燕博園高三綜合能力測試CAT二數(shù)學(xué)文試題全國卷解析

1、燕博園2019屆高三年級綜合能力測試（CAT）（二）文科數(shù)學(xué)（全國卷）一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1已知集合,若,則實數(shù)的值為（ ）A B0C1D0或2下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在其定義域上存在最大值的是（ ）A B C D 3函數(shù)相鄰的一個對稱中心和一個對稱軸的距離是（ ）A B C D與有關(guān)4方程的根所在的一個區(qū)間是（ ）A B C D 5中,角的對邊分別為,則（ ）A B4C8D 6已知直線與正方體的所有面所成的角都相等,且平面,則與平面所成角的正切值是（ ）A2B C D 7若某三棱錐的三視圖是三個腰長為2的等腰直角三角形

2、,如圖所示,則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）A B C D 8已知,直線,若過直線上的點所作的的兩條切線互相垂直,則點的坐標(biāo)是（ ）A B或 C D或9如圖是來自統(tǒng)計局的有關(guān)20132017年我國的三次產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重的統(tǒng)計圖,下列對于20132017年該國的三次產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重的相關(guān)判斷錯誤的是（ ）A2013年第三產(chǎn)業(yè)增加值約為第一產(chǎn)業(yè)增加值的5倍B第一產(chǎn)業(yè)占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重在逐年減少C第三產(chǎn)業(yè)占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重最低的年份是2013年D第二產(chǎn)業(yè)在2017年的增加值比2015年的增加值低10已知函數(shù),若對,都有,則的取值范圍是（ ）A B C D 11古希臘畢達(dá)

3、哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如將一定數(shù)目的點在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形,這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)如圖所示,三角形數(shù)1,3,6,在1100這100個自然數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù),恰好是三角形數(shù)的概率是（ ）A B C D 12已知離心率為,焦點為的雙曲線上一點滿足,則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）A B C D 二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分把答案填在題中的橫線上13已知復(fù)數(shù)為,則 14已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值為 15已知,且,則 16等腰梯形中,是梯形內(nèi)的一點,則的最小值是 三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題,每個

4、試題考生都必須作答第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17（本小題滿分12分）各項均不為零的數(shù)列前項和為,數(shù)列前項和為,且（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式18（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐中,為棱的中點,平面,平面平面（1）求證：平面平面；（2）若點在上,且,求證：19（本小題滿分12分）2018年6月25日,趕集網(wǎng)發(fā)布了2018年畢業(yè)生就業(yè)報告,2018年全國高校畢業(yè)生人數(shù)達(dá)到820萬人,再創(chuàng)近7年畢業(yè)生人數(shù)新高中國高等教育發(fā)展實現(xiàn)了從精英教育到大眾化,用十年走過了其他國家三十年、五十年甚至是更長時間的道路下表是近7年高校畢業(yè)人數(shù)（精確到十萬位）（數(shù)據(jù)來源：

5、中商產(chǎn)業(yè)研究院整理）年份2012201320142015201620172018年份代號x1234567畢業(yè)人數(shù)y（百萬人）6.87.07.37.57.78.08.2（1）求關(guān)于的回歸方程（系數(shù)保留兩位小數(shù)）；（2）利用所求回歸直線方程分析2012年至2018年全國高校畢業(yè)生人數(shù)的變化情況,并預(yù)測2023年全國高校畢業(yè)生人數(shù)附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：20（本小題滿分12分）經(jīng)過拋物線的焦點作斜率為的直線,分別交拋物線于點,點在拋物線上,直線經(jīng)過線段的中點與點（1）求拋物線的焦點坐標(biāo)；（2）作斜率為的直線交拋物線于,若,直線經(jīng)過線段的中點,求證：直線經(jīng)過定點21（本小題滿

6、分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若存在極小值點與極大值點,求證：（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做,則按所作的第一題計分22【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）已知點,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點為曲線上的動點（1）寫出點的極坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)為最大值時,求的外接圓的參數(shù)方程23【選修45：不等式選講】（本小題滿分10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時,求不等式的解集；（2）是否存在實數(shù),使得？若存在,求出的值；若不存在,說明理由燕博園2019屆高三年級綜合能力測試（CAT）（二）

7、文科數(shù)學(xué)（全國卷）參考答案1答案：B解析：2答案：D解析：選項A,D為偶函數(shù),選項B為奇函數(shù),選項C的定義域為,是非奇非偶函數(shù)選項A,當(dāng)時,取得最小值1,選項D,因為,所以,即存在最大值1,故選D3答案：C解析：函數(shù)的周期,則其相鄰的一個對稱中心和一個對稱軸的距離是4答案：B解析：,則,所以原方程的根所在的一個區(qū)間為5答案：A解析：由及正弦定理可得,又因為,所以所以,由余弦定理得：6答案：B解析：因為直線與正方體的所有面所成的角都相等,所以直線沿著正方體體對角線的方向,不妨設(shè)為,則為平面的中心,連接,易證得：平面,所以即為與平面所成的角,7答案：A解析：該三棱錐的直觀圖如圖所示,可將其還原成一

8、個棱長為2的正方體,三棱錐的外接球即為正方體的外接球,外接球的直徑即為正方體的體對角線,所以,外接球的表面積8答案：C解析：的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑,過點所作的的兩條切線互相垂直,所以點與圓心的距離為,因為點在直線上,所以可設(shè),所以,所以,故點的坐標(biāo)是9答案：D解析：第二產(chǎn)業(yè)在2017年的增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重比2015年的增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重低。10答案：B解析：,即,設(shè),則,當(dāng)時,則恒成立,所以在上單調(diào)遞增,所以恒成立,滿足題意；當(dāng),令,得,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,取得最小值,由題意可得,解得,即,綜上可知,的取值范圍是11答案：A解析：三角形數(shù),當(dāng)時,當(dāng)時,

9、所以所求概率為12答案：D解析：在中,由正弦定理可得,所以,因為,所以當(dāng)點為雙曲線的左頂點時,取得最小值,取得最大值,所以,整理得,解得,又因為,所以13答案：解析：,所以,所以14答案： 解析：作可行域為如圖所示的,其中,則,所以15答案： 解析：,又因為,所以,所以16答案： 解析：解法1：取中點,中點, 則,所以,當(dāng)點為的中點時,取得最小值,故的最小值是以為坐標(biāo)原點建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則,設(shè),則,當(dāng),即時,取得最小值17（12分）解: （）因為 ,所以 .2分所以,或（舍）. 4分（）因為 ,所以 所以 6分因為 ,所以 所以 8分所以 , 9分當(dāng)時,上式也成立所以 11分當(dāng)

10、時,上式也成立,所以 12分18（12分）（）證明：因為,為棱的中點,所以,且,所以,2分又因為平面平面,平面平面,所以平面,4分又因為平面, 所以平面平面； 5分（）經(jīng)過點作交于點,連接,因為平面平面,平面平面,所以,因為,所以平面 .因為,6分所以平面.因為平面,所以.7分又因為, ,所以平面,因為平面. 所以. 9分由（）知,平面,又因為平面,所以.又因為,所以平面.11分又因為平面,所以.12分19（12分）解：（）,2分4分,5分所以,則關(guān)于的回歸直線方程是；7分（）因為,所以2012-2018年全國高校畢業(yè)生人數(shù)逐年增加,平均每年大約增加24萬人,10分將2023年的年份代號代入回

11、歸方程得,可預(yù)測2023年全國高校畢業(yè)生人數(shù)大約是942萬人.12分20解：（）點 在拋物線上,所以,所以拋物線的方程為；2分所以拋物線的焦點坐標(biāo)為； 4分（）由題意可知直線不與軸垂直,設(shè)直線為,直線為,設(shè)直線為,將代入方程,得可得,6分所以線段的中點,代入直線的方程,得,7分將代入方程,得可得,可得.可得點的縱坐標(biāo)代入方程,可得,因為直線經(jīng)過線段的中點,將點代入直線的方程,得,因為,9分可化為可得,所以直線為.11分所以直線經(jīng)過定點.12分21（）解： 2分,所以函數(shù)在點處的切線方程為；4分（）設(shè),則,設(shè),則, 所以在上單調(diào)遞增又因為,所以在上,即,所以在上單調(diào)遞增6分當(dāng)時,所以在上,即,所以函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)又是奇函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值點；7分當(dāng)時,又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上有且只有一個零點0極小值可知是的唯一極小值點,且9分又是奇函數(shù),所以函數(shù) 必存在唯一極大值點,記為,且,11分所以,所以成立12分22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）解：（1）點的極坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程分別是和.4分（2）設(shè)點,則.所以.6分令