第二章隨機向量的分布和數(shù)字特征習題集課

1、 第二章 隨機向量的分布和數(shù)字特征的習題課一：選擇題：1. 若隨機變量 的分布函數(shù)為與則a ,b取值為（ ）時，可使F(x)=a-b為某隨機變量的分布函數(shù)。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 分析：由分布函數(shù)在±的極限性質(zhì)，不難知a,b應(yīng)滿足a-b=1,只有選項A正確。 答案 選：A2. 設(shè) Xj(x),且j(-x)=j(x),其分布函數(shù)為F(x),則對任意實數(shù)a, F(-a)=( )。 A.1-d B. - d C.F(a) D.2F(a)-1分析：是偶函數(shù)，可結(jié)合標準正態(tài)分布來考慮； d F(a)F(0)；F(0)0.5；F(a

2、)F(-a)=1 答案 選：B3.設(shè)XN(,),則隨著的增大，P(|X-|<)（ ）。 A.單調(diào)增大 B.單調(diào)減少 C.保持不變 D.增減不定 答案 選：C4.設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布，XN(,16)，YN(,25),記PX4=,PY+5=,則（ ）正確。A.對任意實數(shù)，均有= B. 對任意實數(shù)，均有<C.只對個別的值才有 = D. 對任意實數(shù)，均有>答案 選： A5.設(shè)是隨機變量且，則對任意常數(shù)，（）成立。分析： 答案 選：由，得 顯然二：題空題1. 設(shè)在每次伯努里試驗中，事件A發(fā)生的概率均為p,則在n次伯努里試驗中，事件A至少發(fā)生一次的概率為（ ），至多發(fā)生一次的概

3、率為（ ）。答案 填：(1-(1-p); (1-p)+np(1-p)由伯努里概型的概率計算公式，據(jù)題意可知，事件A至少發(fā)生一次的概率為或，事件A至多發(fā)生一次的概率為=+2. 設(shè)隨機變量Y在區(qū)間1，6上服從均勻分布，則方程有實根的概率為（ ）。 分析：方程有實根當且僅當0，即|Y|2,則P(|Y|2)=dx=0.8 答案 填：0.8 3. 設(shè) X，對X的三次獨立重復(fù)觀察中， 事件X 0.5出現(xiàn)的次數(shù)為隨機變量Y,則PY=2=( )。 分析：PX0.5=0.25,Y服從B(3,0.25)分布,則PY=2= 答案 填: 4. 設(shè)XB(2,p),YB(3,p),且PX1=,則PY1=( )。 分析：由

4、PX1=1-PX=0=，可得p=,則PY1=1-PY=0= 答案 填：5.設(shè)隨機變量X服從均值為10，標準差為0.02的正態(tài)分布，設(shè)（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)，已知（2.5）=0.993 8,則X 落在區(qū)間（9.95,10.05）內(nèi)的概率為（ ）。分析：P9.95<x<10.05=P9.95-10<x-10<10.05-10=P-2.5<(x-10)/0.02<2.5=(2.5)-(-2.5)= 2(2.5)-1=2*0.9938-1=1.9876-1=0.9876 答案 填：0.98766. 設(shè)隨機變量X的概率密度為 若k使得P X k =2/3,則k的取值

5、范圍是（ ）。分析：畫圖！ 答案 填：1，37. 設(shè)隨機變量Xf(x)=,-x+,則X F(x)=( )。 答案 填： 分析：當x0時，F(xiàn)(x)=dtdt當x0時，F(xiàn)(x)=dtdtdt8. 設(shè)XU(0,2),則Y=在(0,4)內(nèi)的概率密度（ ）。均勻分布！ 答案 填：分析：當0y4時，此時，=注：由于Y=在(0,4)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，可直接用公式做！9.設(shè)X的分布函數(shù),則A=( ),P(|x|) =( )。 答案 填：1； 10. 設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為： , 則X的概率分布為（ ）。分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機變量 畫圖答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.

6、4,P(X=3)=0.2.11. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)則 E(X)=( ),=( ). 分析：由X的概率密度函數(shù)可見XN(1,),則E(X)=1，=. 答案 填：1；.12. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且Z=3X-2, 則E(Z)=( ). 答案 填：4 泊松分布： 13. 設(shè)XN(2，)且P2<X<4=0.3,則PX<0=（ ）。 即,則 答案 填：0.214. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則（ ）.分析：首先知道EX1，關(guān)鍵求E（e-2X ）答案 填：15. 設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù)且每次命中率為0.4,則=（ ）。 分析：XB(1

7、0,0.4),則答案 填：18.416. 設(shè)隨機變量在區(qū)間上服從均勻分布；隨機變量則（）。答案 填：17. 設(shè)一次試驗的成功率為，進行100此獨立重復(fù)試驗，當（）時 ，成功次數(shù)的標準差的值最大，最大值為（）。 解：據(jù)題意可知，即令，得且 （答案： ） 18. 設(shè)，則（）。解： 。 答案 填：19. 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的泊松（Poisson）分布，且已知，則（）。分析：參數(shù)為的泊松（Poisson）分布的期望和方差均為。由，得到E(X2)-3EX+2=1,2310 答案 填：120.設(shè)隨機變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有（ ）。 答案 填：21.設(shè)，則利用切貝謝夫不等式可知（ ）。 據(jù)

8、切貝謝夫不等式：由，得 答案：填三：計算題：1.設(shè)隨機變量X在區(qū)間2，5上服從均勻分布，求對X進行的三次獨立觀測中，至少有兩次的觀測值大于3的概率。解：P(X3)=d x=,則所求概率即為2. 設(shè)某儀器有三只獨立工作的同型號電子元件，其壽命（單位：小時）均服從同一指數(shù)分布，其參數(shù)為1/600，求在儀器使用的最初200小時內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率。解：設(shè)隨機變量表示第i只元件的使用壽命,i=1,2,3,則P 200= d 得所求概率為： 1 - 3. 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)，求隨機變量Y=1-的概率密度函數(shù)。解：Y的分布函數(shù)為=則 =注：由于是單調(diào)函數(shù)，可直接用公式做！4. 設(shè)隨機變

9、量X的概率密度 = ， x0，求Y=的概率密度。解：當y1時，0當y1時，由于，則知當y1時，=0, 當y1時，=注：由于Y=在(1,)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，可直接用公式做！5. 設(shè)隨機變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,寫出其分布函數(shù)F(x)。 答案：當x1時，F(xiàn)(x)=0; 當1x2時，F(xiàn)(x)=0.2; 當2x3時，F(xiàn)(x)=0.5;當3x時，F(xiàn)(x)=1 6. 設(shè)隨機變量X在區(qū)間1，2上服從均勻分布，求Y=的概率密度f(y)。答案：當時，f(y)=，當y在其他范圍內(nèi)取值時，f(y)=0.7. 對某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語成績（按百分制計）

10、近似服從正態(tài)分布，平均72分,且96分以上的考生數(shù)占2.3%。求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解：設(shè)X表示考生的外語成績，且XN(72,),則P(X >96)=1-P(X 96)=1-()=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，則 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.682excel計算的函數(shù)為 NORMINV NORMDIST8. 設(shè)測量誤差XN(0，100)，求在100次獨立重復(fù)測量中至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精確到0.01）。解：由于XN(0，100)，則P(|X|19

11、.6)=1- P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且顯然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y 2)=1-設(shè)l=np=100×0.05=5，且YP(5),則P(Y 3)=1- P(Y 2)=1-=0.8753489. 設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)，發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為lt的泊松分布，求：（1）相繼兩次故障之間的時間間隔T的概率分布；（2）在設(shè)備已無故障工作8小時的情況下，再無故障工作8小時的概率。解：（1） 只需求出T的分布函數(shù)F(t)：當 t< 0時，F(xiàn)(t)=P(T t)=0 當 t0時， F(t)=P( T t )=1-P(T

12、 >t)= 1-P(N(t)=0)= 可見T服從參數(shù)為l的指數(shù)分布。（2）P(T >16|T >8)=10.設(shè)X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，求證：Y=1-在0，1上服從均勻分布。證明： 由X的分布可見其有效取值范圍是0，+),則Y的有效取值范圍是0，1，從而：當y0時，F(xiàn)(y)=0; 當y 1 時，F(xiàn)(y)=1;當0y<1, F(y)=P(Y y)= P1-y =PX=1-=1-(1-y)=y對F(y)關(guān)于y求導數(shù)即得Y的密度函數(shù)： 故Y在0，1上服從均勻分布。11. 從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，其概率均為0.4，用X表示

13、途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學期望。解：顯然XB(3,0.4),其分布律為，i=0,1,2,3,分布函數(shù)為： ， E(X)= 12. 設(shè)，求隨機變量的期望。解：由，可知 13. 設(shè)且與同分布，與獨立，求：（1）值；（2）的期望。解：（1）由設(shè)且與同分布，與獨立，可知當時，即與相矛盾，因而，即， 即 即，即，（不合題意，舍去）（2）。14. 由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑（毫米）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損。設(shè)銷售利潤（元）與銷售零件的內(nèi)徑的關(guān)系為 問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？解：由，

14、即且，可知由得 令，即即即，平均內(nèi)徑取時，銷售一個零件的平均利潤最大。15. 設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，機器發(fā)生故障時，全天停止工作。一周五個工作日，若無故障，可獲利10萬元；若發(fā)生一次故障，仍可獲利5萬元；若發(fā)生兩次故障，獲利為零；若至少發(fā)生三次故障，要虧損2萬元。求一周內(nèi)的利潤期望。解：設(shè)一周共五個工作日，機器發(fā)生故障的天數(shù)且 則： 所以一周內(nèi)的利潤期望為萬元。16.設(shè)商店經(jīng)銷某種商品的每周需求量服從區(qū)間上的均勻分布，而進貨量為區(qū)間中的某一個整數(shù)，商店每售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每售出一單位商品僅獲利300元，求此商店每周最小進貨量為多少，可使獲利的期望不少于9280元。解：設(shè)一商店經(jīng)銷某種商品的每周進貨量為且 當時， 當時，即 且 令，即，即，取。