圓的一般方程

1、4.1.2 圓的一般方程圓的一般方程練習(xí)練習(xí)1。點(diǎn)。點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部，則的內(nèi)部，則a的取值的取值 范圍是范圍是 .2.點(diǎn)點(diǎn)P( )與圓與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是 ( ) A 在圓內(nèi)在圓內(nèi) 在圓外在圓外 C 在圓上在圓上 D與與t有關(guān)有關(guān)22211,12tttt 3.已知直線已知直線l1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0求證：對于求證：對于mR,l1,l2的交點(diǎn)的交點(diǎn)P在一個定圓上在一個定圓上 知識回顧知識回顧：(1) 圓的圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圓的圓心和半徑指出下面圓的圓心和半徑：

2、(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：特征：直接看出直接看出圓心圓心與與半徑半徑 x2 y 2DxEyF0 把把圓的圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a)2+(y-b)2=r2展開，得展開，得 22222202= = rbabyaxyx由于由于a,b,r均為常數(shù)均為常數(shù)FrbaEbDa= = = = = = 222,2,2令令結(jié)論：結(jié)論：任何一個圓方程可以寫成下面形式：任何一個圓方程可以寫成下面形式：結(jié)論：結(jié)論：任何一個圓方程可以寫成下面形式：任何一個圓方程可以寫成下面形式： x2 y 2DxEyF0問：是不是任何一個形如是

3、不是任何一個形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示方程表示 的曲線是圓呢？的曲線是圓呢？請舉例請舉例配方可得：配方可得：（3）當(dāng)）當(dāng)D2+E2-4F0時，方程時，方程（1）無實(shí)數(shù)解，所以無實(shí)數(shù)解，所以 不表示任何圖形。不表示任何圖形。把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0（1）當(dāng)）當(dāng)D2+E2-4F0時，表示以（時，表示以（ ） 為圓心，以為圓心，以( ) 為半徑的圓為半徑的圓2,2ED FED42122 （2）當(dāng)）當(dāng)D2+E2-4F=0時，方程只有一組解時，方程只有一組解X=-D/2 y=-E/2，表示一個點(diǎn)（，表示一個點(diǎn)（ ）2,2ED 所以形如所以形如x x2 2 y y 2 2Dx

4、DxEyEyF F0 0 （D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）可表示圓的方程可表示圓的方程22224()()224DEDEFxy=圓的一般方程：圓的一般方程：x2 y 2DxEyF0圓的圓的一般方程一般方程與與標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系：的關(guān)系：（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）（1）a=-D/2，b=-E/2，r= FED42122 沒有沒有xy這樣的二次項(xiàng)這樣的二次項(xiàng)（2）標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程易于看出易于看出圓心圓心與與半徑半徑一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：x2與與y2系數(shù)相同并且不等于系數(shù)相同并且不等于0；練習(xí)：練習(xí)： 判斷下列方程能否表示圓的方程判斷

5、下列方程能否表示圓的方程, 若能寫出圓心與半徑若能寫出圓心與半徑（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）2x2+2y2-12x+4y=0（3）x2+2y2-6x+4y-1=0（4）x2+y2-12x+6y+50=0（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圓心（圓心（1 1，-2-2）半徑）半徑3 3是是圓心（圓心（3 3，-1 -1）半徑）半徑10不是不是不是不是不是不是1、A C 0 圓的一般方程：圓的一般方程：二元二次方程：二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0的關(guān)系的關(guān)系:x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2、B=03、 D2E24

6、AF0 二元二次方程二元二次方程表示圓的一般方程表示圓的一般方程9. 簡單的思考與應(yīng)用(1)已知圓 的圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4,則D,E,F分別等于(2) 是圓的方程的充要條件是(3)圓 與 軸相切,則這個圓截軸所得的弦長是022=FEyDxyx3 , 6, 4)(A3 , 6 , 4)(B3, 6 , 4)(C3, 6, 4)(D)( D0222=ayaxyx21)(aA21)(aB21)(=aC21)(aDD010822=Fyxyxxy6)(A5)(B4)(C3)(DA(4)點(diǎn) 是圓 的一條弦的中點(diǎn),則這條弦所在的直線方程是)5 , 3(A0808422=yxyx08 = yx(1

7、)若已知條件涉及圓心和半徑若已知條件涉及圓心和半徑,我們一般采用我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單.)3, 8(),1, 5(的圓的方程圓心為求過點(diǎn)A08622=yxyx故圓的方程為圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在應(yīng)用上的比較圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在應(yīng)用上的比較練習(xí)：練習(xí)：222)3()8(ryx=設(shè)圓的方程為,13) 1, 5(2=r代入得把點(diǎn)13)3()8(22=yx(2).若已知三點(diǎn)求圓的方程若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常采用圓的一我們常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解般方程用待定系數(shù)法求解. .)8 , 0(),0 , 6(),0 , 0(的圓的方程求過三點(diǎn)CBA08622

8、=yxyx圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運(yùn)用上的比較圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在運(yùn)用上的比較練習(xí)：練習(xí)：022=FEyDxyx設(shè)圓的方程為把點(diǎn)把點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入得方程組的坐標(biāo)代入得方程組0=F0662=FD0882=FE. 8, 6=ED所求圓的方程為：所求圓的方程為：注：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：注：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式。一般式。根據(jù)條件列出關(guān)于，或，根據(jù)條件列出關(guān)于，或，的方程。的方程。解方程組，求出，或，解方程組，求出，或，的值，代入方程，就得到要求的方程的值，代入方程，就得到要求的方程經(jīng)驗(yàn)積累：

9、經(jīng)驗(yàn)積累：變題：變題：ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5)，求其外接圓的方程。，求其外接圓的方程。例例2：已知一曲線是與兩定點(diǎn)：已知一曲線是與兩定點(diǎn)O(0,0)、P(3,0)距離的比為距離的比為1/2的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。并畫出曲線。例例3、當(dāng)、當(dāng)a取不同的非零實(shí)數(shù)時，由方程取不同的非零實(shí)數(shù)時，由方程03322222=aayaxyx可以得到不同的圓：可以得到不同的圓：（1）這些圓的圓心是否都在某一條直線上？）這些圓的圓心是否都在某一條直線上？（2）這些圓是否有公切線？）這些圓是否有公切線？（留后）（留

10、后）例例2 2：已知一曲線是與兩個定點(diǎn)已知一曲線是與兩個定點(diǎn)O(0O(0，0)0)， A(3A(3，0)0)距離的比為距離的比為 的點(diǎn)的軌跡，的點(diǎn)的軌跡， 求此曲線的方程，并畫出曲線。求此曲線的方程，并畫出曲線。12直譯法直譯法yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)22230 xyx=圓的方程圓的方程（x-a)2+(y-b)2=r2X2+y2+Dx+Ey+F=0知知D、E、F知知a、b、rD2+E2 4F0配方配方展開展開1A. 1 B. 14mm 11C. D. 144mmm或例題鞏固：例題鞏固：例方程例方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示表示圓時，圓時，m的取值范圍是的取值

11、范圍是（）（）10. 課堂小結(jié)若知道或涉及圓心和半徑若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單.(1)本節(jié)課的主要內(nèi)容是圓的一般方程,其表達(dá)式為(用配方法求解)(3)給出圓的一般方程,如何求圓心和半徑?=0422022FEDFEyDxyx 配方展開(2)圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程(圓心,半徑)(4)要學(xué)會根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓方程形式:若已知三點(diǎn)求圓的方程若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解法求解. 本節(jié)課用的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法:數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法:(求圓心和半徑求圓心和半徑). (原則是不重復(fù)原則是不重復(fù),不遺漏不遺漏)配方法配方法 () 問題轉(zhuǎn)化和分類討論的思想問題轉(zhuǎn)化和分類討論的思想 (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)()方程的思想方程的思想()數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想1.若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)x,y滿足等式滿足等式(x-2)2+y2=3，那么，那么 的最大值的最大值xy2.已知已知P(2,0),Q(8,0)，點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)到點(diǎn)P的距離是它到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)Q的距離的距離的的1/5，求，求M的軌跡方程，并求軌跡上的點(diǎn)到直線的軌跡方程，并求軌跡上的點(diǎn)到直線l:8x-y-1=0的最小距離的最小距