基于LMS和RLS的自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用仿真

1、湖南大學(xué)計算機與通信學(xué)院課程作業(yè)2題 目：基于LMS和RLS的自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用仿真 基于LMS和RLS的自適應(yīng)濾波器應(yīng)用仿真1. 自適應(yīng)濾波原理自適應(yīng)濾波器是指利用前一時刻的結(jié)果，自動調(diào)節(jié)當(dāng)前時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知或隨機變化的特性，得到有效的輸出，主要由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法兩部分組成，如圖1所示圖1 自適應(yīng)濾波器原理圖x(n)稱為輸入信號，y(n)稱為輸出信號，d(n)稱為期望信號或者訓(xùn)練信號，e(n)為誤差僖號，其中，e(n)=d(n)-y(n).自適應(yīng)濾波器的系數(shù)(權(quán)值)根據(jù)誤差信號e(n)，通過一定的自適應(yīng)算法不斷的進行改變，以達到使輸出信號y(n)最接近期

2、望信號 圖中參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法組成自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波算法是濾波器系數(shù)權(quán)值更新的控制算法，根據(jù)輸入信號與期望信號以及它們之間的誤差信號，自適應(yīng)濾波算法依據(jù)算法準(zhǔn)則對濾波器的系數(shù)權(quán)值進行更新，使其能夠使濾波器的輸出趨向于期望信號。原理記數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)為： h(k)=h0(k) h1(k) hn-1(k)T輸入采樣信號為： x(k)=x(k) x(k-1) x(k-n-1)誤差信號為： 優(yōu)化過程就是最小化性能指標(biāo)J(k),它是誤差的平方和： 求使J(k)最小的系數(shù)向量h(k),即使J(k)對h(k)的導(dǎo)數(shù)為零，也就是。把J(k)的表達式代入，得： 和 由此得出濾波器系數(shù)的最優(yōu)

3、向量： 這個表達式由輸入信號自相關(guān)矩陣和輸入信號與參考信號的相關(guān)矩陣組成，如下所示，維數(shù)都為（n,n）: 系數(shù)最優(yōu)向量也可以寫成如下形式： 自相關(guān)和互相關(guān)矩陣的遞歸表達式如下： 把的遞歸表達式代入系數(shù)向量表達式，得： 即 考慮到 可以記 用前面得到的表達式求出，并代入上式： 或 則濾波器系數(shù)的遞歸關(guān)系式可以記作 其中 e(k)表示先驗誤差。只因為它是由前一個采樣時刻的系數(shù)算出的，在實際中，很多時候由于h(k)計算的復(fù)雜度而不能應(yīng)用于實時控制。用,I代換，其中：為自適應(yīng)梯度，I為辨識矩陣（n，n）這時 這時就是一個最小均方準(zhǔn)則問題。2. LMS自適應(yīng)濾波器舉例自回歸過程的自適應(yīng)預(yù)估器自回歸過程是

4、用來描述伴隨一些可能性規(guī)律出現(xiàn)的統(tǒng)計現(xiàn)象的瞬時估計的隨機過程。一階自回歸模型的公式如下：是模型的唯一參數(shù)，b(k)是零均值白噪聲。用一個自適應(yīng)濾波器生成一個可以對參數(shù)進行一步預(yù)測的一階自適應(yīng)預(yù)估器。LMS算法可由如下方程表示： 取N個點估計參數(shù),為獲取平均值重復(fù)M次。而且分別對=0.01，=0.05，=0.1進行計算。參數(shù)固定在-0.6。程序清單如下：N=500;M=20;n=1;a1=-0.8;h=zeros(M,n+1,3);e=zeros(M,n,3);for d=1:3 if d=1 delta=0.01; else delta=0.05*(d-1); end; for k=1:M b

5、=0.2*randn(1,N); y(1)=1; for i=2:N y(i)=-a1*y(i-1)+b(i); end for i=n+1:N e(k,i,d)=y(i)-h(k,i,d)*y(i-1); h(k,i+1,d)=h(k,i,d)+delta*y(i-1)*e(k,i,d); end endendfor d=1:3 for i=1:N em(i,d)=0; hm(i,d)=0; for j=1:M em(i,d)=em(i,d)+e(j,i,d)2; hm(i,d)=hm(i,d)+h(j,i,d); end endend figure(1) semilogy(1:150,em

6、(1:150,1),hold on semilogy(1:150,em(1:150,2),'r'),hold on semilogy(1:150,em(1:150,3),'g'),hold off axis(0 150 0.01 1),grid title('Mean square error ') xlabel('Samples') gtext('leftarrowd=0.01'); gtext('leftarrowd=0.05'); gtext('leftarrowd=0.1')

7、; figure(2),plot(1:N,hm(1:N,1),hold on plot(1:N,hm(1:N,2),'r'),hold on plot(1:N,hm(1:N,3),'g'),hold off,grid title('Filter coeffcient evalution') xlabel('Samples'), gtext('d=0.01'), gtext('d=0.05'), gtext('d=0.1')得到的如下結(jié)果圖：圖2. 平均方差誤差 圖3.濾波器系數(shù)曲線系

8、數(shù)以時間常數(shù)的指數(shù)曲線收斂，越大，時間常數(shù)越小3. RLS自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用仿真從噪聲中提取信號輸入信號為：其中b(k)是附加的白噪聲。應(yīng)用于RLS自適應(yīng)濾波器的算法可描述如下： 自適應(yīng)增益行向量，大?。?，n）; 先驗誤差 自適應(yīng)濾波器系數(shù)行向量，大小（1,n） 輸入信號x(k)的自相關(guān)轉(zhuǎn)制矩陣，大?。?,n） 自適應(yīng)濾波輸出所研究的濾波器階數(shù)為200，采樣周期等于1ms.程序清單如下：N=1000;n=200;k=12;Ts=1e-1b=0.8*randn(1,N);for i=1:N xr(1,i)=sin(k*2*pi*i/N); x(1,i)=xr(1,i)+b(i);end Cxx

9、=10000*eye(n);g=zeros(N,n);h=zeros(N,n);e=zeros(1,N);y=zeros(1,N);tr=zeros(1,N); for i=n+1:N g(i,:)=(Cxx*x(i-n+1:i)'./(1+x(i-n+1:i)*Cxx*x(i-n+1:i)')' e(1,i)=xr(i)-h(i-1,:)*x(i-n+1:i)' h(i,:)=h(i-1,:)+e(1,i)*g(i,:); Cxx=Cxx-g(i,:)'*x(i-n+1:i)*Cxx; y(1,i)=h(i,:)*x(i-n+1:i)' tr(

10、1,i)=trace(Cxx);end figure(1)plot(0:N-n,x(1,n:N),gridtitle('x(k) input singnal in V')xlabel('Samples') figure(2)plot(0:N-n,xr(1,n:N),'r'),gridaxis(0 800 -1.2 1.2)title('xr(k) reference singnal in V')xlabel('Samples') figure(3)plot(0:N-n,e(1,n:N),hold onplot(0:

11、N-n,y(1,n:N),'r'),hold on gridtitle('e(k) error and y(k) output in V')xlabel('Samples')gtext('e(k)'),gtext('y(k)') figure(4)plot(0:N-n,h(n:N,1),hold onplot(0:N-n,h(n:N,2),'r'),hold offgridtitle('a(n-1) and a(n-2) coeffcients evolution')xlabel(&

12、#39;Samples') figure(5)num1=fliplr(h(N,:);sys1=tf(num1,1,Ts);bode(sys1),hold offtitle('Synthesized filter')xlabel('Frequency in rad/s')ylabel('Phase in degree;Module in dB') figure(6)semilogy(0:N-n,tr(n:N),gridtitle('Cxx matrix trace')xlabel('Samples')實驗結(jié)果圖如下：圖4，輸入信號x(k)圖5 參考信號xr(k)圖6 誤差e(k)和輸出信號y(k) 圖7.濾波器系數(shù)a(n-1)和a(n-1)變化曲線系數(shù)的變化曲