GM11模型應(yīng)用及殘差修正

1、GM(1,1)預(yù)測(cè)模型應(yīng)用舉例灰色預(yù)測(cè)是基于GM(1,1)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)，按其應(yīng)用的對(duì)象可有四種類型：(1)數(shù)列預(yù)測(cè)。這類預(yù)測(cè)是針對(duì)系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化所進(jìn)行的預(yù)測(cè)。災(zāi)變預(yù)測(cè)。這類預(yù)測(cè)是針對(duì)系統(tǒng)行為的特征值超過某個(gè)闕值的異常值將在何 時(shí)出現(xiàn)的預(yù)測(cè)。季節(jié)災(zāi)變預(yù)測(cè)。若系統(tǒng)行為的特征有異常值出現(xiàn)或某種事件的發(fā)生是在一年 中的某個(gè)特定的時(shí)區(qū)，則該預(yù)測(cè)為季節(jié)性災(zāi)變預(yù)測(cè)。 拓?fù)漕A(yù)測(cè)。這類預(yù)測(cè)是對(duì)一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測(cè)。例1 (數(shù)列預(yù)測(cè))：設(shè)原始序列X (0) = (x(1), x(0) (2), x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5) = (2.874,3.278,3.

2、337,3.390,3.679)試用GM(1,1)模型對(duì)X(0)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，并計(jì)算模擬精度。解：第一步：對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加，得X (1) - (2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：對(duì)X(0)作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)。由；(k)x(0)(k)x(1)(k -1)得 P(3)定0.54,P(4)定 0.36 <0.5, P(5)Z 0.29 <0.5。當(dāng)k>3時(shí)準(zhǔn)光滑條件滿足。第三步：檢驗(yàn)X(1)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。由(k)=x(1)(k)x(1) (k -1)二1 ：(k)得 c (1)(3) ： 1.54，二(4)、1.36,二：1.29當(dāng)k

3、>3時(shí)，仃(k)=1,1.5, 6 <0.5，準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足，故可對(duì)X建立GM(1,1) 模型。第四步：對(duì)X作緊鄰均值生成，得Z三(4.513,7.820,11.184,14.718)于是一一/)(2) z(1)(3) j-z(1)(4) z(1)(5)11111-4.513 1-7.820 11-11.184 1；14.7 1 8 1_丁)(2)【 |x(0)(3) jx(0)(4) 1 (5) 一3.2 7 83.3 3 73.4 9 013.6 7 9第五步：對(duì)參數(shù)列? = a, bT進(jìn)行最小二乘估計(jì)。得c T J T 0.0 37 2?二(BtB) BtY 二 3.0 65

4、 3第六步：確定模型Q0.037* =3.0653 dt及時(shí)間響應(yīng)序列-82.4 0 2 1 5 10(1)(k 1) =(x(1) -P)e'k b =85.276151e°°372k a a第七步：求X(1)的模擬值資=便(1), ?(2),(3),7)(4), 6)(5)(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5 5 5)8第八步：還原求出X(0)的模擬值。由?(0)(k 1) =a(1)?(k 1) =/“(k 1) /"(k)得*(0) = (X(0) (1),?(0) (2),婢(3),姆(4),婷(5) =(2.8

5、7 4,0.2 3 2,0.3 5 4,5.4 8 1,7.6 1 3)6 第九步：檢驗(yàn)誤差。由下表可算出殘差平方和： 誤差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù)(0)/i x (k)模擬數(shù)據(jù)/4)殘差a(k) = x(0)(k)-娉(k)相對(duì)誤差& -科(k)|k 一(0)/1 x (k)23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%平均相對(duì)誤差1.6025%第十步：預(yù)測(cè)X(0)(k 1)?(1) (6) =85.276151e0.0372 5 82.402151

6、 = 20.3063?(0)(6) =3.7505?(1) (7) =85.276151e°.°3726 82.402151 = 24.1 99 1?(0)(7) = 3.8 9 28 . . . . . .例2 (災(zāi)變預(yù)測(cè))：某企業(yè)生產(chǎn)用原料屬受自然災(zāi)害影響較大的農(nóng)產(chǎn)品。一般來 說，自然災(zāi)害的發(fā)生有其偶然性，但對(duì)歷史數(shù)據(jù)的整理，仍可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律性。為 盡量減少生產(chǎn)不受自然災(zāi)害的影響，該企業(yè)希望了解影響原料供應(yīng)的規(guī)律性并提前做 好原料儲(chǔ)備，所收集數(shù)據(jù)見下表，并規(guī)定每畝平均收獲量小于32仃克時(shí)為欠收年份, 將影響原料的正常供應(yīng)，現(xiàn)應(yīng)用灰色災(zāi)變預(yù)測(cè)來預(yù)測(cè)下次發(fā)生欠收的年份。原

7、料收獲統(tǒng)計(jì)表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001200220032004200520062007收獲量(千克)300632540406.2314576587318第一步：將上表中年份用序號(hào)替換，并找出收獲量小于32仃克的年份序號(hào)形成初始序列初0)。本例初始序列：.(0) =(3,8,10,14,17)一次累加生成序列：.=(3,11,21,35,52)與的緊鄰均值生成序列：Z= (7,16,28,43.5)第二步：按Z建GM(1,1)模型。-z(2) z(3)-z

8、(4)-z(1)(5)1【111-7-16-2843.5111%(0) (2) 1 仔(0) (3) 切(0) (4) 60)(5) 一一811014 17 一八(BSBf0鬻1，(t 1) = (0) (t) -be*tb =27.67702e0.25361t -24.67702a a第三步：預(yù)測(cè)當(dāng) t=6 時(shí)，?(1)(6) =73.684?(0)(6) =21.6848因此，下次發(fā)生收獲量小于320千克的年份為：2011年至2012年，即四至五年后 將出現(xiàn)欠收年份。其他預(yù)測(cè)類型見參考書二.殘差GM(1,1)模型當(dāng)GM(1,1)模型精度不符合要求時(shí)，可使用殘差序列建立GM(1,1)模型，對(duì)

9、原來模 型進(jìn)行修正，以提高精度。定義4設(shè)(0)(0)(0)(0) /"=("，-7(2),.,卜，(n)其中，楙)=*(0a)-?(1)(2為*(1)的殘差序列。若存在k0,滿足1 .-k .k0,；(k)的符號(hào)一致；2 .n -k0之4 ,則稱(| ；(0。)|,| ；(0)(k。1)|,.,| ；(0)(n)|) 為可建模殘差尾段，仍記為；(0)=(；(k°), ；(0)(k0 - 1),., ；(0)(n)命題1設(shè)i0) =(J0)(k0)"(0)(k0十1),.,”)(n)為可建模殘差尾段，其一次累加序；(1)=(；(k°),；(k0

10、1),., ；(1)(n)的GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)式為?6(k 1) = ( ；(0)(k0) 一也)e4k*) b-,k -k0a ；a ；則殘差尾段的模擬序列為?(0) =(?(0)他),?(0)(k01),., ?(0)(n)其中?(0) (k1)=(-a；)(；(0)(k0)-5)ef(k“0),k.k0a ；定義5若用？修正父則稱修正后的時(shí)間響應(yīng)式?(1) (k 1)=/ (0)(x(0) b-akb(x (1) )e 一，k ：二 k0a a3)ek2 _a ( ；(0)(k0)匹)e (k-Ha aa .k - k0為殘差修正GM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱殘差GM(1,1)0其中

11、殘差修正值?(0)(k 1) =(-a .)( ；(0)(k0).巴)e3(j)a；的符號(hào)應(yīng)與殘差尾段名(0)的符號(hào)保持一致。定義6若X(0)(k) =?(1)(k) ?(k 1) =(1 ea)(x(0)口拉小口則相應(yīng)的殘差修 a正時(shí)間響應(yīng)式(1-ea)(x(0)(1)-)e"k, k<k0父(k+1)=ba b(1 -ea)(x(0)上*k ±ae(0)(k0) .%)ef0) , k 之k0aasL/稱為累減還原式的殘差修正模型。例題湖北省云夢(mèng)縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為X (0) = (x(0)(1),x(0)(2), x(0)(3),x(0)(4), x(0) (5)

12、, x(0) (6), x(0) (7), x(0) (8),.,x(0) (13)=(6,20,40,25,40,45,35,21,14,18,15.5,17,15)建立GM(1,1)模型，得時(shí)間響應(yīng)式為?(1) (k 1) =-567.999eqO6486k 573.999作累減還原，得義(0) =x>(0)(k)23= (35.6704,33.4303,31.3308,29.3682,27.5192,25.7900,24.1719,22.6534,21.2307,19.8974,18.6478,17.4768)檢驗(yàn)其精度：列出誤差檢驗(yàn)表誤:差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對(duì)誤差x

13、(0)(k)文(k)&(k) =x(0)(k)-(k)a _ |£(k)|k 一 (0)x (k)22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4.3

14、97428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%平均相對(duì)誤差30.11%由此可見，相對(duì)精度不到70%,需采用殘差模型進(jìn)行修正。取。=9,得殘差尾段；(0) = (；(0)(9),；(10), ；(0)(11),；(12), ；(0)(13)= (-8.6 5 3,43.2 3 0,74.39 7,41.6 4 7,82.4 7 6)8此為可建模殘差尾段，去絕對(duì)值，得；(0) =(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立GM(1,1)模型，得/°)的一次累加序列a的時(shí)間響應(yīng)式:

15、?(1)(k - 1) = -24e-0.16855(k-9) - 32.7其導(dǎo)數(shù)還原值為c(0)_0.1 6 8(5<59)_0.1 6 8(3k 59)? (k 1) = (0.16855)(24)e( )=4.0452e( )由及(0)(k +1) = ?(k +1)父(k) =(1ea)(x(0)b)e"k =38.0614e906486k 可得累 a減還原式殘差修正模型為娉(k +1)=38.0614e °06486 k, k ： 938.0614eq06486k 4.0452eJL16855(k") , k _ 9其中，20)(k+1)的符號(hào)與原

16、始?xì)埐钚蛄械姆?hào)一致按此模型，可對(duì)k=10,11,12,1訓(xùn)個(gè)模擬值進(jìn)行休整，修正后的精度如下表: 誤差檢驗(yàn)表廳P實(shí)際數(shù)據(jù) x(0)(k)模擬數(shù)據(jù)X(0)(k)殘差-k) =x(0)(k)-婢(k)相對(duì)誤差a lk)|41.=k x(0)(k)101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相對(duì)誤差4.595%殘差修正GM(1,1)模型的模擬精度得到了明顯提高。因此時(shí)殘差序列已不滿足建 模要求，若對(duì)殘差精度仍不滿意，就只有考慮采用其它模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)

17、行適 當(dāng)取舍。三.GM(1,1)模型群在實(shí)際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模。我們?cè)谠紨?shù)據(jù)序列中取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個(gè)模型。一般來說，去不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也 不一樣，即使都建立同類的GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)a,b的值也不一樣。 這種變化，正是不同情況、不同條件對(duì)系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。例如我國(guó)的 糧食產(chǎn)量，若采用建國(guó)以來的數(shù)據(jù)建立 GM(1,1)模型，發(fā)展系數(shù)-a偏??；而舍去1978 年以前的數(shù)據(jù)，用剩余的數(shù)據(jù)建模，發(fā)展系數(shù)-a明顯增大。定義 1 設(shè)序列 X(0) =(x(o)(1),x(o)(2),.,x(o)(n)將x(0)(n)取為時(shí)間軸的

18、原點(diǎn)，則稱t<n為過去，t=n為現(xiàn)在，t>n為未來。定義 2 設(shè)序列 x(0) =(x(0),x(0),.,x(0)(n) , 50)(k+1) =(1ea)(x(0)B)ek , a為其GM(1,1)時(shí)間相應(yīng)式的累減還原值，則：1 .當(dāng)twn時(shí)，稱欠(0)為模型模擬值；2 .當(dāng)t > n時(shí)，稱父(t)為模型預(yù)測(cè)值。建模的主要目的是預(yù)測(cè)，為提高預(yù)測(cè)精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤 其是t=n時(shí)的模擬精度。因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取為包括x(0)(n)在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列。定義3 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 X(0) =(x(0"1),x(0)(2),.,x(0)(n)1 .用

19、X (0) =(x?1), x(0) (2),., x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù) GM(1,1);2 .Vk0 >1 ,用 X(0) =(x(0)(k0),x(0)(k0 +1),.,x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù) GM(1,1);3 .設(shè)x(0)(n+1)為最新信息,將x(0)(n+1)置入X(0),稱用X(0) =(x(0),x(0)(2),.,x(0)(n),x(0)(n+1)建立的模型為新信息 GM(1,1);4 .置入新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),稱用X(0) =(x(0)(2),.,x(0)(n),x(0)(

20、n+1)建立的模型為新陳代謝 GM(1,1)。很顯然，新信息模型和新陳代謝模型預(yù)測(cè)效果會(huì)更好。任何一個(gè)系統(tǒng)隨著時(shí)間的 推移，將會(huì)不斷地有一些隨機(jī)擾動(dòng)或驅(qū)動(dòng)因素進(jìn)入系統(tǒng)，使系統(tǒng)的發(fā)展受到影響。因 此，在實(shí)際預(yù)測(cè)中，必須不斷地將每一個(gè)新數(shù)據(jù)置入，已考慮到這些隨機(jī)或驅(qū)動(dòng)因素。相比之下，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數(shù)據(jù)的信息意義 將逐步降低，在不斷補(bǔ)充新信息的同時(shí)，及時(shí)地去掉老數(shù)據(jù)，建模序列更能反映系統(tǒng) 在目前的特征。4 .GM(1,1)模型的適用范圍可以證明，當(dāng) GM(1,1)的發(fā)展系數(shù)|a戶2時(shí)，GM(1,1)模型無意義。因此，(-嗎-2 =2,+比)是GM(1,1)發(fā)展系數(shù)a的

21、禁區(qū)。在此區(qū)間，GM(1,1)模型失去意義一般地，當(dāng)|a|<2時(shí)，GM(1,1)模型有意義。但是，隨著a的不同取值，預(yù)測(cè)效果也不同。通過數(shù)值分析，有如下結(jié)論：(1)當(dāng)aM0.3時(shí)，GM(1,1)的1步預(yù)測(cè)精度在98%以上，2步和5步預(yù)測(cè)精度都 在97%以上，可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；(2)當(dāng)0.3<-a W0.5時(shí)，GM(1,1)的1步和2步預(yù)測(cè)精度都在90%以上，10步預(yù)測(cè) 精度也高于80%,可用于短期預(yù)測(cè)，中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)慎用；(3)當(dāng)0.5<-a W0.8時(shí)，GM(1,1)用作短期預(yù)測(cè)應(yīng)十分慎重；(4)當(dāng)0.8<-aM1時(shí)，GM(1,1)的1步預(yù)測(cè)精度已低于70%,應(yīng)采用殘差修正模 型；(5)當(dāng)a>1時(shí)，不宜采用GM(1