專題一------第2講函數(shù)

1、第2講函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)【高考考情解讀】1.高考對(duì)函數(shù)的三要素，函數(shù)的表示方法等內(nèi)容的考查以基礎(chǔ)知識(shí)為主，難度中等偏下.2.函數(shù)圖象和性質(zhì)是歷年高考的重要內(nèi)容，也是熱點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)圖象的考查主要有兩個(gè)方面：一是識(shí)圖，二是用圖，即利用函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題；對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查，則主要是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查，既有具體函數(shù)也有抽象函數(shù)常以填空題的形式考查，且常與新定義問題相結(jié)合，難度較大1 函數(shù)的概念及其表示兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí)才表示同一函數(shù)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)2 函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)

2、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)步驟為取值、作差、判斷符號(hào)、下結(jié)論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則(2)奇偶性：奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性(3)周期性：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)假設(shè)函數(shù)滿足f(ax)f(x)(a不等于0)，則其一個(gè)周期T|a|.3 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩

3、種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)(2)冪函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)>0，<0兩種情況4 熟記對(duì)數(shù)式的五個(gè)運(yùn)算公式loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaN(a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0)提醒：logaMlogaNloga(MN)，logaMlogaNloga(MN)5 與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(1)假設(shè)f(xa)f(xb)(ab)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T|ab|.(2)假設(shè)f(xa)f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T2a.

4、(3)假設(shè)f(xa)或f(xa)，則f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期是T2a.提醒：假設(shè)f(xa)f(xb)(ab)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x對(duì)稱.考點(diǎn)一函數(shù)及其表示例1(1)假設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是_答案(0,1)解析由函數(shù)yf(x)的定義域是0,2得，函數(shù)g(x)有意義的條件為02x2且x>0，x1，故x(0,1)(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在R上有定義，對(duì)于給定的正數(shù)M，定義函數(shù)fM(x)則稱函數(shù)fM(x)為f(x)的“孿生函數(shù)”假設(shè)給定函數(shù)f(x)2x2，M1，則fM(fM(0)的值為_答案1解析由題意，令f(x)2x21，得x±1，因此當(dāng)

5、x1或x1時(shí)，fM(x)2x2；當(dāng)1<x<1時(shí)，fM(x)1，所以fM(0)1，fM(fM(0)fM(1)2121. (1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法假設(shè)已知函數(shù)的解析式，則這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構(gòu)建并解不等式(組)即可，函數(shù)f(g(x)的定義域應(yīng)由不等式ag(x)b解出實(shí)際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)使實(shí)際問題有意義(2)求函數(shù)值時(shí)應(yīng)注意形如f(g(x)的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則；而對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解 (1)假設(shè)函數(shù)f(x)則f(log23)_.(2)已知函數(shù)f(x)則

6、滿足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范圍是_答案(1)24(2)(1，1)解析(1)f(log23)f(log233)f(log224)2log22424.(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x21是增函數(shù)；當(dāng)x<0時(shí)f(x)1，因此由題設(shè)f(1x2)>f(2x)得，或解之得1<x<0或0x<1.故所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1，1)考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)例2(1)已知函數(shù)f(x)x3x，對(duì)任意的m2,2，f(mx2)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為_答案解析f(x)3x21>0，f(x)為增函數(shù)又f(x)為奇函數(shù)，由f(mx2)f(x)<0知，f(

7、mx2)<f(x)mx2<x，即mxx2<0，令g(m)mxx2，由m2,2知g(m)<0恒成立，即，2<x<.(2)設(shè)奇函數(shù)yf(x) (xR)，滿足對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)，且x時(shí)，f(x)x2，則f(3)f的值等于_答案解析根據(jù)對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，進(jìn)而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f0. 函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)

8、的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題 (1)(2013·天津改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增假設(shè)實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是_(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)exa，假設(shè)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最小值是_答案(1)(2)1解析(1)由題意知a>0，又logalog2a1log2a.f(x)是R上的偶函數(shù)，f(log2a)f(log2a)f(loga)f(log2a)f(loga)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即f(

9、log2a)f(1)又因f(x)在0，)上遞增|log2a|1，1log2a1，a.(2)依題意得f(0)0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>e0aa1.假設(shè)函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則有a10，a1，因此實(shí)數(shù)a的最小值是1.考點(diǎn)三函數(shù)的圖象例3形如y(a>0，b>0)的函數(shù)，因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把它稱為“囧函數(shù)”假設(shè)當(dāng)a1，b1時(shí)的“囧函數(shù)”與函數(shù)ylg|x|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則n_.答案4解析由題意知，當(dāng)a1，b1時(shí)，y在同一坐標(biāo)系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)ylg|x|的圖象如下列圖，易知它們有4個(gè)交點(diǎn) (1)作圖：常用描點(diǎn)法和圖象變換法圖象變換法常用的有

10、平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換尤其注意yf(x)與yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及yaf(x)b的相互關(guān)系(2)識(shí)圖：從圖象與軸的交點(diǎn)及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面找準(zhǔn)解析式與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系(3)用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)確實(shí)定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究 (2013·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)假設(shè)|f(x)|ax，則a的取值范圍是_答案2,0解析函數(shù)y|f(x)|的圖象如圖當(dāng)a0時(shí)，|f(x)|ax顯然成立當(dāng)a>0時(shí)，只需在x>0時(shí)，ln(x1)ax成立比較對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)

11、yax的增長速度顯然不存在a>0使ln(x1)ax在x>0上恒成立當(dāng)a<0時(shí)，只需在x<0時(shí)，x22xax成立即ax2成立，a2.綜上所述：2a0.考點(diǎn)四基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)例4(1)假設(shè)函數(shù)f(x)假設(shè)f(a)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)已知a，b，c，則a、b、c大小關(guān)系為_答案(1)(1,0)(1，)(2)a>c>b解析(1)方法一由題意作出yf(x)的圖象如圖顯然當(dāng)a>1或1<a<0時(shí)，滿足f(a)>f(a)方法二對(duì)a分類討論：當(dāng)a>0時(shí)，log2a>loga，即log2a>0，a>

12、;1.當(dāng)a<0時(shí)，log(a)>log2(a)，即log2(a)<0，1<a<0，故1<a<0或a>1.(2)a，b，c5log33，根據(jù)yax且a5，知y是增函數(shù)又log23.4>log33>1,0<log43.6<1，5log23.4>()log30.3>5log43.6，即a>c>b. (1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)，是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力(2)比較指數(shù)函數(shù)值、對(duì)數(shù)函數(shù)值、冪函數(shù)值大小

13、有三種方法：一是根據(jù)同類函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；二是采用中間值0或1等進(jìn)行比較；三是將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，或?qū)⒅笖?shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，通過轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較 (1)(2012·天津)已知a21.2，b0.8，c2log52，則a，b，c的大小關(guān)系為_(2)使log2(x)<x1成立的x的取值范圍是_答案(1)c<b<a(2)(1,0)解析(1)利用中間值判斷大小b0.820.8<21.2a，c2log52log522<log551<20.8b，故c<b<a.(2)作出函數(shù)ylog2(x)及yx1的圖象其中ylog2(x)及ylog2x的圖象關(guān)于y軸

14、對(duì)稱，觀察圖象(如下列圖)知，1<x<0，即x(1,0)也可把原不等式化為后作圖1 判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法(1)能畫出圖象的一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察(2)由基本初等函數(shù)通過加、減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題(3)對(duì)于解析式較復(fù)雜的一般用導(dǎo)數(shù)法(4)對(duì)于抽象函數(shù)一般用定義法2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對(duì)稱性，是函數(shù)的整體特性利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)f(x)3 函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)假設(shè)函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(a

15、x)，即f(x)f(2ax)，則f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱提醒：函數(shù)yf(ax)與yf(ax)的圖象對(duì)稱軸為x0，并非直線xa.(2)假設(shè)f(x)滿足f(ax)f(bx)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(3)假設(shè)函數(shù)yf(x)滿足f(x)2bf(2ax)，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱4 二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個(gè)有機(jī)的整體，要深刻理解它們之間的相互關(guān)系，能用函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想來研究與“三個(gè)二次”有關(guān)的問題，高考對(duì)“三個(gè)二次”知識(shí)的考查往往滲透在其他知識(shí)之中，并且大都出現(xiàn)在解答題中5 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指、對(duì)數(shù)

16、函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù)a的范圍比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小或解對(duì)數(shù)不等式或解對(duì)數(shù)方程時(shí)，一般是構(gòu)造同底的對(duì)數(shù)函數(shù)，假設(shè)底數(shù)不同，可運(yùn)用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，三數(shù)比較大小時(shí)，注意與0比較或與1比較6 解決與本講有關(guān)的問題應(yīng)注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想的運(yùn)用1 關(guān)于x的方程exln x1的實(shí)根個(gè)數(shù)是_答案1解析由原方程可得ln xex.設(shè)y1ln x，y2ex，兩函數(shù)的圖象如下列圖：兩曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有唯一解2 定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)log2x，則不等式f(x)<1的解集是_答案(，2)解析由已知條件可知，當(dāng)x

17、(，0)時(shí)，f(x)log2(x)當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)<1，即為log2x<1，解得0<x<；當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<1，即為log2(x)<1，解得x<2.所以f(x)<1的解集為(，2).3 定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對(duì)xR，有f(x2)f(x)f(1)，且當(dāng)x2,3時(shí)，f(x)2x212x18，假設(shè)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yloga(x1)在x(0，)上至少有三個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案解析f(x2)f(x)f(1)，令x3得f(1)0，f(x2)f(x)，周期T2.x0,1時(shí)，f(x)f(x2)2(x1)2.根據(jù)函數(shù)f(x)的奇

18、偶性與周期性畫出圖象要使yf(x)與yloga(x1)在x(0，)上至少有三個(gè)交點(diǎn)，只須滿足解得0<a<.(推薦時(shí)間：40分鐘)1 已知函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)lg x，則f的值等于_答案lg 2解析當(dāng)x<0時(shí)，x>0，則f(x)lg(x)又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)lg(x)所以flg 2，ff(2)lg 2.2 已知函數(shù)f(x)則“c1”是“函數(shù)f(x)在R上遞增”的_條件答案充分不必要解析當(dāng)c1時(shí)，易知f(x)在R上遞增；反之，假設(shè)f(x)在R上遞增，則需有1c0，即c1.所以“c1”是“函數(shù)f

19、(x)在R上遞增”的充分不必要條件3 (2013·課標(biāo)全國改編)設(shè)alog36，blog510，clog714，則a、b、c的大小關(guān)系為_答案a>b>c解析設(shè)alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，顯然a>b>c.4 設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)2x4(x0)，則x|f(x2)>0_.答案x|x<0或x>4解析由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，因此有f(|x|)f(x)，不等式f(x2)>0，即f(|x2|)>0，f(|x2|)2|x2|4>0，|x2|>2，即x2<2或x

20、2>2，由此解得x<0或x>4.于是有x|f(x2)>0x|x<0或x>45 設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_答案1解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化簡得x(exex)(a1)0.因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a1.6 設(shè)函數(shù)f(x)x|xa|，假設(shè)對(duì)任意的x1，x22，)，x1x2，不等式>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案a2解析f(x)如圖，作出函數(shù)圖象，當(dāng)a變化時(shí)，易得a的取值范圍為a2.7 已知f(x)asin xb4(a，bR)，且flg(log21

21、0)5，則flg(lg 2)_.答案3解析lg(log210)lg(lg 2)，f(x)asin(x)b4(asin xb)4.又flg(log210)5，flg(lg 2)4543.8 設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.假設(shè)ff，則a3b的值為_答案10解析因?yàn)閒(x)的周期為2，所以fff，即ff.又因?yàn)閒a1，f，所以a1.整理，得a(b1)又因?yàn)閒(1)f(1)，所以a1，即b2a.將代入，得a2，b4.所以a3b23×(4)10.9 直線y1與曲線yx2|x|a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案1<a<解析yx2|x|

22、a是偶函數(shù)，圖象如下列圖由圖象可知直線y1與曲線yx2|x|a有四個(gè)交點(diǎn)需滿足a<1<a，1<a<.10已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式ab，以下五個(gè)關(guān)系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有_(填序號(hào))答案解析函數(shù)y1x與y2x的圖象如下列圖由ab得，a<b<0或0<b<a或ab0.故可能成立，不可能成立11已知奇函數(shù)f(x)給出以下結(jié)論：f(f(1)1；函數(shù)yf(x)有三個(gè)零點(diǎn)；f(x)的遞增區(qū)間是1，)；直線x1是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸；函數(shù)yf(x1)2圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn)(1,2)其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))答案解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以x<0時(shí)，f(x)x22x，即f(x)x22x.可求得a1，b2.即f(x)f(f(1)f(1)f(1)1，正確；易知f(x)的三個(gè)零點(diǎn)是2,0,2，正確；當(dāng)x(，1時(shí)，f(x)也單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；由奇函數(shù)圖象的特點(diǎn)知，題中的函數(shù)f(x)無對(duì)稱軸，錯(cuò)誤；奇函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)yf(x1)2圖象的對(duì)稱中心應(yīng)是點(diǎn)(1,2)，