專題一：等腰三角形的存在性問題

1、專題訓練一 等腰三角形的存在性問題專題攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況。已知腰長兩定一動：分別以兩腰的頂點為圓心，腰長為半徑畫圓；已知底邊兩定一動：畫底邊的垂直平分線。解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結合，可以使得解題又好又快。幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算。代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗。針對訓練1、如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點D在坐標為(3，4)，點P是x軸正半軸上的一個動點，如果DOP是等腰三角形，求點P的坐標。 2、 如圖，直線y=3x+3交x軸于A點，交y軸于B點,過A、B兩

2、點的拋物線交x軸于另一點C3,0).(1)、求A、B的坐標;(2)、求拋物線的解析式;(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使ABQ是等腰三角形?假設存在,求出符合條件的Q點坐標；假設不存在,請說明理由.3、如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，動點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動。在P、Q兩點移動過程中，當PQC為等腰三角形時，求t的值。 4、如圖，直線y2x2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q，如果APQ

3、是等腰三角形，求點P的坐標 ABCDPE5、如下列圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=4，點E是折線段ADC上的一個動點點E與點A不重合，點P是點A關于BE的對稱點在點E運動的過程中，使PCB為等腰三角形的點E的位置共有 個。A、2 B、3 C、4 D、5 6、如圖，在ABC中，ABAC10，BC16，DE4動線段DE端點D從點B開始沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止過點E作EF/AC交AB于點F當點E與點C重合時，EF與CA重合，聯(lián)結DF，設運動的時間為t秒t01直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；2在這個運動過程中，DEF能否為等腰三角形？假設能

4、，請求出t的值；假設不能，請說明理由；3設M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積 7、如圖，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置1求點B的坐標；2求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；3在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？假設存在，求點P的坐標；假設不存在，請說明理由 511湖州24如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線段OC上一動點C點除外，直線PM交AB的延長線于點D1求點D的坐標用含m的代數(shù)式表示；2當APD是等腰

5、三角形時，求m的值；3設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H如圖2當點P從O向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經(jīng)過的路長不必寫解答過程 圖1 圖2610南通27如圖，在矩形ABCD中，ABmm是大于0的常數(shù)，BC8，E為線段BC上的動點不與B、C重合連結DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CE=x，BFy1求y關于x的函數(shù)關系式； 2假設m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？3假設，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？ 兩年模擬72012年福州市初中畢業(yè)班質量檢查第21題如圖，在ABC中，ABAC10，BC16，DE4動線段

6、DE端點D從點B開始沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止過點E作EF/AC交AB于點F當點E與點C重合時，EF與CA重合，聯(lián)結DF，設運動的時間為t秒t01直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；2在這個運動過程中，DEF能否為等腰三角形？假設能，請求出t的值；假設不能，請說明理由；3設M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積 8寧波七中2012屆保送生推薦考試第26題如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB3，BC，直線y經(jīng)過點C，交y軸于點G1點C、D的坐標分別是C ，D ；2求頂點在直線y上且經(jīng)過點

7、C、D的拋物線的解析式；3將2中的拋物線沿直線y平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E頂點在y軸右側平移后是否存在這樣的拋物線，使EFG為等腰三角形？假設存在，請求出此時拋物線的解析式；假設不存在，請說明理由 自編原創(chuàng)9如圖，已知ABC中，ABAC6，BC8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，ADEB設BD的長為x，CE的長為y1當D為BC的中點時，求CE的長；2求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；3如果ADE為等腰三角形，求x的值 備用圖 備用圖參考答案:1因為D3，4，所以OD5，如圖1，當PDPO時，作PEOD于E在RtOPE中，所以此時點P的坐標為如圖2，當OPO

8、D5時，點P的坐標為(5，0)如圖3，當DODP時，點D在OP的垂直平分線上，此時點P的坐標為(6，0) 第1題圖1 第1題圖2 第1題圖32在RtABC中，.因此.在PQC中，CQt，CP102t. 第2題圖1 第2題圖2 第2題圖3如圖1，當時，解得(秒).如圖2，當時，過點Q作QMAC于M，則CM.在RtQMC中，解得(秒).如圖3，當時，過點P作PNBC于N，則CN.在RtPNC中，解得(秒).綜上所述，當t為時，PQC為等腰三角形.3由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以OA1，OB2如圖，由AOBQOP得，OPOQOBOA21設點Q的坐標為(0，m)，那么點P的坐標為(2m，

9、0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2當APAQ時，AP2AQ2，解方程(2m1)2m21，得或所以符合條件的點P不存在當PAPQ時，PA2PQ2，解方程(2m1)25m2，得所以當QAQP時，QA2QP2，解方程m215m2，得所以 第3題圖412臨沂261如圖，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為2因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得 所以拋物線的解析式為3拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以4+y

10、216解得當P在時，B、O、P三點共線當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為 第4題圖511湖州241因為PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標為(2，4m)2在APD中，當APAD時，解得如圖1當PAPD時，解得如圖2或不合題意，舍去當DADP時，解得如圖3或不合題意，舍去綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為，或 第5題圖1 第5題圖2 第5題圖3另解第2題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖1，當APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖2，當PAPD時，P在

11、AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得3點H所經(jīng)過的路徑長為思路是這樣的：如圖4，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以OM為直徑的G經(jīng)過點H，也就是說點H在圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖5，P與O重合時，是點H運動的起點，COH45°，CGH90°第5題圖4 第5題圖610南通27(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關于x的函數(shù)關系為(2)如圖1，當m8時，因此當x4時，y取得最大值為2(3) 假設，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DC

12、EEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6如圖2；將xy 6代入，得m2如圖3 第6題圖1 第6題圖2 第6題圖371， 2DEF中，DEFC是確定的如圖1，當DEDF時，即解得如圖2，當EDEF時，解得如圖3，當FDFE時，即解得，即D與B重合第7題圖1 第7題圖2 第7題圖33MN是FDE的中位線，MN/DE，MN2，MN掃過的形狀是平行四邊形如圖4，運動結束，N在AC的中點，N到BC的距離為3；如圖5，運動開始，D與B重合，M到BC的距離為所以平行四邊形的高為，面積為 第7題圖4 第7題圖581， 2頂點E在AB的垂直平分線上，橫坐標為，代入直線y，得設拋物線的解析式為，代入點，可得所以物線的解析式為 3由頂點E在直線y上， 可知點G的坐標為，直線與y軸正半軸的夾角為30°， 即EGF30°設點E的坐標為，那么EG2m，平移后的拋物線為所以點F的坐標為如圖1，當GEGF時，yFyGGE2m，所以解得m0或m0時頂點E在y軸上，不符合題意此時拋物線的解析式為如圖2，當EFEG時，F(xiàn)G，所以解得m0或此時拋物線的解析式為當頂點E在y軸右側時，F(xiàn)EG為鈍角，因此不存在FEFG的情況第8題圖1 第8題圖291當D為BC的中點時，