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OAB，OAC，OAD，OAE，OAF，OAG，OAH，共7個；以O(shè)B邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OBC，OBD，OBE，OBF，OBG，OBH，共6個；以O(shè)C邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OCD，OCE，OCF，OCG，OCH，共5個；以O(shè)D邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：ODE，ODF，ODG，ODH，共4個；以O(shè)E邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OEF，OEG，OEH，共3個；以O(shè)F邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：OFG，OFH，共2個；以O(shè)G邊和OH，GH兩邊構(gòu)成的三角形僅有：OGH1個；三角形總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28個.2方法2：