圓錐曲線中關(guān)于四點共圓的幾個定理

1、圓錐曲線中關(guān)于“四點共圓”的幾個定理浙江省海鹽元濟高級中學（314300） 崔寶法四點共圓在平面幾何里是研究的重點之一，但在平面解析幾何里，較少涉及與圓錐曲線有關(guān)的四點共圓問題。筆者經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)，在圓錐曲線中也有一些關(guān)于四點共圓的定理。下面列出其中幾個，并給出證明。定理1 若橢圓的兩條相交弦與長軸成等角,則兩弦的四個端點共圓.證明：如圖1,設(shè)橢圓方程為,相交弦與長軸所成的角,則.設(shè)直線的方程為,則的方程為. 因為是橢圓與兩直線的交點，所以可設(shè)過四點的二次曲線系方程為:（為參數(shù)）,整理,得 .令=,，可解得,由此可知存在,使得此二次曲線表示一個圓，即一定存在一個圓能經(jīng)過四點.所以四點共圓。 定

2、理2 若一個三角形三邊所在的直線都與拋物線相切，則這個三角形的三個頂點與拋物線的焦點共圓。證明：如圖2，設(shè)拋物線線方程為，焦點為，的三邊所在直線、分別與此拋物線切于點,則三邊所在切線的方程為,即.當時，令，則有.又因為可解得點、的坐標為、，所以,同理,，.,即與互補,故、四點共圓.當中有一個為0（即有一邊切于原點）時，不妨設(shè)，則，此時切線：與切線、的交點分別為、，故，從而有.同理有，因此，四邊形對角互補，故、四點共圓. 定理3 若雙曲線上任一點（異于頂點）處的切線交兩漸近線于兩點,法線交兩坐標軸于兩點,則這四點共圓,且此圓過雙曲線中心.證明：如圖3，設(shè)雙曲線上任意一點的坐標為，則過點的切線方程

3、為,它與漸近線的交點為、.易知點處的法線方程為,它分別與軸、軸交于、., ,從而,. 同理， ,、都在以為直徑的圓上，即、四點共圓.又 ，點也在以為直徑的圓上，即此圓經(jīng)過雙曲線的中心.定理4 若橢圓上任意一點（異于長軸端點）處的切線與長軸兩端點處的兩條切線相交，則所得的兩個交點和橢圓的兩個焦點共圓。證明：如圖4，設(shè)橢圓方程為，則過橢圓上任意一點的切線的方程為，它與軸交于， 與長軸兩端點處的兩切線交于、.，而，、都在以為直徑的圓上，故、四點共圓.定理5 若橢圓上任意一點（異于頂點）處的切線和法線都與短軸所在直線相交，則所得的兩個交點與橢圓的兩個焦點共圓。證明：如圖5，設(shè)橢圓方程為,其上任意一點為

4、，則點處的切線方程為,法線方程為,故它們與短軸所在直線的交點分別為、.從而直線斜率之積為 ,焦點對張直角.同理, 焦點對也張直角.、都在以為直徑的圓上,即、四點共圓. 定理6 若雙曲線上任意一點（異于頂點）處的切線與實軸兩端點處的兩條切線相交，則所得的兩個交點與雙曲線的兩個焦點共圓。證明：如圖6， 設(shè)為雙曲線上的任意一點，則過點的切線為，它與過頂點的兩切線相交于點、，又因為兩切線平行且關(guān)于軸對稱，所以切線與軸的交點是的中點，故=.又因為=，即、四點都在以為圓心的圓上. 定理7 若雙曲線上任意一點(異于頂點)處的切線和法線都與雙曲線虛軸所在直線相交，則所得的兩個交點與雙曲線的兩個焦點共圓.證明：如圖7，設(shè)雙曲線方程為，焦點為，則其上任意一點處的切線與法線方程分別為和，它們與虛軸的交點分別為、，故 ，即.又易知，、都在以為直徑的圓上，即、四點共圓. 值得指出的是,上述的定理4與定理6、定理5與定理7相對于橢圓和雙曲線來說是對偶的，這也反映了