通州區(qū)2019-2020學年第一學期期末高三數(shù)學試題及答案(WORD版)

1、通州區(qū) 2019-2020 學年第一學期高三年級期末考試數(shù)學試卷2020年 1 月考生須知1.本試卷共 4 頁，滿分 150 分考試時長 120 分鐘2.本試卷分為第一部分和第二部分兩部分 3.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效4 . 考試結束后，將試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共 40 分）、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共 40 分 .在每小題列出的四個選項中，只有1俯視圖項是符合題目要求的1.已知集合 AA. x2x3 B.1x1C.2.在復平面內，復數(shù) z1i i （其中1x3x1 xi 是虛數(shù)單位），則 AUB3 D. x 2 x 1對應的點位于A第一象限B

2、. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知點 A2， a）為拋物線 y24 x圖象上一點，點 F 為拋物線的焦點，則 AF 等于A.4B. 3C.2 24. 若 x y0 ，則下列各式中一定正確的是11 A.B. tanx tanyC. (1)xxy25. 某三棱錐的三視圖如圖所示，D. 2則該三棱錐最長棱的長度為4 2 3 正（主）視圖左（側）視圖B. 4 2D. 4 3A24B. 127.rr 對于向量 a ， br r r， “ a a b ”是“A充分不必要條件B.必要不充分條件C. 8 D. 6br 0”的C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8. 關于函數(shù) f(x)(x2

3、ax 1)ex 1有以下三個判斷A 2 7C. 2 116. 甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念若老師站在正中間，甲同學不 與老師相鄰，乙同學與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為 函數(shù)恒有兩個零點且兩個零點之積為 -1； 函數(shù)恒有兩個極值點且兩個極值點之積為-1； 若 x 2 是函數(shù)的一個極值點，則函數(shù)極小值為 -1. 其中正確判斷的個數(shù)有A0 個B. 1 個 C. 2 個 D. 3 個第二部分(非選擇題 共 110分) 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5分，共 30分9. 已知向量 a 3, 2 ， b 1,m ，若 a (a b) ，則 m 10. 在公差不為零的等差數(shù)列 a

4、n中， a1=2，且 a1，a3，a7 依次成等比數(shù)列，那么數(shù)列 an的 前 n 項和 Sn 等于.11.已知中心在原點的雙曲線的右焦點坐標為（ 2,0） ，且兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線 的標準方程為12. 在 ABC中， a 3，b 2 6， B 2 A，則 cosB13.已知 a,b,a m均為大于 0 的實數(shù)，給出下列五個論斷：ab ， ab ， m 0 ， m0 ， b m am37以其中的兩個論斷為條件，余下的論斷中選擇一個為結論，請你寫出一個正確的命 題.14. 如圖， 某城市中心花園的邊界是圓心為 O，直徑為 1千米的圓， 花園一側有一條直線型公 路l，花園中間有一條公路 A

5、B（AB是圓 O的直徑），規(guī)劃在公路 l上選兩個點 P，Q，并修 建兩段直線型道路 PB，QA規(guī)劃要求： 道路 PB，QA不穿過花園 已知 OC l ，BD l （ C、D為垂足），測得 OC=0.9， BD=1.2（單位：千米）已知修建道路費用為m元/千米 .在規(guī)劃要求下，修建道路總費用的最小值為元.DC三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題 13 分）已知函數(shù) f （x） 2cos（x ）sin x.）求 f（x）的最小正周期；)求 f(x)在區(qū)間 0, 2 上的最大值和最小值16(本小題 13分)為了解某地區(qū)初中學生的體質健康情況，

6、統(tǒng)計了該地區(qū) 8 所學校學生的體質健康數(shù)據(jù)，按總分評定等級為優(yōu)秀，良好，及格，不及格 . 良好及其以上的比例之和超 過 40% 的學校為先進校 .各等級學生人數(shù)占該校學生總人數(shù)的比例如下表：比例 學校等級學校 A學校 B學校 C學校 D學校 E學校 F學校 G學校 H優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%()從 8 所學校中隨機選出一所學校，求該校為先進校的概率；()從 8所學校中隨機選出兩所學校， 記這兩所學校中不及格比例低于 30%的

7、學校個數(shù)為 X ， 求 X 的分布列；()設 8所學校優(yōu)秀比例的方差為 S12，良好及其以下比例之和的方差為S22，比較 S12與 S22的大小 .(只寫出結果)17(本小題 14 分)如圖，在四棱錐SAD = DAB =90 0， SA=3， SB=5，S-ABCD 中，底面 ABCD 為直角梯形， AD /BC，AB 4， BC 2， AD 1.（ ）求證： AB 平面 SAD；（） 求平面 SCD 與平面 SAB 所成的銳二面角的余弦值；（）點 E，F(xiàn) 分別為線段 BC， SB上的一點，若平面 AEF/平面 SCD， 求三棱錐 B-AEF 的體積 .離心率為 2 ，點2PN 的中點，求

8、nx2 y218（本小題 13 分）已知橢圓 C： 2 2 1（a b 0）的長軸長為 4， a2 b2P 在橢圓 C 上（）求橢圓 C 的標準方程；（）已知點 M （4，0），點 N（0， n），若以 PM 為直徑的圓恰好經過線段的取值范圍19. （本小題 13 分）已知函數(shù) f （x） xsinx cosx（）求曲線 y f （x）在點 （0，f （0）處的切線方程；1（）求函數(shù) g（x） f （x）x2零點的個數(shù) .20. （本小題 14 分）已知項數(shù)為 m（m N*,m 2） 的數(shù)列 an 滿足如下條件：an N*（n 1,2,L ,m） ；a1a2Lam .若數(shù)列bn滿足bn（a1a

9、2Lam）anN*，m1其中 n 1,2,L ,m，則稱 bn 為 an 的“伴隨數(shù)列” .（）數(shù)列 1,3, 5, 7,9 是否存在“伴隨數(shù)列” ，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列” ；若不存在，請說明理由；（）若 bn 為 an的“伴隨數(shù)列” ，證明： b1 b2 L bm；（）已知數(shù)列 an存在“伴隨數(shù)列” bn，且 a1 1，am 2049，求m的最大值 .9通州區(qū) 20192020 學年度第一學期高三年級期末考試數(shù)學試卷參考答案及評分標準2020年 1月、選擇題： （每小題 5 分，共 40 分 .）題號12345678答案AABDCCBC、 填空題（每道小題 5 分，共 30 分）1 2

10、3 2 2 19 5 ； 10 n2 n；11 x2 y2 1 ； 12 ； 13推出（答案不2 2 3唯一還可以推出等） ； 14 2.1三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題 13 分）解：f (x)2cos( x)sin x32( cosx23 sin x)sin x2sin2x2323(1cos2x)sin( 2x)分42) f(x)的最小正周期 T = = 分72)因為 x 0, 2 ，所以 2x 3 3,23，分9所以當 2x,即 x 0 時， f（x）取得最小值 0； 分113311當2x 3 2 ，即 x 512時， f（

11、x）取得最大值 23 1.分1316（本小題 13 分）解：（） 8 所學校中有四所學校學生 的體質健康測試成績達到良好及其以上的比例超過40% ，分1所以從 8 所學校中隨機取出一所學校，該校為先進校的概率為分3） 8 所學校中，學生不及格率低于30%的學校有學校B 、 F、H 三所，所以 X 的取值為分40，1，2.所以 E 為 BC 中點 .15P(X0)CC582514P(X1)C51CC821528P(X 2)C32C82328所以隨機變量 X 的分布列為X012P5153142828() S12=S2217()證明：在 VSAB中，因為 SA 3,AB 4,SB 5 ， 所以 AB

12、 SA.又因為 DAB=900因為 SAI AD A分104分所以 AB 平面 SAD.（）解：因為 SA AD， AB SA， AB AD.建立如圖直角坐標系則 A( 0,0,0) B(0,4,0)， C(2,4,0)， D(1,0,0)，S(0,0,3). 5分 uuur平面 SAB的法向量為 AD (1,0,0) .6分設平面 SDC的法向量為 mr (x,y,z)r uuur所以有 mr gCuuDur 0mr gSD 0即 x 4y 0，x 3z 0令 x 18分所以平面 SDC 的法向量為 mr （1, 1,1）43所以 cosr uuurmgSDr uuurm SD12139分1

13、1分12分（）因為平面 AEF/平面 SCD，平面 AEFI 平面 ABCD=AE ，平面 SCDI 平面 ABCD=CD ， 所以 AECD ，平面 AEFI 平面 SBC=EF ，平面 SCDI 平面 SBC=SC， 所以 FE SC由 AECD ，AD /BC得四邊形 AEDC 為平行四邊形又 FESC ， 所以 F 為 SB 中點.所以 F 到平面 ABE 的距離為 3 ，214分又 VABE 的面積為 2，所以 VB AEF VF ABE 1.18 （本小題 13 分）解：（）由橢圓的長軸長 2a=4，得 a=2又離心率c 22 ，所以所以 b222所以橢圓 C 的方程為； x2y2

14、 1分442（）法一：22設點 P（x0，y0） ，則 x04y0 12所以 PN 的中點 Q（x0 ，y0n）分5222 a2 cMQ （x20 4，y02 n），NP （x0，y0 n）分6因為以 PM 為直徑的圓恰好經過線段 PN 的中點即 (x024)x0(y02n)(y0n) 0 分8222又因為x0y0 1，所以x0 8x0 2 n2 04220所以 n22 x08x02，x0 2，2. 分1022函數(shù) f (x0) x20 8x0 2，x0 2，2的值域為 12，20所以 0 n2 20所以 2 5 n 2 5. 1分3法二：22設點 P(x0，y0) ，則 x40 y20 1設

15、 PN 的中點為 Q因為以 PM 為直徑的圓恰好經過線段 PN 的中點所以 MQ 是線段 PN 的垂直平分線 分7所以 MP MN174)22 y016 n22所以 n2 x0 8x0 2 分1022函數(shù) f (x0) x0 8x0 2，x0 2，2的值域為 12，202所以 0 n1 2 20.所以 2 5 n 2 5. 分13若有其他方法請酌情給分 .19(本小題 13 分)解：()因為 f (x) xcosx ，分1所以 f (0) 0.分2又因為 f (0) 1分3所以曲線 y f (x)在點 (0， f (0) 處的切線方程為 y 1.分412)因為 g(x) f(x) x2為偶函數(shù)

16、， g(0) 14分5所以要求 g(x)在 x R上零點個數(shù)，只需求 g(x)在 x (0, )上零點個數(shù)即可分6分523g(x)x(cosx )2分7分85令g(x) 0，得 x 2k 3 ，x 2k 53 k N所以 g(x)在 (0, )單調遞增，在 ( ,5 )單調遞減，在 (5 ,7 )單調遞增，3 3 3 3 3在 (2k,2k 5 ) 單調遞減，在 (2k ,2k ) 單調遞增 k N3 3 3 3列表得：x0(0,3)3(3,53)53(53,73)737 11 (73 ,113 )113g(x)0+00+00g(x)1極大值極小值極大值極小值5由上表可以看出g(x)在x2k（

17、 k N ）處取得極大值，在 x 2k3( k N )處3分9g( )312036236553125 2g()036236當kN* 且 k 1 時取得極小值分101或 g(x) x 1 x2 ， g(2k413) (2k 3) 1 14(2k3)2 0)1分1所以 g(x)在 x (0, ) 上只有一個零點 . 12分12函數(shù) g(x) f (x) x2(x R) 零點的個數(shù)為 2. 1分3420（本小題 14 分）（）解：數(shù)列 1, 3, 5,7,9 不存在“伴隨數(shù)列” . 分15 1 2所以數(shù)列 1,3, 5,7,9 不存在“伴隨數(shù)列” . 分3)證明：因為 bn 1 bn an an 1 ， 1 n m 1,n N *分4m1又因為 a1 a2 L am ，所以有 an an 1 0所以 bn 1 bn an an 1 0m1分6)1i<j m ，都有 bi bjaj aim1分7所以 b1 b