自動控制第4講-第三章 控制系統(tǒng)的時域分析

1、第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的時域分析本章教學要求 熟悉典型輸入信號：單位階躍信號、單位脈沖信號等。 正確理解時域響應的性能指標（%、tr、ts、ess）。 掌握一階系統(tǒng)的數(shù)學模型和階躍響應的特點，并能熟練計算性能指標和結構參數(shù)。 掌握二階系統(tǒng)的數(shù)學模型和階躍響應的特點，并能熟練計算性能指標（欠阻尼）和結構參數(shù)。 了解高階系統(tǒng)的時域分析。 掌握采用MATLAB工具軟件求解連續(xù)系統(tǒng)的時域響應。 掌握系統(tǒng)的穩(wěn)定性能判斷和穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法?？刂葡到y(tǒng)的分析方法第一步第一步 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型第二步第二步 分析控制性能分析控制性能用數(shù)學描述方法對控制系用數(shù)學描述方法對控制系統(tǒng)進行描述

2、，統(tǒng)進行描述，微分方程微分方程、傳、傳遞函數(shù)、動態(tài)結構圖遞函數(shù)、動態(tài)結構圖在數(shù)學模型的基礎上，考在數(shù)學模型的基礎上，考查和研究控制查和研究控制 系統(tǒng)的運動系統(tǒng)的運動規(guī)律和性能。規(guī)律和性能。 分析方法：分析方法：時域分析、根時域分析、根軌跡分析、頻軌跡分析、頻域分析域分析每種方法，各有千秋。均有他們每種方法，各有千秋。均有他們的適用范圍和對象。的適用范圍和對象。什么樣的控制系統(tǒng)是符合要求的？什么樣的控制系統(tǒng)是符合要求的？只有穩(wěn)定系統(tǒng)，進行系統(tǒng)特性分析才有意義。只有穩(wěn)定系統(tǒng)，進行系統(tǒng)特性分析才有意義。 如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動或輸入信號的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一平衡狀態(tài)上。 如果線性定常控

3、制系統(tǒng)受到擾動量的作用后，輸出量最終又達到它的平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果擾動量作用后，輸出量顯現(xiàn)為持續(xù)的振蕩過程或輸出量無限制的偏離其平衡狀態(tài)，那么系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)不穩(wěn)定產(chǎn)生的后果?什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的？什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的？3-1 控制系統(tǒng)的性能指標控制系統(tǒng)的性能指標 動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標 動態(tài)過程（過渡過程、 瞬態(tài)過程） 指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因。系統(tǒng)輸出量不可能完全復現(xiàn)輸入量變化。動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散、等幅振蕩等形式。用動態(tài)性能指標來描述 穩(wěn)態(tài)過程 是指當t趨近于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)，表征系統(tǒng)輸入量

4、最終復現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息。用穩(wěn)態(tài)性能來描述動態(tài)性能指標延遲時間 ：響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%的時間。上升時間響應從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%。（單調(diào)）從運動開始上升到穩(wěn)態(tài)值的時間（振蕩收斂）dt:rt峰值時間 ：達到過調(diào)量的第一個峰值pt0tMp超調(diào)量允許誤差10.90.50.1trtpts圖3-2表示性能指標td,tr,tp,Mp和ts的單位階躍響應曲線tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(htr調(diào)節(jié)時間 ts：響應達到并保持在一個允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時間。超調(diào)量Mp:最大偏離量h(tp)與終值之差的百分比，即 %100)()()(hhthM

5、pP 穩(wěn)態(tài)性能指標-穩(wěn)態(tài)誤差ess 穩(wěn)態(tài)誤差是當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)希望的輸出與實際的輸出之差。)()()(tctrte誤差的數(shù)學表達式為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為)(limteetssess-描述了系統(tǒng)的準確性。rt或pt評價系統(tǒng)的響應速度；st同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。PM評價系統(tǒng)的阻尼程度，平穩(wěn)性。3-2 時域分析的一般方法時域分析的一般方法 R(s)G(s)C(s) 一般系統(tǒng)的結構圖一般系統(tǒng)的結構圖)()()()()(1sCLtcsRsGsC 采用什么樣的輸入信號來分析和比較系統(tǒng)的性能指標？采用什么樣的輸入信號來分析和比較系統(tǒng)的性能指標？3-23-2基本實驗信號基本實驗信號考查系

6、統(tǒng)在脈沖擾考查系統(tǒng)在脈沖擾動后的復位運動。動后的復位運動。1)(tL單位脈沖信號單位脈沖信號 (t)t0單位階躍信號單位階躍信號11(t)t0考查系統(tǒng)對于恒值考查系統(tǒng)對于恒值信號的跟蹤能力。信號的跟蹤能力。stL1)( 1 單位斜坡信號單位斜坡信號0tt21)( 1sttL考查系統(tǒng)對于等速考查系統(tǒng)對于等速率信號的跟蹤能力。率信號的跟蹤能力。c(t)c(t) (t)(t)0 0系統(tǒng)的脈沖響應系統(tǒng)的脈沖響應t t 系統(tǒng)的階躍響應系統(tǒng)的階躍響應c(t)1(t)t0 系統(tǒng)的斜坡響應系統(tǒng)的斜坡響應 tc(t)t0 為什么要采用單位階躍響應來表征控制系統(tǒng)的性能為什么要采用單位階躍響應來表征控制系統(tǒng)的性能指

7、標？指標？其響應特征的量將涉及系統(tǒng)下述三方面的性能：其響應特征的量將涉及系統(tǒng)下述三方面的性能：輸入突變時的快速性；輸入突變時的快速性；響應過程中的平穩(wěn)性；響應過程中的平穩(wěn)性；系統(tǒng)從開始動作到建立起新的穩(wěn)態(tài)所需的時間。系統(tǒng)從開始動作到建立起新的穩(wěn)態(tài)所需的時間。 通常，控制系統(tǒng)的性能指標，系統(tǒng)在初使條件為零通常，控制系統(tǒng)的性能指標，系統(tǒng)在初使條件為零對（單位）階躍輸入信號的瞬態(tài)響應。對（單位）階躍輸入信號的瞬態(tài)響應。 各種響應間的關系各種響應間的關系)()()1)()()(111tCdtdssCLssGsLsGLtCstepsteppulse 根據(jù)拉氏變換的微分定理，系統(tǒng)響應滿足根據(jù)拉氏變換的微分

8、定理，系統(tǒng)響應滿足)(dd)(dd)(22tcttcttcslopesteppulsecpulse(t)脈沖響應積分階躍響應積分斜坡響應微分微分cstep(t)cslope(t)系統(tǒng)的三種響應之間的關系系統(tǒng)的三種響應之間的關系3-2 一階系統(tǒng)分析一階系統(tǒng)分析 微分方程為微分方程為)()(d)(dtrtcttcT傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為11)()()(TssRsCsG其中，其中，T-一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。一階系統(tǒng)的方塊圖如下。一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。一階系統(tǒng)的方塊圖如下。R(s)11TsC(s) 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)R(s)C(s)Ts1+_單位反饋一階系統(tǒng)單位反饋一階系統(tǒng)3-2-1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應一

9、階系統(tǒng)的單位階躍響應)( 1)(ttrssR1)(TsssTssRsGsCssR111111)()()(/ 1)(0,1)()(1tesCLtcTt一階系統(tǒng)的單位階躍響應為一階系統(tǒng)的單位階躍響應為響應曲線單調(diào)上升；響應曲線單調(diào)上升；c(t),穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 r( )=1；在初始時刻在初始時刻t=0時，系時，系統(tǒng)運動統(tǒng)運動c(t)有最大的變有最大的變化率化率1/T 性能指標分析性能指標分析快速性快速性(只考慮只考慮ts)2,45,3TTts平穩(wěn)性好平穩(wěn)性好 Mp=0 (即無超調(diào)量）即無超調(diào)量）準確性好準確性好1)()( rtc結論：對于一階慣性系統(tǒng)，可以不求系統(tǒng)的時間解，而結論：對于一階慣性系統(tǒng)，

10、可以不求系統(tǒng)的時間解，而 根據(jù)根據(jù) 系統(tǒng)的唯一特征參數(shù)（時間常數(shù)系統(tǒng)的唯一特征參數(shù)（時間常數(shù)T），）， 就可以完成系就可以完成系 統(tǒng)分析。統(tǒng)分析。 例例:Ki=0.1計算該系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間計算該系統(tǒng)單位階躍響應的調(diào)節(jié)時間ts。若要單位階躍響應若要單位階躍響應ts0.1sec，確定反饋系數(shù)？確定反饋系數(shù)？ 解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為1200112001200)(sKiKisKissGsKiT2001 故時間常數(shù)故時間常數(shù)T為為2sec,2.045sec,15.03TtTtss當當Ki=0.1若要若要ts0.1sec，則，則sKiTts1 . 02003315. 0

11、Ki3-2-2 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應一階系統(tǒng)的單位脈沖響應)()(ttrTsTTssGsRsGsCsR/11111)()()()(1)(0,1)()(1teTsGLtcTt1)(sR 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應的曲線如圖所示。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應的曲線如圖所示。 由響應曲線可以看出，響應曲線是由響應曲線可以看出，響應曲線是單調(diào)下降的。當單調(diào)下降的。當t=0時，響應為最大值時，響應為最大值TeTctcttT11)0()(01max 當當t 時，響應曲線的幅值衰減到零，即時，響應曲線的幅值衰減到零，即0)(c并且，當并且，當給定時，調(diào)節(jié)時間給定時，調(diào)節(jié)時間ts的計算與單位階躍響應相的計算與單位階躍

12、響應相同。同。結論：一階慣性系統(tǒng)對于脈沖擾動信號，具有自動調(diào)節(jié)結論：一階慣性系統(tǒng)對于脈沖擾動信號，具有自動調(diào)節(jié) 能力。經(jīng)過有限時間能力。經(jīng)過有限時間ts后，可以使得脈沖式擾動信后，可以使得脈沖式擾動信 號對于系統(tǒng)的影響衰減到允許的誤差范圍內(nèi)。號對于系統(tǒng)的影響衰減到允許的誤差范圍內(nèi)。3-2-3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應一階系統(tǒng)的單位斜坡響應ttr)(21)(ssRTsTsTssTssRsGsCssR/11111)()()(22/1)(20,)()(1tTeTtsCLtcTt時域響應為時域響應為結論：一階系統(tǒng)可以跟蹤結論：一階系統(tǒng)可以跟蹤斜坡信號，但只能實現(xiàn)有斜坡信號，但只能實現(xiàn)有差跟蹤，差跟蹤，

13、可以通過減小時可以通過減小時間常數(shù)間常數(shù)T來減小差值，但來減小差值，但不能消除它。不能消除它。 綜上所述，一階系統(tǒng)只有一個系統(tǒng)特征參數(shù)（時間常綜上所述，一階系統(tǒng)只有一個系統(tǒng)特征參數(shù)（時間常數(shù)數(shù)T）。）。 一階系統(tǒng)在脈沖擾動作用下，可以實現(xiàn)自動調(diào)節(jié)，將一階系統(tǒng)在脈沖擾動作用下，可以實現(xiàn)自動調(diào)節(jié)，將擾動的影響盡快地衰減。擾動的影響盡快地衰減。 一階系統(tǒng)可以跟蹤階躍信號，使系統(tǒng)的輸出在調(diào)節(jié)時一階系統(tǒng)可以跟蹤階躍信號，使系統(tǒng)的輸出在調(diào)節(jié)時間內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)值。間內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)值。 一階系統(tǒng)也可以跟蹤斜坡信號，實現(xiàn)有差跟蹤，但是一階系統(tǒng)也可以跟蹤斜坡信號，實現(xiàn)有差跟蹤，但是不能消除跟蹤誤差。不能消除跟蹤誤差。3-

14、3 二階系統(tǒng)分析二階系統(tǒng)分析)2(2nnss+_R(s)C(s) 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為)2()(2nnosssG閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為2222)(nnncsssG 二階系統(tǒng)的標準結構圖如圖所示。二階系統(tǒng)的標準結構圖如圖所示。 閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式等于零的代閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式等于零的代數(shù)方程稱為二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即數(shù)方程稱為二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，即0222nnss則其特征根為：則其特征根為：122, 1nns兩個特征參數(shù)兩個特征參數(shù) 和和 n，可以用來描述系統(tǒng)的性能可以用來描述系統(tǒng)的性能 -二階系統(tǒng)的阻尼比；二階系統(tǒng)的阻尼比； n-二階系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率二階系統(tǒng)

15、的無阻尼振蕩頻率(rad/sec)。阻尼比阻尼比 不同取值時特征根在不同取值時特征根在s平面上的位置平面上的位置3-3-2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)的單位階躍響應 當阻尼比當阻尼比 取不同值時，由于二階系統(tǒng)的特征根在取不同值時，由于二階系統(tǒng)的特征根在s平平面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應面上的位置不同，二階系統(tǒng)的時間響應c(t)也就不同。也就不同。ssssRsGsCnnnc12)()()(222二階系統(tǒng)的單位階躍響應的拉氏變換為二階系統(tǒng)的單位階躍響應的拉氏變換為)()(1sCLtc二階系統(tǒng)的單位階躍響應為二階系統(tǒng)的單位階躍響應為 1、過阻尼系統(tǒng)、過阻尼系統(tǒng)( 1)122, 1nns 特

16、征根為兩個不相等的負實根，即特征根為兩個不相等的負實根，即)1(121nT)1(122nT其中其中212121111)1)(1(1)()()(TscTsbsasTsTsTTsRsGsCc輸出響應為輸出響應為系統(tǒng)為過阻尼時，可等效為兩個一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)系統(tǒng)為過阻尼時，可等效為兩個一階慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)0,11111)()(2121121teTTeTTsCLtcTtTt 時間響應為時間響應為0tst1(t)c(t) 響應響應c(t) ：第一項是穩(wěn)態(tài)項，后面兩個指數(shù)項為暫態(tài)項：第一項是穩(wěn)態(tài)項，后面兩個指數(shù)項為暫態(tài)項 1）響應曲線單調(diào)上升，無超調(diào)量，穩(wěn)態(tài)誤差為零）響應曲線單調(diào)上升，無超調(diào)量，穩(wěn)態(tài)誤差為零

17、 2）有兩項指數(shù)衰減型的暫態(tài)分量，上升較慢。）有兩項指數(shù)衰減型的暫態(tài)分量，上升較慢。 3）當當T2T1時，時，c(t)可近似為可近似為一階系統(tǒng)的一階系統(tǒng)的時間響應時間響應0,1)(1tetcTt2,45,311TTts 2 2、臨界阻尼系統(tǒng)、臨界阻尼系統(tǒng)( ( =1)=1)ns2, 1 特征根為兩個相等的負實根，即特征根為兩個相等的負實根，即nnnnncssssssRsGsC1)(11)()()()(222輸出響應輸出響應0,1)()(1tetesCLtcttnnn時間響應為時間響應為 時間響應時間響應c(t)：第一項是穩(wěn)態(tài)項，后面兩項為暫態(tài)項。：第一項是穩(wěn)態(tài)項，后面兩項為暫態(tài)項。ttsc(t

18、)1(t)0 與過阻尼系統(tǒng)相比，調(diào)節(jié)時間要短一些，快速性要好一些。與過阻尼系統(tǒng)相比，調(diào)節(jié)時間要短一些，快速性要好一些。由由c(t) 表達式，計算得到表達式，計算得到臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts：5,5nst 3 3、欠阻尼系統(tǒng)、欠阻尼系統(tǒng)(0(0 1)11， 過阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng), , 調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間t ts s最長，無超調(diào)。最長，無超調(diào)。 = =1 1， 臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng), , 無超調(diào)量，且響應速度比過阻尼系統(tǒng)要快。無超調(diào)量，且響應速度比過阻尼系統(tǒng)要快。 =0=0， 無阻尼系統(tǒng)，曲線是等幅振蕩。無阻尼系統(tǒng)，曲線是等幅振蕩。00 11，欠阻尼系統(tǒng)，上升時間比較快，調(diào)節(jié)時間也比較短，但，欠阻尼系統(tǒng)，上升時間比較快，調(diào)節(jié)時間也比較短，但是響應曲線有超調(diào)量。是響應曲線有超調(diào)量。 對于欠阻尼系統(tǒng)，如果選擇合理的對于欠阻尼系統(tǒng)，如果選擇合理的 值，使得系統(tǒng)的響應滿值，使得系統(tǒng)的響應滿足以下要求，則認為系統(tǒng)是令人滿意的：足以下要求，則認為系統(tǒng)是令人滿意的：