2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（湖南卷解析版）

1、絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁，時(shí)量120分鐘，滿分150分。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i 1,所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)(-1,1).選B選B2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是A抽簽法 B隨機(jī)

2、數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D分層抽樣法 【答案】 D【解析】 因?yàn)槌闃拥哪康呐c男女性別有關(guān)，所以采用分層抽樣法能夠反映男女人數(shù)的比例。選D3.在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若A B C D 【答案】 D【解析】 選D4.若變量滿足約束條件，A B C D 【答案】 C【解析】 區(qū)域?yàn)槿切?，直線u = x + 2y 經(jīng)過三角形頂點(diǎn)選C5.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A3 B2 C1 D0 【答案】 B【解析】 二次函數(shù)的圖像開口向上，在x軸上方，對(duì)稱軸為x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 從圖像上可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 選B6. 已

3、知是單位向量，.若向量滿足A B C D 【答案】 A【解析】 的模為1，可以在單位圓中解得。選A7已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于A B C D 【答案】 C【解析】 由題知，正方體的棱長(zhǎng)為1，。選C8.在等腰三角形中，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）.若光線經(jīng)過的中心，則等A B C D 【答案】 D【解析】 使用解析法。選D二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.（一）選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，若右頂點(diǎn)，則

4、常數(shù) 3 .【答案】 3【解析】 10.已知 12 .【答案】 12【解析】 .11.如圖2，在半徑為的中,弦 .【答案】 【解析】 （一） 必做題（12-16題）12.若 3 .【答案】 3【解析】 13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入 9 .【答案】 9【解析】 14設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若且的最小內(nèi)角為，則C的離心率為_?！敬鸢浮?【解析】 設(shè)P點(diǎn)在右支上，15設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（1）_；（2）_?！敬鸢浮?【解析】 設(shè)P點(diǎn)在右支上，16設(shè)函數(shù)（1）記集合，則所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為_?！敬鸢浮?【解析】 。所以f(x)的零點(diǎn)集合為（2）若 .（寫出所有正確結(jié)論的

5、序號(hào)）若【答案】 【解析】 1所以正確。所以正確。所以正確。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）若是第一象限角，且。求的值；（II）求使成立的x的取值集合?！敬鸢浮?（I）（II）【解析】 （I）.（II）.(完)18（本小題滿分12分）某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫的交叉點(diǎn)記憶三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們

6、之間的直線距離不超過1米。（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮?（） （）【解析】 () 由圖知，三角形邊界共有12個(gè)格點(diǎn),內(nèi)部共有3個(gè)格點(diǎn).從三角形上頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向開始，分別有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1對(duì)格點(diǎn)，共8對(duì)格點(diǎn)恰好“相近”。所以，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率（）三角形共有15個(gè)格點(diǎn)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是1個(gè)的格點(diǎn)有2個(gè)，坐標(biāo)分別為(4,0),(0,4)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格

7、點(diǎn)數(shù)都是2個(gè)的格點(diǎn)有4個(gè)，坐標(biāo)分別為(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是3個(gè)的格點(diǎn)有6個(gè)，坐標(biāo)分別為(1,0), (2,0), (3,0),(0，1,) ,(0，2),(0，3,)。與周圍格點(diǎn)的距離不超過1米的格點(diǎn)數(shù)都是4個(gè)的格點(diǎn)有3個(gè)，坐標(biāo)分別為(1，1), (1,2), (2,1)。如下表所示：X1234Y51484542頻數(shù)2463概率P.(完)19（本小題滿分12分）如圖5，在直棱柱（I）證明：；（II）求直線所成角的正弦值?！敬鸢浮?（） 見下 （）【解析】 () . (證畢)（）。(完)20（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系x

8、Oy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)處?，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。（I）寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小?！敬鸢浮?（）d= |x 3| + |y 20|，（）當(dāng)點(diǎn)P(x,y)滿足P(3,1)時(shí), 其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小為45【解析】 () ,，

9、其中（）本問考查分析解決應(yīng)用問題的能力，以及絕對(duì)值的基本知識(shí)。點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值d = 水平距離之和的最小值h + 垂直距離之和的最小值v。且h和v互不影響。顯然當(dāng)y=1時(shí)，v = 20+1=21；，水平距離之和h=x (-10) + 14 x + |x-3| ,且當(dāng)x=3時(shí)，h=24.因此,當(dāng)P(3,1)時(shí)，d=21+24=45.所以，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)滿足P(3,1)時(shí),點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)的“L路徑”長(zhǎng)度之和d的最小值為45.21（本小題滿分13分）過拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)A，B，相交于點(diǎn)C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為。（I）若，證明；（II）若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程?！敬鸢浮?（） 見下 （）【解析】 () .所以，成立. (證畢)（）則，. .(完)22（本小題滿分13分）已知，函數(shù)。（I）；記求的表達(dá)式；（II）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂