【圖文】第四章大數(shù)定理與中心極限定理

1、 對于獨立同分布隨機(jī)變量序列 X n , 不管他們服從 什么分布，只要存在有限數(shù)學(xué)期望和方差，當(dāng)n充分大 時，就有 2 X N ( n m , n s å i i =1 n 近似 三、中心極限定理的應(yīng)用 Ø Lindeberg-Levy中心極限定理應(yīng)用 所以，å X i的有關(guān)概率問題可利用正態(tài)分布求解。 i =1 n Ø De Moivre-Laplace中心極限定理應(yīng)用 對于隨機(jī)變量X B(n, p，總有X N (np, npq，因 此，當(dāng)n充分大時，二項分布的概率問題可利用正態(tài)分布 解決。一般在實際中n ³ 50， 0.1 < p &

2、lt; 0.9應(yīng)用效果較理想。 n ®+¥ 例4.3 某城市有50個無線電尋呼臺，每個尋呼臺在1分鐘 內(nèi)收到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)l = 0.05的Poisson分布，求該市 某時刻1分鐘內(nèi)各尋呼臺呼叫次數(shù)總和超過3次的概率。 解：設(shè)X i 表示第i各尋呼臺在給定的1分鐘內(nèi)接收到 的呼叫次數(shù)(i = 1, 2, , n，則該市在給定的1分鐘內(nèi)接收 到的呼叫次數(shù)總和 T，于是，所求概率為P T > 3 . n 顯然 T = å X i E (T = 2.5 D(T = 2.5 i =1 由Lindeberg - Levy中心極限定理有 3 - 2.5 所以有 P

3、T > 3 = 1 - P T £ 3 » 1 - F( 2.5 = 1 - F(0.3162 = 0.3745 即該市在1分鐘內(nèi)接收到呼叫次數(shù)超過3的概率約為37.45%。 T N (2.5, 2.5 近似 例4.4某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào) 換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。設(shè)每臺車床 開工率為0.6, 每臺車床是否開工是獨立的，每臺車床在 開工時需電力1千瓦。問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9% 的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)? 解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗是觀察 該臺車床在某時刻是否開工, 開工的概率0.6 ,共

4、進(jìn)行 200次獨立重復(fù)試驗。用X表示在某時刻開工的車床數(shù)， 依題意XB(200,0.6。設(shè)有N臺車床開工，也即需要N千 瓦電?，F(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為：求滿足PXN0.999的最小 的N. 由De Moivre - Laplace中心極限定理有 近似 X 所以有 P X £ N = P 0 £ X £ N （200 ´ 0.6， 200 ´ 0.6 ´ 0.4） N N - 120 -120 » F( - F( 由3準(zhǔn)則 48 48 該項為0 N - 120 » F( 48 N - 120 由 F( ³ 0.999, 查正態(tài)分布函數(shù)值得 48 N - 120 ³ 3.1