第二節(jié)等差數(shù)列

1、第二節(jié)等差數(shù)列【最新考綱】1理解等差數(shù)列的概念.2掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系， 并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.貶實(shí)雙基©I基礎(chǔ)梳理1. 等差數(shù)列的有關(guān)概念(1) 定義：如果一個(gè)數(shù)列從 第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.用符號(hào)表示為an+ 1-an = d(n N*, d 為常數(shù)).(2) 等差中項(xiàng)：數(shù)列a, A, b成等差數(shù)列的充要條件是 A三七也， 其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).2. 等差數(shù)列的有關(guān)公式(1) 通項(xiàng)公式：a + (n- 1)d, a=

2、 cm + (n m)d.n (n 1) d n(a +ca)(2) 刖n項(xiàng)和公式：Sn= n a +2=2.3. 等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列a是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.(1) 若 m、n、p、q、k 是正整數(shù)，且 m+ n= p+ q= 2k,貝S am+ an=0p+0q =.(2) Chn,Clm+ k, Om+2k , Om + 3k , 仍是等差數(shù)列，公差為 kd .(3) 數(shù)歹Sm, 5m Sm, S3m S2m，也是等差數(shù)列.(4) 若數(shù)列 a的前 n 項(xiàng)和為 Sn,則 S2n-1 = (2n 1) a, S2n= n( a + an)= n( a+ 4+1).(5) 等差數(shù)列的

3、通項(xiàng)公式形如ca= a + b( a, b為常數(shù))，前n項(xiàng)和公式形如Sn= An2 + Bn(A, B為常數(shù))，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)研究等差數(shù) 列常?？梢允掳牍Ρ?I學(xué)情自測1. (質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“"”，錯(cuò)誤的 打 “X” )(1) 若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()(2) 數(shù)列 a為等差數(shù)列的充要條件是對任意n N*，都有2 a+1=a+ a+ 2()(3) 等差數(shù)列 On的單調(diào)性是由公差d決定的.()(4) 數(shù)列 an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函 數(shù).()答案：(1)x(2)V (3)V (4)X2.

4、(2017鄭州一檢)等差數(shù)列 a的前n項(xiàng)和為Sn,且S3= 6, a=0,則公差d等于()A. 1 B. 1 C . 2 D. 2解析：依題意得S3= 3a = 6,即02= 2,故d= a a = 2,選D.答案：D3. 在等差數(shù)列cin中，cn = 2, a+ a= 10，貝S a =()A. 5 B. 8 C. 10 D. 14解析：法一 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a+ 05= 2ai + 6d = 4 +6d= 10,所以 d = 1, a = a + 6d=2+ 6= &法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a + a= a + a= 10,又a = 2,所 以a= &答案：B4.

5、 (2015課標(biāo)全國H卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，若a + a+ 05= 3,則 S5=()A. 5 B. 7 C . 9 D . 11解析：法一一.ci1+ a= 2a,a + a+ a = 3a= 3,.a= 1,5 (a +a)0 =2= 5 a = 5,故選 A.法二二.ci1 + a + a= a+(a + 2d)+(a + 4d) = 3a + 6d = 3,.a + 2d= 1,5X 4S5 = 5a+ 2 d= 5( a + 2d)= 5,故選 A.答案：A5. （2015陜西卷）中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2 015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為 .a + 2

6、015解析：設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為a,則=1 010,故° = 5.答案：5名師微博通法領(lǐng)悟一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式.兩個(gè)技巧1若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a 2d, ad, a, a4d, a+ 2d，.2. 若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a 3d, ad, a+ d, a+ 3d,.兩種思想1. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前 n項(xiàng)和公式涉及“五個(gè)量”，“知 三求二”，需運(yùn)用方程思想求解，特別是求a和d.2. 等差數(shù)列an中，ca= a+ b（ a, b 為常數(shù)）,Sn = An2 + Bn（A, B為常數(shù)），均是關(guān)于“n的函數(shù)，充分運(yùn)用函數(shù)思想

7、，借助函數(shù)的圖 象、性質(zhì)簡化解題過程.四種方法等差數(shù)列的四種判斷方法1 .定義法：a+1 an= d（d是常數(shù)）？ a是等差數(shù)列.2. 等差中項(xiàng)法：2 a+1= a+ a+2（n n*）? a是等差數(shù)列.3. 通項(xiàng)公式：a= pn+ q（p, q為常數(shù)）? a是等差數(shù)列.4. 前n項(xiàng)和公式：Sn = An2 + Bn（A、B為常數(shù)）? a是等差數(shù)列.潘匚宿|¥；誡：高效提能I、選擇題1. （2017豫東、豫北十所名校聯(lián)考（五）已知等差數(shù)列a中，a=13，S5= 35,則公差 d =（）A. - 2B. 1 C. 1D. 3a + 4d= 13,a= 1,解析：依題意，得解得15a +

8、 10d = 35,ld= 3,答案：D2. （2015重慶卷）在等差數(shù)列a中，若a = 4, a=2,則a>=（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 6解析：丁a為等差數(shù)列，,2c4= a+ a, /-ca= 2a a,即 2x 2 4= 0.答案：B3. （2016陜西八校聯(lián)考）在等差數(shù)列 cc中，a = 0,公差d0, 若Cm=a +a + a,則m的值為（）A. 37 B. 36 C. 20 D. 19解析：9X 8斗Cn= a+ a+ a = 9a+ 2 d=36d= a7,m = 37故選A.答案：A4. （2016深圳調(diào)研）等差數(shù)列d中，已知 a>0, a + av

9、0, 則a的前n項(xiàng)和Sn的最大值為（）A. S7B. S6C. S5D. S4I a + a = a+ a< 0, i a>0, 解析：丁I a>0,I av 0,°Sn的最大值為S5答案：C5. (2017河南三市二調(diào))設(shè)Sn為等差數(shù)列 a的前n項(xiàng)和，若ai=1，ca= 5, Sk+2-Sk = 36,則 k 的值為()A. 8 B. 7 C. 6 D. 5解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 2d= 03a = 4,得 d=2,所以 a = 1 + 2(n 1)= 2n-1, Sk+2 Sk= a+2+ ak+1 = 2(k + 2) 1 + 2(

10、k +1) 1= 4k + 4= 36,解得 k= &答案：A二、填空題6. (2015廣東卷)在等差數(shù)列 a中，若a+ 0+ 0 + 0 + O = 25,貝卩a + a=.解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列 01中，a+ a + a+ a+ 0= 25,所以5a=25,即卩 a = 5所以 a + a= 2 a= 10.答案：107. 若等差數(shù)列a滿足 a+ a+ a>0, a+ aoV0,則當(dāng)n =時(shí)a的前n項(xiàng)和最大.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+ a+ a = 3a>0,即a>0;而a7+ a10= a + av0,故av 0所以數(shù)列 a的前8項(xiàng)和最大.答案：838. 設(shè)等差

11、數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn,若a = 3, a+1=2 Sk=12,則正整數(shù)k =.3解析：設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,由且 Sk= 12,則3+ kd =；,且一3k+ ；k(k 1)d= 12消去 d,得 k= 13.答案：13三、解答題9. 數(shù)列a滿足 a = 1, a= 2, a+2=2a+ 1a+2.(1) 設(shè)bn= a+1 a,證明bn是等差數(shù)列；(2) 求 a的通項(xiàng)公式.(1) 證明：由 a+2= 2a+1 a + 2得a + 2 a+1= a+1 a + 2,即 bn+1= bn+2又 b1 = a a = 1,所以bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2) 解：由(1)得 bn =

12、1 + 2(n1) = 2n 1,即 a+1 a = 2n 1.nn于是筲a+1 a)= k?1(2k 1),以 a+1 a= n ，即 a+1 = n + q.又a=1,所以 a的通項(xiàng)公式為a= n2 2n+ 2.10 .已知等差數(shù)列an的公差d>0設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn, a=1, S2 S3= 36.(1) 求 d 及 Sn；*(2) 求 m, k(m , k N )的值，使得 Om+ cm + i+ Om + 2+ Om+ k =65.解：由題意知(2 a + d)(3a + 3d)= 36,將a = 1代入上式解得d = 2或d= 5.因?yàn)閐>0,所以d = 2,從而a

13、= 2n 1,Sn = n2(n N ).(2)由得 cm+ cim+1 + cm + 2+ cm+ k = (2m + k 1)(k + 1),所 以(2m + k 1)(k +1) = 65.由 m, k CN*知 2m+ k 1 >k+ 1 > 1,2m + k 1 = 13,m = 5,故所以k+1 = 5,k = 4.11. (2014湖北卷)已知等差數(shù)列a滿足：a= 2,且a ,a,a 5成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2) 記Sn為數(shù)列 a的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù) n,使得Sn> 60n + 800?若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.解：設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,依題意，2, 2+ d, 2+4d成 等比數(shù)列，故有(2+ d)2 = 2(2 + 4d),化簡得d2 4d= 0,解得d=0或d= 4.當(dāng) d= 0 時(shí)，a= 2;當(dāng) d= 4 時(shí)，a= 2+ (n 1) 4= 4n 2,從而得數(shù)列 a的通項(xiàng)公式為a= 2或a = 4n-2.(2)當(dāng) a= 2 時(shí)，Sn= 2n顯然 2nv60n + 8