專題七-函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)、恒成立問題

1、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)問題 例1、 已知函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間一1，1上的減函數(shù) (I)求a的值； (II) 假設(shè)在x一1，1上恒成立，求t的取值范圍 () 討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)。變式1、假設(shè)問是否存在實(shí)數(shù)m，使得y= fx=的圖象與y=gx的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在，說明理由.變式2、已知函數(shù)f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？假設(shè)存在，求出m的取值范圍；，假設(shè)不存在，說明理由。例2、已知函數(shù)f(x)=ax3+

2、bx23x在x=±1處取得極值. 求函數(shù)f(x)的解析式； 求證：對于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； 假設(shè)過點(diǎn)A1，mm2可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式3奇函數(shù)的圖象E過點(diǎn)兩點(diǎn). 1求的表達(dá)式； 2求的單調(diào)區(qū)間； 3假設(shè)方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍.例3已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。I求的解析式；II是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？假設(shè)存在，求出的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由。變式4已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn). 求a； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 假設(shè)的圖象與x軸有且只

3、有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.例4已知函數(shù) 假設(shè)，求的極大值； 假設(shè)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.變式5、已知兩個(gè)二次函數(shù)：與，函數(shù)ygx的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為1試證：在1，1上是單調(diào)函數(shù)2當(dāng)>1時(shí)，設(shè)，是方程的兩實(shí)根，且，試判斷，的大小關(guān)系變式6 設(shè)函數(shù)其中 1求函數(shù)的最值； 2判斷，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)。函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)問題答案 例1、解：I是奇函數(shù)，則恒成立. II又在1，1上單調(diào)遞減，令則. III由I知令，當(dāng)上為增函數(shù)；上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，而，、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如下列圖，當(dāng)時(shí)，方程無解. 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根. 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)

4、根.變式1、令因?yàn)閤0，要使函數(shù)fx與函數(shù)gx有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)x0，1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)x1，3時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)x3，+時(shí)，是增函數(shù)當(dāng)x=1或x=3時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，當(dāng)所以要使有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須即m=7或當(dāng)m=7或時(shí)，函數(shù)fx與gx的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)。變式2、解：I當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，綜上，II函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)或時(shí)，當(dāng)充分接近0時(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，要使的圖象與軸正半軸

5、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須即所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為 例2解：If(x)=3ax2+2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0， 即 解得a=1，b=0. f(x)=x33x. IIf(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)<0，故f(x)在區(qū)間1，1上為減函數(shù)，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=2對于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=4

6、IIIf(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲線方程為y=x33x，點(diǎn)A1，m不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為Mx0，y0，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.過點(diǎn)A1，m可作曲線的三條切線，關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.設(shè)g(x0)= ，則g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在，0，1，+上單調(diào)遞增，在0，1上單調(diào)遞減.函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得3<m<2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是3<m<2變式3解：1為奇函數(shù)圖象過點(diǎn)、2的增區(qū)間是，減區(qū)間是1，13為使方程有三個(gè)不等根，則

7、的取值范圍是2，2例3、解：I是二次函數(shù)，且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知，得II方程等價(jià)于方程設(shè)則當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。變式4解： 由知由由函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1，3 由可知函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù)在1，3單調(diào)遞減函數(shù)在3，+單調(diào)遞增當(dāng)x=1或x=3時(shí)，要使的圖象與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只須即例4解：定義域?yàn)?令 由由 即上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值 的定義域?yàn)?0+) 由G (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知：在(0+)內(nèi)恒成

8、立 令，則 由當(dāng)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)時(shí) 為減函數(shù) 當(dāng)x = e時(shí)，H(x)取最大值故只需恒成立，又當(dāng)時(shí)，只有一點(diǎn)x = e使得不影響其單調(diào)性變式51的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即有，有或，或即或于是二次函數(shù)圖像的對稱軸在1，1的左側(cè)或右側(cè)，故 在1，1上是單調(diào)函數(shù)2是方程的兩個(gè)實(shí)根故有，又 當(dāng)時(shí)，的圖像開口向上，與軸的兩相交點(diǎn)為13分而點(diǎn)，在x軸下方，有變式6解：1在上連續(xù)，令，得。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以，當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值。由知無最大值。 2函數(shù)在上連續(xù)。而令則在上遞增。由得，即，又根據(jù)定理，可判斷函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)。恒成立問題1江蘇卷設(shè)a、b、c是互不相

9、等的正數(shù)，則以下等式中不恒成立的是ABCD【思路點(diǎn)撥】此題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論?！菊_解答】運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)，當(dāng)a-b<0時(shí)不成立。【解后反思】運(yùn)用公式一定要注意公式成立的條件如果如果a,b是正數(shù)，那么2(陜西卷)已知不等式(x+y)( + )9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為( )A.2 B.4 C.6 D.8解析：不等式(x+y)()9對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則9， 2或4(舍去)，所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4，選B3(上海卷)三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”

10、提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 解：由25|5|，而，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；且，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；所以，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；故；4.江西卷假設(shè)不等式x2ax1³0對于一切xÎ0，成立，則a的取值范圍是 A0 B. 2 C.- D.-3解：設(shè)fxx2ax1，則對稱軸為x假設(shè)³，即a£1時(shí)，則fx在0，上是減函數(shù)，應(yīng)有f³0

11、22;£a£1假設(shè)£0，即a³0時(shí)，則fx在0，上是增函數(shù)，應(yīng)有f01>0恒成立，故a³0假設(shè)0££，即1£a£0，則應(yīng)有f恒成立，故1£a£0綜上，有£a故選C5全國II設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，假設(shè)對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， (i)當(dāng)a1時(shí)，對所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對x0，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，對于所有x0，都有f(x)ax (ii)當(dāng)a1時(shí)，對于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，不是對所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是，1 解法二：令g(