微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用微積分已進(jìn)入了中學(xué)教材，為學(xué)生提供了新的解題工具，特別是在解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面，處理起來(lái)程序化，非常方便、簡(jiǎn)捷。另外，在處理初等數(shù)學(xué)的其他問(wèn)題方面也提供了新的解題思路和方法，下面舉例說(shuō)明。一證明不等式要分4種小題型1只含一個(gè)字母不妨設(shè)為的不等式：“，令，求Hx在區(qū)間I上的最小值可在區(qū)間I的端點(diǎn)處，有Hx 0 即可2含有多個(gè)字母的不等式：證法一：將一個(gè)字母看作變量，其它字母看作常數(shù)參數(shù)，然后按上述“1只含一個(gè)字母的不等式的證明方法證明。 2004全國(guó)證法二：找出兩個(gè)字母，不妨設(shè)為 ，然后將不等式變形為形式，然后用的單調(diào)性證明。2001年全國(guó)高考即：3用導(dǎo)數(shù)的

2、幾何意義證明不等式例3：函數(shù)的定義域?yàn)?，1，求證 證明： 即 由拉格朗日定理，對(duì) 存在使 成立說(shuō)明：形如形的不等式都可用此法。4用函數(shù)的凹凸性證明不等式：凹凸性定義:如在I連續(xù)，且任時(shí)，那么稱曲線是凹或凸的。判別法：如在區(qū)間I上， 那么曲線是凹或凸的定理：在區(qū)間I上為上凸函數(shù)，且那么：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，假設(shè)為下凸函數(shù)那么不等好相反。例4：證明均值不等式都為正實(shí)數(shù)那么 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立證明；設(shè) 那么 在上凸 又在為 增函數(shù)。 即所以原不等式成立二作函數(shù)圖像學(xué)微分學(xué)之前,用普通的描點(diǎn)法作圖是十分必要的,不過(guò)它有缺陷:帶有一定的盲目性;函數(shù)圖像的整個(gè)輪廓不清楚;。而運(yùn)用微分學(xué)作出的函數(shù)圖像,就能克

3、服描點(diǎn)法作圖的缺點(diǎn).作圖像的步驟：1o求定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、奇偶性。2o求f(x)=0和f (x)=0的解。3o將所求的點(diǎn)按大小次序排列，列表，討論f(x)和f (x)的符號(hào)，確定單調(diào)區(qū)間，凹凸性，極值點(diǎn)。4o計(jì)算f(x)=0和f (x)=0的值和必要輔助點(diǎn)與軸的交點(diǎn)，端點(diǎn)等值。5o描點(diǎn)作圖x-1-1,00y0y00y上凸 拐點(diǎn)下凸極小值1下凸拐點(diǎn)0，0作出函數(shù)在，0上的圖像：1111xyO再由奇函數(shù)的性質(zhì)可畫(huà)出0，的圖像。三、方程根的問(wèn)題例6. 方程x36x2+9x10=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？A. 3 B. 2 C. 1 D. 0解：令f(x)x36x2+9x10f(x)= 3x212x+9，令f(x)=0得x1或x3f(1)=6, f(3)=10，f(x)的極大值和極小值都小于0，故 f(x)0有一個(gè)根。四解析幾何中