理學(xué)三角函數(shù)

1、1.已知函數(shù)，（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，求的值（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解題思路:（I）由題設(shè)知因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，即（）,所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）2.如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線的斜率為（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值解題思路:（1）將，代入函數(shù)得，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，因此?）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以因?yàn)?，所以，從而得或即?.在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長(zhǎng)為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值解題

2、思路：（1）的內(nèi)角和，由得應(yīng)用正弦定理，知因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值4.已知的周長(zhǎng)為，且（I）求邊的長(zhǎng)；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解題思路：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以5.設(shè)函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）求實(shí)數(shù)的值；（）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合解題思路：（），由已知，得（）由（）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，由，得值的集合為6.已知向量是否存在實(shí)數(shù)，是若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.解題思路：7.已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2

3、)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；(3)若當(dāng)x，時(shí)，f(x)的反函數(shù)為f1(x)，求f-1(1)的值.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)當(dāng)2x+=2k，即x=k (kZ)時(shí)，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，則x=，故f-1(1)=.8.是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)

4、的a值；若不存在，試說明理由.綜合上述知，存在符合題設(shè)9.在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域點(diǎn)正北海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置，經(jīng)過分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)北偏東 (其中，)且與點(diǎn)相距海里的位置 （1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖第一問實(shí)際上就是求的長(zhǎng)，在中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點(diǎn)到直線的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決解析：（1）如圖， ，由于，所以由余弦定理得所以

5、船的行駛速度為（海里/小時(shí)）（2）方法一 ： 如上面的圖所示，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，與軸的交點(diǎn)為由題設(shè)有，所以過點(diǎn)的直線的斜率，直線的方程為又點(diǎn)到直線的距離，所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域解法二： 如圖所示，設(shè)直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)在中，由余弦定理得，=從而在中，由正弦定理得，由于，所以點(diǎn)位于點(diǎn)和點(diǎn)之間，且過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為點(diǎn)到直線的距離在中，所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域10.已知向量，（），令，且的周期為(1) 求的值；(2)寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)的解析式求出來，再根據(jù)的周期為就可以具體確定這個(gè)函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決即可解

6、析：(1) ，的周期為 ， (2) 由于，當(dāng)（）時(shí)，單增， 即（），在上的單調(diào)遞增區(qū)間為11.已知向量，且 （1）求的值；（2）求的值分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量垂直的條件將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)的等式，通過這個(gè)等式探究第一問的答案，第一問解決后，借助于這個(gè)結(jié)果解決第二問解析：（1），而，故，由于，解得，或，故（舍去）（2），由，求得，（舍去）， 12.三角形的三內(nèi)角，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，設(shè)向量，若，（1）求角的大??；（2）求的取值范圍分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理解決第一問，第一問解決后，第二問中的角就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其中的一個(gè)表達(dá)另一個(gè)，就

7、把所要解決的問題歸結(jié)為一個(gè)角的三角函數(shù)問題解析：（1）， 由余弦定理，得（2）， 13. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在大于等于零恒成立解析：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則等價(jià)于不等式在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立， 從而在區(qū)間上恒成立， 而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，所以為所求 14.設(shè)二次函數(shù)，已知不論，為何實(shí)數(shù)，恒有和（1）求證： ；（2）求證：； （3）若函數(shù)的最大值為，求，的值分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出，再結(jié)合有界性探求解析：（1）因?yàn)榍液愠闪?，所以，又因?yàn)?且恒成立，所以， 從而知，即（2）由且恒成立得，即，將代如得，即

8、（3），因?yàn)椋援?dāng)時(shí)， 由 ， 解得 ，15已知向量， ， （1）求的值; （2）若， ， 且， 求解析：（1）， ， ， ，即 ， （2）， ， ，16.已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.解法一由得所以即因?yàn)樗?，從而由知從?由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得所以即因?yàn)椋杂蓮亩?，知B+2C=不合要求.再由，得17若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.17所以18.已知.（I）求sinxcosx的值；（）求的值.解法一：（）由即又故（）解法二：（）聯(lián)立方程由得將其代入，整理得故（）19.已知向量，求的值.解法一：由

9、已知，得又所以解法二：由已知，得三、解答題20.設(shè)向量（1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：. 分析 本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。21.(本小題滿分12分）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解：（1）與互相垂直，則，即，代入得，又，.（2），則，.22.在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值；(II)設(shè)AC=，求ABC的面積.本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。（）由，且，ABC，又，（）如圖，由正

10、弦定理得，又23.已知 三角形 三內(nèi)角，向量， 且（）求角；（）若，求解：（）即, （）由題知，整理得或而使，舍去9.（2009年龍巖市普通高中畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查）已知，且.（）求的值；（）若，求的值.解：（）因?yàn)?，所以? （2分）因?yàn)椋? （6分）（）因?yàn)?，所以又，? （9分）. （12分）24.已知函數(shù).（1）若； （2）求函數(shù)在上最大值和最小值解：（1）2分由題意知 ，即 3分 即 6分（2） 即 8分，12分25.在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c =，且(1) 求角C的大小； （2）求ABC的面積. (1) 解：A+B+C=180°

11、由1分3分整理，得4分 解 得：5分C=60°6分（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即7=a2+b2ab 7分8分 由條件a+b=5得 7=253ab 9分 10分12分26.已知：函數(shù)的周期為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為0 （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）在ABC中，若解：（1）3分依題意函數(shù)的周期為，4分即5分的最小值為m,6分即7分 （2）而C(0，), C=9分在RtABC中，11分12分27.設(shè)，其，a與c的夾角為，b與c的夾角為，且，求的值解a=（2cos2,2sincos）=2cos（cos,sin）,b=（2sin2,2sincos）=2sin（sin

12、,cos）,（0,）,（,2）, （0,）,（,），故|a|=2cos,|b|=2sin,，0<<,=,又=,+=,故=,sin=sin（）=.OxyBAC28.如圖A、B是單位圓O上的點(diǎn)，且在第二象限. C是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，AOB為正三角形.（）求； （）求. 解：（1）因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知-4分（2）因?yàn)槿切蜛OB為正三角形，所以， -6分所以= -10分=. -12分理（）求的值解：()因?yàn)槿切螢檎切?，所以?5分所以 8分所以 12分29.在ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且（）求角A；（）若m，n，試求|mn|的最

13、小值解：（），3分即， 5分，7分（）mn，|mn| 10分，從而12分當(dāng)1，即時(shí)，|mn|取得最小值13分所以|mn|14分30.設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.（1） 求.的值;（2） 在ABC中,分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知,求角C.解: （1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處取最小值，所以,由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?所以.所以（2）因?yàn)?所以,因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角,所以.又因?yàn)樗杂烧叶ɡ?得,也就是,因?yàn)?所以或.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.31.中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 解：(1) 因?yàn)椋?，所以，?，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因?yàn)?，則，或（舍去） 得(2)

14、， 又, 即 ， 得32.在，已知，求角A，B，C的大小.解：設(shè)由得，所以又因此由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，從而或，既或故或33.已知函數(shù)其中， （I）若求的值； （）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求函數(shù)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像象左平移個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)。解法一：（I） 由得即又（）由（I）得，依題意，又故函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)即從而，最小正實(shí)數(shù)解法二：（I）同解法一（）由（I）得，依題意，又，故函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)恒成立亦即對(duì)恒成立。即對(duì)恒成立。故從而，

15、最小正實(shí)數(shù)34.設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期 （）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)的最大值解：（）= = = 故的最小正周期為T = =8 ()解法一： 在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) .由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而 = = 當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上的最大值為解法二： 因區(qū)間關(guān)于x = 1的對(duì)稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于x = 1對(duì)稱，故在上的最大值為在上的最大值由（）知 當(dāng)時(shí)，因此在上的最大值為 35.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為（）求f（）的值；（）將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

16、yg(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解（）f(x)2sin(-)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得 sincos(-)=0.因?yàn)?，且xR,所以cos（-）0.又因?yàn)?，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由題意得，所以故f(x)=2cos2x.因?yàn)?（）將f(x)的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.所以當(dāng) (kZ),即4kx4k+ (kZ)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.因此g(

17、x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)36.已知, f(x)=。(1)求函數(shù)在0,p上的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，f(x)的最大值為4，求實(shí)數(shù)m的值。20081215解：（1）依題意得：令得上的單調(diào)增區(qū)間為（2）依題意得：37.已知函數(shù) （1）求 （2）當(dāng)?shù)闹涤颉＝猓海?） （2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得：當(dāng)時(shí)，取最大值1 當(dāng)時(shí)38.已知函數(shù)（1）將寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；（2）如果ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為，試求角的范圍及此時(shí)函數(shù)的值域. =若為其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即=0， -， 解得： （2）， 即，而，所以。 ， 所以39.已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所

18、示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的的值。解：（1）由圖像知, ,又圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，0） （2）， 當(dāng)即時(shí)，的最大值為，當(dāng)， 即時(shí)， 最小值為40. 設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，求:(1) 及的值； (2)函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；(3) 時(shí)， ，求,并猜測(cè)時(shí)，的表達(dá)式.解:(1)，已知函數(shù)。(1) 當(dāng)m=0時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；(2) 當(dāng)時(shí)，求m的值?！窘馕觥靠疾槿呛瘮?shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等題.解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，由已知，得從而得：的值

19、域?yàn)椋?）化簡(jiǎn)得：當(dāng)，得：，代入上式，m=-2.(2),的增區(qū)間為.（3），所以，因此是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，猜測(cè).41.中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 解：(1) 因?yàn)?，即，所以，即，? 所以,或(不成立).即, 得，所以.又因?yàn)?，則，或（舍去）得(2)，又, 即，得42.在銳角ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且()確定角C的大?。海ǎ┤鬰,且ABC的面積為,求ab的值。解（1）由及正弦定理得，是銳角三角形，（2）解法1：由面積公式得由余弦定理得由變形得解法2：前同解法1，聯(lián)立、得消去b并整理得解得所以故43.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(

20、x)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為（）求f（）的值；（）將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解（）f(x)2sin(-)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得 sincos(-)=0.因?yàn)?，且xR,所以cos（-）0.又因?yàn)?，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由題意得，所以故f(x)=2cos2x.因?yàn)椋ǎ(x)的圖象向右平

21、移個(gè)個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.所以當(dāng) (kZ),即4kx4k+ (kZ)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)44. （1）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為，求的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積。解（1） （2分） （4分）故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是。 （6分）（2）（理）當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的最大值與最小值的和 （8分）的圖象與x軸正半軸的第一個(gè)交點(diǎn)為 （10分）所以的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積45.已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（） （1）若，試求的取值

22、范圍；（2）若，求函數(shù)的最小值（1）即，又，2分所以，從而的取值范圍是 5分（2），令，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，8分由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是； 11分下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)所以函數(shù)的最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，因?yàn)?，所以，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值 15分46.已知的最小正周期為。 （I）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （II）求的最大值和最小值解：（I）由已知 （II）47.已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象. 求函數(shù)的表達(dá)式;證明當(dāng)時(shí)，經(jīng)過函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于零.解：

23、（I）（II）證明一：依題意，只需證明函數(shù)g(x)當(dāng)時(shí)是增函數(shù)在即的每一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù),則當(dāng)時(shí)，經(jīng)過函數(shù)g(x)圖像上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒大于零48.P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，且PF1F2=，PF2F1=2，求證：橢圓的離心率為e=2cos1.剖析：依據(jù)橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，e=.在PF1F2中解此三角即可得證.證明：在PF1F2中，由正弦定理知=.由比例的性質(zhì)得=e=2cos1.49.對(duì)定義域是.的函數(shù).，規(guī)定：函數(shù)（1）若函數(shù)，寫出函數(shù)的解析式；（2）求問題（1）中函數(shù)的值域；（3）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽

24、的函數(shù)，及一個(gè)的值，使得，并予以證明 解 (1) (2) 當(dāng)x1時(shí), h(x)= =x1+2,若x>1時(shí), 則h(x)4,其中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)成立若x<1時(shí), 則h(x) 0,其中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)成立函數(shù)h(x)的值域是(,014,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=則g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2xsin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2xsin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1sin2x,于是h(x)

25、= f(x)·f(x+)= (1+sin2x)( 1sin2x)=cos4x.51. 設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對(duì)邊長(zhǎng)，并且。 ()求角的值；()若，求（其中）。52.某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，-最大？解析 本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及

26、不等式的應(yīng)用。（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設(shè)知，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）故當(dāng)時(shí)，最大。因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，-最大。故所求的是m。53.已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。（1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。解析 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，因

27、為cosA是有理數(shù)， 也是有理數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，解得：cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。假設(shè)當(dāng)時(shí)，和都是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，由，及和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜合、可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。54.已知.（I）求sinxcosx的值；（）求的值. 解法一：（）由即又故（）解法二：（）聯(lián)立方程由得將其代

28、入，整理得故（）55.如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過ABC的中心G，設(shè)ÐMGAa（）（1） 試將AGM、AGN的面積（分別記為S1與S2）表示為a的函數(shù)（2） 求y的最大值與最小值解：（1） 因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，所以 AG，ÐMAG，由正弦定理得則S1GM·GA·sina同理可求得S2（2） y72（3cot2a）因?yàn)?，所以?dāng)a或a時(shí)，y取得最大值ymax240當(dāng)a時(shí)，y取得最小值ymin21656.某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)，決定對(duì)一種半徑為1的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)時(shí)要求同時(shí)滿足