線性代數(shù)：5-1向量的內(nèi)積長度及正交性

1、第五章第五章相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型1 向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積、長度及正交性向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積定義：定義：設(shè)有設(shè)有n 維向量維向量令令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ，則稱則稱 x, y 為向量為向量 x 和和 y 的的內(nèi)積內(nèi)積說明：說明：n內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)n內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x 和和 y 都是都是列向量列向量時(shí)，時(shí)，x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 1122, ,nnxyxyxyxy定義：定義

2、：設(shè)有設(shè)有 n 維向量維向量令令則稱則稱 x, y 為向量為向量 x 和和 y 的的內(nèi)積內(nèi)積1122 , nnx yx yx yx y 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積1122, ,nnxyxyxyxy 1212,nnyyxxxy Tx y x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對(duì)稱性：對(duì)稱性： x, y = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z l當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（

3、零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x = 0；當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x 0l施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y, y11221122 , , nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對(duì)稱性：對(duì)稱性： x, y = y, xx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)

4、（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對(duì)稱性：對(duì)稱性： x, y = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z , ()() , TTTx yxyxyx yx yllllllllll, ()()()() , , TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy zx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對(duì)稱性：對(duì)稱性： x, y

5、 = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l x, y = l lx, y x + y, z = x, z + y, z l當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x = 0；當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 x, y, z 為為 n 維向量，維向量，l l 為實(shí)數(shù)）：為實(shí)數(shù)）：l對(duì)稱性：對(duì)稱性： x, y = y, xl線性性質(zhì)：線性性質(zhì)： l l x, y = l lx, y x

6、+ y, z = x, z + y, z l當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x = 0；當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， x, x 0l施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y, y回顧：線段的長度回顧：線段的長度2212| , OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令若令 x = (x1, x2)T，則，則222123| , OPxxxx x若令若令 x = (x1, x2, x3)T，則，則x, x = x12 + x22 + + xn2 0 2, , , xxxxx xx xlllll lllllll l

7、l向量的長度向量的長度定義：定義：令令稱稱 | x | 為為 n 維向量維向量 x 的的長度長度（或（或范數(shù)范數(shù)）當(dāng)當(dāng) | x | = 1時(shí)，稱時(shí)，稱 x 為為單位向量單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)：向量的長度具有下列性質(zhì)：n非負(fù)性：非負(fù)性：當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | = 0； 當(dāng)當(dāng) x0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | 0n齊次性：齊次性： | l l x | = | l l | | x | 22212| , 0nx xxxxx2|, , | , |xxxx xx xxlllllllll ll l向量的長度向量的長度定義：定義：令令稱稱 | x |

8、為為 n 維向量維向量 x 的的長度長度（或（或范數(shù)范數(shù)）當(dāng)當(dāng) | x | = 1時(shí)，稱時(shí)，稱 x 為為單位向量單位向量向量的長度具有下列性質(zhì)：向量的長度具有下列性質(zhì)：n非負(fù)性：非負(fù)性：當(dāng)當(dāng) x = 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | = 0； 當(dāng)當(dāng) x 0（零向量）（零向量） 時(shí)，時(shí)， | x | 0n齊次性：齊次性： | l l x | = | l l | | x |n三角不等式：三角不等式： | x + y | | x | + | y |22212|,|nx xxxxxxyx + yy向量的正交性向量的正交性施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）不等式）不等式x, y2 x, x y

9、, y = | x | | y |當(dāng)當(dāng) x 0 且且 y 0 時(shí)，時(shí)，定義：定義：當(dāng)當(dāng) x 0 且且 y 0 時(shí)，把時(shí)，把稱為稱為 n 維向量維向量 x 和和 y 的的夾角夾角當(dāng)當(dāng) x, y = 0，稱向量，稱向量 x 和和 y 正交正交結(jié)論：結(jié)論：若若 x = 0，則，則 x 與任何向量都正交與任何向量都正交 , arccos| |x yxy , 1| |x yxy xy 定義：定義：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組正交向量組定理：定理：若若 n 維向量維向量a1, a2, , ar 是一組兩兩正交的非零向量，是一組兩兩正交的非零向量，則則 a1

10、, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)證明：證明：設(shè)設(shè) k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2從而從而 k1 = 0同理可證，同理可證，k2 = k3 = = kr =0綜上所述，綜上所述， a1, a2, , ar 線性無關(guān)線性無關(guān)例：例：已知已知3 維向量空間維向量空間R3中兩個(gè)向量中兩個(gè)向量 正交，試求一個(gè)非零向量正交，試求一個(gè)非

11、零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交分析：分析：顯然顯然a1a2 解：解：設(shè)設(shè)a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a3 ， a2a3 ，則，則 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 012111 , 211aa 12311101210 xAxxx 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr得得從而有基礎(chǔ)解系從而有基礎(chǔ)解系 ，令，令 1320 xxx 101 3101a 定義：定義： n 維向量維向量e1, e2,

12、, er 是向量空間是向量空間 中的向量，中的向量，滿足滿足 e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基（最大無關(guān)組）；中的一個(gè)基（最大無關(guān)組）； e1, e2, , er 兩兩正交；兩兩正交； e1, e2, , er 都是單位向量，都是單位向量，則稱則稱 e1, e2, , er 是是V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基例：例：是是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,

13、00110001eeee 是是 R4 的一個(gè)基，但不是規(guī)范正交基的一個(gè)基，但不是規(guī)范正交基設(shè)設(shè) e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基，則，則V 中任意一中任意一個(gè)向量可唯一表示為個(gè)向量可唯一表示為 x = l l1e1 + l l2e2 + + l lrer于是于是特別地，若特別地，若 e1, e2, , er 是是V 的一個(gè)的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基，則，則問題：問題： 向量空間向量空間 V 中的一個(gè)基中的一個(gè)基 a1, a2, , ar 向量空間向量空間 V 中的一個(gè)規(guī)范正交基中的一個(gè)規(guī)范正交基 e1, e2, , er2 , , 1,2, ,|

14、iiiiiix ex eire eel l , 1,2,iix eirl l求規(guī)范正交基的方法求規(guī)范正交基的方法第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化過程）正交化過程設(shè)設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基，那么令中的一個(gè)基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111,b abacabb b3333313213233121122,bacaccb ab aabbb bb b基基正交基正交基規(guī)范正交基規(guī)范正交基b1c2a2b2返回返回令令 c2 為為 a2 在在 b1 上的投影，則上的投影，則 c2 =

15、l l b1 ，若令若令 b2 = a2 c2 = a2 l l b1 ，則，則 b1b2 下面確定下面確定l l 的值因?yàn)榈闹狄驗(yàn)樗运?，從而，從而2121121110,b bab ba bb bllll2111,a bb bl l 12222212111,b abacababb bl la2b1 第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化過程）正交化過程設(shè)設(shè) a1, a2, , ar 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)基，那么令中的一個(gè)基，那么令于是于是 b1, b2, , br 兩兩正交，并且與兩兩正交，并且與a1, a2, , ar 等價(jià)，即等價(jià)，即 b1

16、, b2, , br 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基特別地，特別地，b1, , bk 與與a1, , ak 等價(jià)（等價(jià)（1 k r）121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b第二步：單位化第二步：單位化設(shè)設(shè) b1, b2, , br 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)正交基正交基，那么令，那么令因?yàn)橐驗(yàn)閺亩鴱亩?e1, e2, , er 是向量空間是向量空間 V 中的一個(gè)中的一個(gè)規(guī)范正交基規(guī)范正交基112212111, , |rrrebebebbbb21111111

17、221111|111,1|be ebbb bbbbb111|,1ee e例：例：設(shè)設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：設(shè)設(shè) ，試用施密特正交化，試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化過程把這組向量規(guī)范正交化解：解：第二步單位化，令第二步單位化，令1231142, 3, 1110aaa 11

18、12223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，試求非零向量，試求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 兩兩正交兩兩正交. .解：解：若若a1a2 ， a1a3 ，則，則 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化即為所求把基礎(chǔ)解系正交化即為所求1111a 12100, 111231110, 2211aa （以保證（以保證 a2a

19、3 成立）成立）定義：定義：如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足 ATA = E，則稱矩陣則稱矩陣 A 為為正交矩陣正交矩陣，簡稱，簡稱正交陣正交陣 即即 A1 = AT，于是于是從而可得從而可得n方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的的列向量列向量都是單位向都是單位向量，且兩兩正交量，且兩兩正交1, ( ,1,2, )0,Tijijija aa ai jnij 即即 A 的的列向量組列向量組構(gòu)成構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa

20、 aA Aa aaaa aa aa a定義：定義：如果如果 n 階矩陣階矩陣A 滿足滿足 ATA = E，即即 A1 = AT，則稱矩陣則稱矩陣A 為為正交矩陣正交矩陣，簡稱，簡稱正交陣正交陣 n方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的的列向量列向量都是單位向都是單位向量，且兩兩正交即量，且兩兩正交即 A 的的列向量組列向量組構(gòu)成構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基. .因?yàn)橐驗(yàn)锳TA = E 與與AAT = E 等價(jià)，所以等價(jià)，所以1, , ( ,1,2, )0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnT

21、TTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb b定義：定義：如果如果 n 階矩陣階矩陣A 滿足滿足 ATA = E，即即 A1 = AT，則稱矩陣則稱矩陣A 為為正交矩陣正交矩陣，簡稱，簡稱正交陣正交陣 n方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的的列向量列向量都是單位向都是單位向量，且兩兩正交即量，且兩兩正交即 A 的的列向量組列向量組構(gòu)成構(gòu)成Rn 的規(guī)范正交基的規(guī)范正交基n方陣方陣A 為正交陣的充分必要條件是為正交陣的充分必要條件是 A 的的行向量行向量都是單位向都是單位向量，且兩兩正交量，且兩兩正交 即即 A 的的行向量組行向