2020_2021學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.7函數(shù)的圖象及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)講解理科版含解析

1、函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【核心素養(yǎng)分析】1 .在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)：2 .會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.3 .培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。【重點(diǎn)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式：（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、 對(duì)稱性等）：（4）列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，連線.知識(shí)點(diǎn)二利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換上MAX”個(gè)單位移1KM）I：.：；單佗H叵二）;二：；

2、單仙”21工人“7竹單位（2）對(duì)稱變換y= f （x）的圖象美士蝴稱尸-f （x）的圖象：y= f（x）的圖象天巨財(cái)稱y= f（-x）的圖象：尸f （x）的圖象關(guān)十里縣對(duì)稱尸一 f （一*）的圖象;y=fQ>0,且aNl）的圖象4”仁：剪iy=iogd（一0,且aKl）的圖象.縱坐標(biāo)不變（3）伸縮變換y= f（x）y= fax）.各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（a>0）倍 a=橫坐標(biāo)不變J一各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的月（心0）倍",（4）翻折變換.W由下方部分翻折到上方”y= £（x）的圖象"y= ! f（*）的圖象:喜由及上方部分不變j，=£(x)的圖象y

3、=f(|x )的圖象.«由右側(cè)部分翻折到左側(cè)原jd油左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變【特別提醒】記住幾個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù)y=f(x)與y=f(2ax)的圖象關(guān)于直線牙=以對(duì)稱.(2)函數(shù)尸£(X)與y=2b-f(2a-X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, b)中心對(duì)稱.(3)若函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a+x) =f(a-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直 線x=a對(duì)稱.【典型題分析】高頻考點(diǎn)一由函數(shù)式判斷圖像【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：八不)=言一/"),則函數(shù)“X)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo) 原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤:4當(dāng)J = 1時(shí),y = =2&g

4、t;0,選項(xiàng)B4 故選取 1 + 1sinr 4- x【舉一反三】【2019 全國(guó)【卷理數(shù)】函數(shù)= r在一冗，兀的圖像大致為()COSX + X-B. _u -7FA. _L. -TTsin cos【解析】V A-.r) =sin(x)-工cos( -v)+( -x)* cos .y4-Y= f(x), 是奇函數(shù).又f(n) =冗 + ji jin + n : _ 1+ n :*故選D?！痉椒记伞拷鉀Q此類問(wèn)題常有以下策略:從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置：從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置：(2)從函數(shù)的單調(diào)性(有時(shí)可借助導(dǎo)數(shù))，判斷圖象的變化趨勢(shì)：(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(

5、4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)：(5)從函數(shù)的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)、極值點(diǎn)等)，排除不合要求的圖象.【變式探究】【2019 全國(guó)IH卷理數(shù)】函數(shù)在-6,6的圖象大致為()乙I乙【答案】B2 v32(訃，【解析】設(shè) f(x)*(x£ -6, 6), WJ f(x) =9 . 9x= /(.y) ，£(*)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng) C：乙I乙乙 I乙112R當(dāng)*=-1時(shí)，A-l)=<0,排除選項(xiàng)D：當(dāng)x=4時(shí)，f(4)=V-7.97,排除選項(xiàng)A,故選B.5-高頻考點(diǎn)二助動(dòng)點(diǎn)探究函數(shù)圖象例2. (2020 江西臨川一中模擬)廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)

6、互糾在一起，因而被習(xí)稱為 “陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”.如圖，是由一個(gè)半徑為2的大圓和兩個(gè)半徑為1的半圓組成的“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”，圓心分別為。，a, h,若一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)1出發(fā)，按路線月運(yùn)動(dòng)(其中a, o, a, a,萬(wàn)五點(diǎn)共線)，設(shè)尸的運(yùn)動(dòng)路程為X，y=la尸，y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=£(x),則y=f(x)的大致圖象為()p【答案】A【解析】根據(jù)題圖中信息，可將才分為4個(gè)區(qū)間，即0,萬(wàn)），丸，2兀），2* 4五），4叫6丸,當(dāng)x£0,丸）時(shí)，函數(shù)值不變，j，=£（x）=l：當(dāng)2無(wú)）時(shí)，設(shè)2?與前的夾角為O? =1，Oft =2, 0=x- n , ：.y= ( OF-Oa):

7、 = 5-4cos =5 + 4cosx, .y=f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增：當(dāng)2 n , 4")時(shí)，RP = OP (XX ,設(shè)8與0Q的夾角為a , OP =2,0Q. =1, =丸且單調(diào)遞減.結(jié)合選項(xiàng)知選A. *a.Pz= OP - 00. )：=5-4cos =5 4cos函數(shù) y=f(x)的圖象是曲線,【方法技巧】求解因動(dòng)點(diǎn)變化而形成的函數(shù)圖象問(wèn)題，既可以根據(jù)題意求出函數(shù)解析式后判斷圖象， 也可以將動(dòng)點(diǎn)處于某特殊位置時(shí)考查圖象的變化特征后作出選擇.【變式探究】（2020 福建仙游一中模擬）如圖，長(zhǎng)方形月6Q?的邊/15=2, BC=1, 0是血的中點(diǎn)， 點(diǎn)尸沿著邊6C

8、, Q?與以運(yùn)動(dòng)，記N6"=x.將動(dòng)點(diǎn)尸到月，6兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x）,則曠= FC0的圖象大致為（）【答案】Bn 1< 丸 3 n0，Thf(x)=tanx+，4 + tanX圖象不會(huì)是直線段，從而排除AC當(dāng)xW » 時(shí),：| = 1斗")=1+4，三)=2隹2/1+4，"3)<4丁)=彳"|,從而排除D,故選B.高頻考點(diǎn)三考查圖象變換例3. (2020 安徽安慶一中模擬)已知函數(shù)y=f(l x)的圖象如圖，則尸£(x+2)的圖象是()【答案】A【解析】(1)把函數(shù)y=f(l *)的圖象向左平移1個(gè)單位得y=

9、f(-x)的圖象；(2)作出一公關(guān)于y 軸對(duì)稱的函數(shù)圖象得y=£(x)的圖象：(3)將A.y)向左平移2個(gè)單位得片=f(x+2)的圖象：(4)將尸£(x+ 2)的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱翻折到x軸上方得到|f(*+2) |的圖象.【方法技巧】解決函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題，注意“三點(diǎn)”：(1)根據(jù)已知函數(shù)的解析式選取特殊的點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除；(2)根據(jù)選項(xiàng)中的圖象特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等來(lái)排除選項(xiàng)；(3)應(yīng)用極限思想來(lái)處理，達(dá)到巧解妙算的效果?！咀兪教骄俊?2020 浙江杭州中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=logq，(0Va<l),

10、則函數(shù)y=f( x|+1)的 圖象大致為()【答案】A【解析】先作出函數(shù)f(x)=log力(OVaVl)的圖象，當(dāng)*>0時(shí)，y=f( x +1)=/(+1),其圖象由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到，又函數(shù)y=f( X +D為偶函數(shù)，所以再將函數(shù)y=f(x+D(x>0)的 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸左邊，得到xVO時(shí)的圖象，故選A.高頻考點(diǎn)四 利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)例4. (2020 江蘇鹽城中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是()A. *)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0, +8)B. £(")是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(一8, 1)C.

11、 £(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(- 1,1)D. £(")是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(一8, 0)【答案】C【解析】將函數(shù)f(x)=*去掉絕對(duì)值得f(x)=.畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如-x-2x9 xVO.圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(一 1,1)上單調(diào)遞減.【方法技巧】利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，常從以下幾個(gè)角度分析：(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值：(2)從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；(3)從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性. a,【變式探究】(2020 黑龍江雙鴨山一中模擬)對(duì)a, 6E

12、R.記maxa, 6=函數(shù)f(x).b, a<6,=max x+l , x2 (x£R)的最小值是.【答案W3【解析】函數(shù)f(x)=max x+1 , |x-2 (x£R)的圖象如圖所示,由圖象可得,其最小值為不y-1 02高頻考點(diǎn)五利用函數(shù)圖像研究不等式的解例5.【2020年高考北京】已知函數(shù)/(x) = 2”x l,則不等式/(x)>。的解集是B. (rO, - l)U(L+S)D. (rO,0)51，+°°)C. (OJ)【答案】D【解析】因?yàn)?(x) = 2-1,所以f(x)>0等價(jià)于2*>X+1，在同一直角坐標(biāo)系中作出y

13、 = 2、和y = x+1的圖象如圖：不等式2, >x + l的解為x<0或x>L所以不等式f(x)>0的解集為:(-20)51，”)，故選及【方法技巧】利用函數(shù)圖象研究不等式.通過(guò)函數(shù)圖象把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系或 函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題?！咀兪教骄俊?2020 河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知函數(shù)j，=F(x)的圖象是如圖所示的折線月%,且函數(shù)g(x) = logKx+l)”,則不等式f(x)>g(x)的解集是( )C. -V K-vlD. x 1<.y2【答案】c【解析】令 §(x) =y=log：(x+l),作出函數(shù)g(x

14、)圖象如圖，x+y=2,-v=L由、得，,y=log： (x+1) ,1y=l.,結(jié)合圖象知不等式f(x) 21ogKx+D的解集為x -高頻考點(diǎn)六利用函數(shù)圖像研究方程的根例6.(2020 湖南瀏陽(yáng)一中調(diào)研)己知函數(shù)f(x)=0 °其中成0.若存在實(shí)數(shù)6,使得/-2a+4m，關(guān)于X的方程f(x) =6有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.【答案】(3, 4-oo)【解析】在同一坐標(biāo)系中，作y=f(x)與y=6的圖象.“彳時(shí),三-22nx+4m= (x-”)，+4所一爐，要使方程£(x) =b有三個(gè)不同的根，則有4m一/小即加一3m>0.又應(yīng)>0,解得m>3.【

15、方法技巧】利用圖象研究方程根的問(wèn)題.其依據(jù)是：方程F(x)=0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交 點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x) =£x)的根就是函數(shù)f(x)與§(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。21, xWO,【變式探究】(2020 河南鄭州一中模擬)已知函數(shù)f(x)=/,、 、八 若方程f(x)=x+&f d) , x>0,有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(，0B. 0, 1)C. (一8, 1)D. 0, 4-oo)【答案】C【解析】當(dāng)x>0時(shí)，f(*)=f(*-D,所以f(x)是以1為周期的函數(shù).又當(dāng)0VA1時(shí)，*TW0,所 以f(x) =

16、FClD =2' "1 = 2t>- 1.方程f(x) =x+a的根的個(gè)數(shù)可看成是兩個(gè)函數(shù)y=f(x)與y=x+a的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8, 1).高頻考點(diǎn)七求參數(shù)的取值范圍log-.Y,牙>0,例7. （2020 山東泰安一中模擬）已知函數(shù)f（x）=j 2若關(guān)于x的方程F（x）=A有兩7, xWO,個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.【答案】（0,1【解析】作出函數(shù)尸£（x）與y=A的圖象，如圖所示，由圖可知k£ （0, 1.【方法技巧】當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí)，可將函數(shù)（或方程）等價(jià)

17、轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù)，再 根據(jù)題設(shè)條件和圖象的變化確定參數(shù)的取值范圍.【變式探究】（2020 山西大同一中質(zhì)檢）設(shè)函數(shù)f（x） = |x+a|,1,對(duì)于任意的x£R.不等式f（x） 2g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】-1, +8）【解析】如圖作出函數(shù)f（x）= x+a與的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)一即一 1時(shí)，不等式£（x）2g（x）恒成立，因此a的取值范圍是- 1, +8）。高頻考點(diǎn)八綜合考查函數(shù)圖像及其應(yīng)用例8. （2020 湖南省高三一模）設(shè)F3）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)°<X< 1時(shí)，/（"）=一'+1:當(dāng)

18、X> 1時(shí)，/W = log2x< 1）在平面直角坐標(biāo)系中直接畫(huà)出函數(shù)y = /（力在R上的草圖：(2)當(dāng)x£(s,1)時(shí)，求滿足方程/(x) + log4(x) = 6的x的值;（3）求y = f（x）在0"（，>0）上的值域.【答案】（1）見(jiàn)解析.工=一16.(3) OJog2r.【解析】由單調(diào)性和過(guò)點(diǎn)（0,1），（±1,0），（±21），（±4,2）,作出圖象如圖.(2)當(dāng)時(shí)，/(x) = log2(-x), ./(x) + log4(-x)= log2(-x) + 1嗎4= !"log2(T)= 6, ENog2(T)= 4, 即一x