泰勒公式及其應(yīng)用典型例題

1、.泰勒公式及其應(yīng)用常用近似公式，將復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單的一次多項(xiàng)式函數(shù)近似地表示，這是一個(gè)進(jìn)步。當(dāng)然這種近似表示式還較粗糙（尤其當(dāng)較大時(shí)），從下圖可看出。上述近似表達(dá)式至少可在下述兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項(xiàng)式的次數(shù)。2、任何一種近似，應(yīng)告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。將上述兩個(gè)想法作進(jìn)一步地?cái)?shù)學(xué)化：對(duì)復(fù)雜函數(shù)，想找多項(xiàng)式來(lái)近似表示它。自然地，我們希望盡可能多地反映出函數(shù)所具有的性態(tài) 如：在某點(diǎn)處的值與導(dǎo)數(shù)值；我們還關(guān)心的形式如何確定；近似所產(chǎn)生的誤差?！締?wèn)題一】設(shè)在含的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，能否找出一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式.近似?【問(wèn)題二】若問(wèn)題一的解存在，其誤

2、差的表達(dá)式是什么 ?一、【求解問(wèn)題一】問(wèn)題一的求解就是確定多項(xiàng)式的系數(shù)。上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過(guò)程，不難歸納出：.于是， 所求的多項(xiàng)式為：(2)二、【解決問(wèn)題二】泰勒 (Tayler)中值定理若函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可以表示成這里是與之間的某個(gè)值。先用倒推分析法探索證明泰勒中值定理的思路：.這表明：只要對(duì)函數(shù)及在與之間反復(fù)使用次柯西中值定理就有可能完成該定理的證明工作?！咀C明】以與為端點(diǎn)的區(qū)間或記為，。函數(shù)在上具有直至階的導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)在上有直至階的非零導(dǎo)數(shù)，且于是，對(duì)函數(shù)及在上反復(fù)使用次柯西中值定理， 有.三、幾個(gè)概念1、此式稱(chēng)為函數(shù)按的冪次展開(kāi)到階的泰勒公式；或者

3、稱(chēng)之為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開(kāi)式。當(dāng)時(shí)， 泰勒公式變?yōu)檫@正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱(chēng)泰勒公式中的余項(xiàng)。為拉格朗日余項(xiàng) 。2、對(duì)固定的，若有.此式可用作 誤差界的估計(jì) 。故表明： 誤差是當(dāng)時(shí)較高階無(wú)窮小，這一余項(xiàng)表達(dá)式稱(chēng)之為 皮亞諾余項(xiàng) 。3、若，則在與之間，它表示成形式，泰勒公式有較簡(jiǎn)單的形式麥克勞林公式近似公式誤差估計(jì)式【例 1】求的麥克勞林公式。解：.，于是有近似公式其誤差的界為我們有函數(shù)的一些近似表達(dá)式。(1) 、(2) 、(3) 、在 matlab 中再分別作出這些圖象，觀察到它們確實(shí)在逐漸逼近 指數(shù)函數(shù)。【例 2】求的階麥克勞林公式。解：它們的值依次取四個(gè)數(shù)值。.其中：同樣，我們也可給出曲線 的近似曲線如下，并用 matlab 作出它們的圖象?！纠?3】求的麥克勞林展開(kāi)式的前四項(xiàng)，并給出皮亞諾余項(xiàng)。解：于是：.利用泰勒展開(kāi)式求函數(shù)的極限，可以說(shuō)是求極限方法中的 “終極武器”， 使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限?！纠?4】利用泰勒展開(kāi)式再求極限。解：，【注解】現(xiàn)在，我們可以徹