大學(xué)物理(上)習(xí)題講解(剛體力學(xué)部分)

1、南昌大學(xué)南昌大學(xué) 陳國云陳國云2014年年4月月5日日例題例題5-15-1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長為、長為 l 的均勻細(xì)棒對下面的均勻細(xì)棒對下面 三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量： （1 1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點(diǎn)的一點(diǎn) 并和棒垂直。并和棒垂直。xo解解:(1)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxx2dJxm2121ml222dllmxxlxohxodxx2dJxm20dlmxxl231mlJ 與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布

2、、軸的位置有關(guān)與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)(2)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元（3）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元dxx2dJxm22112mlmh222dlhlhmxxl例題例題5-25-2 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為質(zhì)量為m，密度均勻。密度均勻。rRdr解：解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取一半徑為在圓盤上取一半徑為r、 寬度為寬度為d dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的環(huán)的 質(zhì)量質(zhì)量

3、dm= 2 rdr ?？傻每傻?23201d2d22RRJrmrrmR例題例題5-35-3 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為端分別懸有質(zhì)量為m1和和m2的物體的物體1 1和和2 2，m1m1，物體物體1 1向上運(yùn)動，物體向上運(yùn)動，物體2 2向下運(yùn)動，滑輪以順向下運(yùn)動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)時針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠痰闹赶蛉鐖D所示?？闪谐鱿铝蟹匠蘆MrTrTamTGamGT12222111式中式中 是滑輪的角加速度是滑輪的角加速度，a是物體的加速度。滑輪是物體的加速度。滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即

4、邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即從以上各式即可解得從以上各式即可解得ra mmmrMgmmrJmmrMgmmar21/121221212mmmrMgmmmagmT21/212121212mmmrMgmmmagmT21/212122111而而rmmmrMgmmra21/1212當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0時，有時，有g(shù)mmmmTT1221212gmmmma1212 上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測上題中的裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因為在已知的簡單裝置。因為在已知m1、 m2 、

5、r和和J的情況下，能通過實驗測出物體的情況下，能通過實驗測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a，再通過加速度把再通過加速度把g g算出來。在實驗中可使兩物體的算出來。在實驗中可使兩物體的m1和和m2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a和速度和速度v都較小，都較小，這樣就能角精確地測出這樣就能角精確地測出a來來。例題例題5-45-4 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令令圓盤最初以角速度圓盤最初以角速度 0 0繞通過中心且垂直盤面的軸旋繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)

6、，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？rRdr d e解：解：由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一點(diǎn)，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量的質(zhì)量dm= rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。此處此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是22003ddddd23RMrmggrrergerrgeR 因因m= e R2，代入得代入得mgRM32根據(jù)

7、定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度獲得負(fù)的角加速度. .221d32dmgRJmRt設(shè)圓盤經(jīng)過時間設(shè)圓盤經(jīng)過時間t t停止轉(zhuǎn)動，則有停止轉(zhuǎn)動，則有00021dd32tgtR由此求得由此求得043gRt 例題例題5-55-5 一勻質(zhì)細(xì)棒長為一勻質(zhì)細(xì)棒長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，可繞通過，可繞通過其端點(diǎn)其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當(dāng)棒從水平位的水平軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為體相撞。該物體的質(zhì)量也為m ，它與地面的摩擦系，它與地

8、面的摩擦系數(shù)為數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。而停止。求相撞后棒的質(zhì)心求相撞后棒的質(zhì)心C 離地面的最大高度離地面的最大高度h，并說明，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：解：這個問題可分為三個階段這個問題可分為三個階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時除重力外，擺落的過程。這時除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時質(zhì)心所在處取為勢能直位置時質(zhì)心所在處取為勢能CO零點(diǎn)，用零點(diǎn)，用 表示棒這時的角速度

9、表示棒這時的角速度, ,則則2223121212mlJlmg（1 1） 第二階段是第二階段是碰撞過程。碰撞過程。因碰撞時間極短，自由因碰撞時間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所受的對轉(zhuǎn)軸受的對轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對O軸的角動量守恒。我們用軸的角動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，表示物體碰撞后的速度，則則（2 2） 223131mlmvlml式中式中 為為棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。棒在碰

10、撞后的角速度，它可正可負(fù)。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞后的滑行過程?；羞^程。物體作勻減物體作勻減速直線運(yùn)動，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運(yùn)動，加速度由牛頓第二定律求得為mamg （3 3）由勻減速直線運(yùn)動的公式得由勻減速直線運(yùn)動的公式得asv202gsv 22 （4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得lgsgl233（5）亦即亦即l 66 s；當(dāng)當(dāng) 取負(fù)值，則棒向右擺，其條件取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為為0233 gsgl

11、亦即亦即l 6 s 棒的質(zhì)心棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：223121 mlmgh把式（把式（5 5）代入上式，所求結(jié)果為）代入上式，所求結(jié)果為slslh632當(dāng)當(dāng) 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值，則棒向左擺，其條件為0233 gsgl (6)(6)例題例題5-65-6 工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，A和和B兩飛輪的軸桿在同一兩飛輪的軸桿在同一中心線上，中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為輪的轉(zhuǎn)動慣量為J

12、A=10kg m2，B的轉(zhuǎn)動慣的轉(zhuǎn)動慣量為量為JB=20kg m2 。開始時。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？ A ACBACB或共同轉(zhuǎn)速為或共同轉(zhuǎn)速為200r/ minn 在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為失的機(jī)械能為22241112221.32 10 JABABABEJJJJ 例題例題5-75-7

13、恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時星發(fā)，這時星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每4545天轉(zhuǎn)一周，它天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑的內(nèi)核半徑R0約為約為2 2 10107 7m，坍縮成半徑坍縮成半徑R僅為僅為6 6 10103 3m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的中子星。試求中子星的

14、角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。解：解：在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因此恒星的角動量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的此恒星的角動量應(yīng)該守恒，則它的內(nèi)核在坍縮前后的角動量角動量J0 0和和J 應(yīng)相等。因應(yīng)相等。因22052520mRJmRJ，代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得2003r/sRR 由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在星體周圍形成極強(qiáng)的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出星體周圍形成極強(qiáng)的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強(qiáng)的無線電波、光或很強(qiáng)的無線電

15、波、光或X X射線。當(dāng)這個輻射束掃過地射線。當(dāng)這個輻射束掃過地球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測到的脈沖星超過沖星。目前已探測到的脈沖星超過300300個。個。例題例題5-8 圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=2 103kg m2 ，它以它以 =0.2rad/s的角速度繞中心軸旋的角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉(zhuǎn)。每個噴管的位置與軸線距離都是每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴兩噴管的噴氣流量恒

16、定，共是氣流量恒定，共是 =2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多并且恒定。問噴管應(yīng)噴射多長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。長時間才能使飛船停止旋轉(zhuǎn)。rdm/2dm/2u u L0Lg解：解：把飛船和排出的把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質(zhì)量為廢氣質(zhì)量為m。可以。可以認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于認(rèn)為廢氣質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船的質(zhì)量飛船的質(zhì)量，所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即于飛船自身的角動量，即 在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時間內(nèi)噴出的氣時間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為體，這些氣體對中心軸的角動量為dmr(u+v)，方方向與飛船的角動量相同。因向與飛船的角動量相同。因u=50m/s遠(yuǎn)大于飛船的遠(yuǎn)大于飛船的速率速率v(= r) ，所以此角動量近似地等于所以此角動量近似地等于dmru。在在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應(yīng)為