提煉問題 理性分析 整體設(shè)計

1、 提煉問題 理性分析 整體設(shè)計 對數(shù)學(xué)歸納法評課中問題的反思 許曉天(安徽省合肥市教育局教研室)摘要：筆者就教師對數(shù)學(xué)歸納法一節(jié)評課活動，提煉出了四個有爭議的問題，并從課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和學(xué)情三方面逐一分析，最后從一節(jié)課的整體上看，如何設(shè)計對突破難點更合理？提出了自己的建議.關(guān)鍵詞： 問題 思考 建議 今年3月28日下午在合肥市八中，該校青年教師孫媛媛給全市高二數(shù)學(xué)教師上了一節(jié)市級公開課.上課的內(nèi)容是人教社A版選修2-2數(shù)學(xué)歸納法（第一課時），接著進(jìn)行了評課.評課結(jié)束后，筆者對評課中有分歧的問題進(jìn)行了梳理和提煉，大家集中在四個問題的把握上，存在不同的觀點，并且各執(zhí)“道理”.那么如何理解這四個問題？

2、從一節(jié)課的整體來看，又該如何處理？筆者暑期得暇，欣然提筆.1 問題呈現(xiàn)問題一、用什么的引例更合適？ 觀點1、教材中的引例是利用2.1.1合情推理中的例1：已知數(shù)列數(shù)列，, 試歸納出這個數(shù)列的通項公式.學(xué)生已經(jīng)通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為 .這個猜想是需要證明的.讓學(xué)生體會對個數(shù)無限的自然數(shù)集中的每一個自然數(shù)都成立的問題，采取完全歸納法是不可能的，為“用有限證明無限”的方法數(shù)學(xué)歸納法的引入，給學(xué)生學(xué)習(xí)奠定了良好“心理需求”的基礎(chǔ)； 觀點2、書上的引例對于像八中這樣生源很好的學(xué)生，就不太合適.因為此數(shù)列的通項公式可以直接求的，因為是等差數(shù)列.此節(jié)課孫老師先讓學(xué)生探究和猜想

3、： 猜想：此引例符合學(xué)生的實際，因為大部分學(xué)生無法直接證明，即使直接證明也不是常規(guī)的方法.因此，用今天學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法證明此問題就順理成章了. 問題二、數(shù)學(xué)歸納法的證明應(yīng)該怎樣得到？觀點1、數(shù)學(xué)歸納法可以類比多米洛骨牌的游戲得出，是因為學(xué)生的認(rèn)知水平和知識所限，也是課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.只要學(xué)生會用數(shù)學(xué)歸納法解決問題就行了.此節(jié)課就是用此方法得出的數(shù)學(xué)歸納法，課堂上學(xué)生已經(jīng)基本會使用數(shù)學(xué)歸納法解決等量關(guān)系問題了；觀點2、數(shù)學(xué)歸納法證明的依據(jù)是皮亞諾公理中的第五條公理或最小數(shù)原理，類比多米洛骨牌的游戲得出數(shù)學(xué)歸納法，不嚴(yán)密，學(xué)生也只會套“兩步一結(jié)論”的操作方法，不能使學(xué)生“心悅誠服”.鑒于本校的生源質(zhì)

4、量很好的學(xué)情，可以在類比多米洛骨牌的游戲得出的數(shù)學(xué)歸納法后，說明此歸納法是可以嚴(yán)格證明的，要用到皮亞諾公理中的第五條公理或最小數(shù)原理，請有學(xué)有余力的學(xué)生查看資料完成證明.問題三、本節(jié)課學(xué)生認(rèn)知的難點是什么？ 觀點1、本節(jié)課學(xué)生認(rèn)知的難點是數(shù)學(xué)歸納法的使用，特別是第二步的證明；觀點2、此節(jié)課學(xué)生認(rèn)知的難點是數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，因為這種證明的方法以前沒有學(xué)習(xí)過，特別是“用有限證明無限”的思想；觀點3、難點是數(shù)學(xué)歸納法中第二步中“假設(shè)當(dāng)時，命題成立，推出當(dāng)時，命題成立”.其中學(xué)生難以理解之處有兩個：第一是“假設(shè)”的出現(xiàn)突然，學(xué)生不好理解；第二從多米洛骨牌得出的“數(shù)學(xué)歸納法”，學(xué)生對必須“從時，命題

5、成立，推出時，命題成立”此過程理解不透，此節(jié)課孫老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，還有學(xué)生依然不用“時，命題成立”的條件來證明“時，命題成立”.問題四、例題、練習(xí)和習(xí)題中能否補(bǔ)充等式以外的證明或先猜想后證明問題？觀點1、課本中對數(shù)學(xué)歸納法是只要求證明等式，所以在例題、練習(xí)和習(xí)題中只安排對等式的證明，所以我們要尊重教材，只能要求學(xué)生掌握等式的證明就可以了；觀點 2、雖然課本只安排了等式的證明，像八中這樣生源很好的學(xué)?？梢愿鶕?jù)學(xué)生接受能力，適當(dāng)補(bǔ)充“不等量關(guān)系”、“整除問題”和“圖形問題”等問題，也可以設(shè)計“先猜后證”的問題.這樣開闊學(xué)生的視野，多方位培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的能力.2 理性思考對于上面涉獵的四

6、個問題，到底是哪個觀點合理呢？我們不能只憑個人的經(jīng)驗和理解進(jìn)行教學(xué).眾所周知，國家課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)、評估和考試命題的依據(jù)，是國家管理和評價課程的基礎(chǔ)；教材（教科書）是對課程標(biāo)準(zhǔn)的細(xì)化和具體呈現(xiàn)，是實現(xiàn)課程目標(biāo)、實施教學(xué)的最重要的課程資源，教師不是教教材，而是要用教材教；學(xué)生是學(xué)習(xí)教材知識的主體，是教學(xué)的對象，學(xué)情的把握無疑是教學(xué)成敗的關(guān)鍵.課標(biāo)和教材有具體和明確的呈現(xiàn)，但契合學(xué)情的教學(xué)是需要我們授課教師平時與學(xué)生的交流和磨合，逐步形成的學(xué)生“跳一跳夠的著”的教學(xué).2、1 課標(biāo)要求 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）在十大基本理念7中指出： 形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，

7、學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里.數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的.因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).  思考1：上述理念是課標(biāo)的總體要求，是十大基本理念之一.數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上是形式化證明的一種呈現(xiàn).那么能否“強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的

8、認(rèn)識”，那么能否用數(shù)學(xué)原理證明數(shù)學(xué)歸納法？多米洛骨牌的游戲是否是“要講邏輯推理，更要講道理”，是否是“通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程”？ 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）在第三部分 內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)選修2-2中指出，“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.在本模塊中，學(xué)生將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言

9、之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣.在“內(nèi)容與要求”中對數(shù)學(xué)歸納法的要求是：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.  在“說明與建議 ”中：教師應(yīng)借助具體實例讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，對證明的問題要控制難度.思考2：課程標(biāo)準(zhǔn)明確了“推論與證明”是數(shù)學(xué)思維過程，數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的方法之一，是演繹推理，那么數(shù)學(xué)思維如何體現(xiàn)？“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理”中的“了解”就是“知道”、“模仿”,是對知識與技能的最低要求，教材中的安排了什么事實讓學(xué)生了解此原理？學(xué)生能否就此遷移至數(shù)學(xué)原理？教學(xué)中能否再設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)歸納法原理？ “簡單的數(shù)學(xué)命題”教材中如何把控的？

10、教學(xué)中能否受此束縛？對證明的問題難度如何控制？2、2 教材安排人民教育出版社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)2-2第二章“推論與邏輯”前，教材已經(jīng)安排了學(xué)生學(xué)習(xí)了等差和等比等一階遞推數(shù)列，學(xué)生初步體會了遞推和無限的過程； 在“算法”循環(huán)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中，也有有反復(fù)試用“循環(huán)體”的體會,雖然算法實現(xiàn)的只能是有限步的循環(huán)，但對學(xué)生理解“假設(shè)當(dāng)時，命題成立，推出當(dāng)時，命題成立”有了很好的認(rèn)知基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)2-2第二章“推理與邏輯”中教材安排了2.1合情推論與演繹推理；2.2直接證明與間接證明；2.3數(shù)學(xué)歸納法.在合情推理中介紹了合情推理的過程：從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜

11、想.歸納推理簡言之是由部分到整體、由個別到一般的推理.在演繹推理（邏輯推理）中介紹了三段論，并指出演繹推理是由一般到特殊的推理.數(shù)學(xué)歸納法與分析法、綜合法都屬于直接證明的方法，但數(shù)學(xué)歸納法單獨一節(jié)，表明其重要性和區(qū)別性，同時也是學(xué)生接受的難點.教材在2.3節(jié)數(shù)學(xué)歸納法中安排的具體內(nèi)容：1、提出2.1.1節(jié)的問題：數(shù)列,已知, 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為 這個猜想是否正確,怎么證明？2、多米諾骨牌的游戲情景類比證明方法；3、總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n0（n0N*）時命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k(kn0,kN*)時命題成立

12、，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題從開始的所有正整數(shù)都成立.4、用數(shù)學(xué)歸納法完成兩個例題的證明.再后面有兩個練習(xí)，課后習(xí)題安排有A組2個、B組3個.思考3：教材引用前面第2節(jié)的問題引入，問題雖然簡單,但為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的必要性打下伏筆的意圖明顯.因為此題可以直接證明，這樣安排對生源很好的八中學(xué)生是否合理？多米洛骨牌的游戲的安排是讓學(xué)生從熟知的生活情景中，體悟數(shù)學(xué)歸納法的原理.從生活情景直接上升到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納法原理，學(xué)生是否真能夠“了解”數(shù)學(xué)歸納法？是否需要介紹數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)格證明？即使不要證明，是否需要從數(shù)學(xué)問題上進(jìn)一步加強(qiáng)？從引例、練習(xí)到習(xí)題的呈現(xiàn)，都是

13、等量關(guān)系的猜想和數(shù)學(xué)歸納法的證明.“簡單的數(shù)學(xué)命題”是否就是指“等量關(guān)系”的數(shù)學(xué)問題，其它的“不等量關(guān)系問題”、“整除問題”和“圖形問題”等是否就不是簡單數(shù)學(xué)問題？如果選擇，難度又應(yīng)該怎樣控制？2、3 學(xué)情分析 因為學(xué)生是教學(xué)活動的主體，特別是在強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動建構(gòu)和學(xué)習(xí)知識的今天，教師對其應(yīng)有充分的了解與分析，其中學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)、水平和能力尤為重要. 合肥八中是我市初中升高中第一批次錄取的三所學(xué)校之一，生源相對較好.每年都有一部分學(xué)生在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中獲得一等獎或二等獎，高考中該校多次獲過省、市狀元.由于時代的進(jìn)步，均衡教育的發(fā)展，隨著錄取人數(shù)的增加，也有部分認(rèn)知的基礎(chǔ)和能力偏弱的學(xué)生考入該校

14、. 思考4：學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、建構(gòu)能力是教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)的基礎(chǔ).鑒于八中的生源情況，怎樣用好教材這個重要的資源？授課老師通過怎樣的調(diào)整、增減和有序安排教材內(nèi)容，使學(xué)生在認(rèn)知的目標(biāo)上達(dá)到很高的“達(dá)成度”？這就需要授課教師在平時的教學(xué)實踐活動中，積累對全班學(xué)生綜合能力的“經(jīng)驗”或“估計”，形成對學(xué)生建構(gòu)此節(jié)課內(nèi)容較合理的能力“預(yù)估”，再加上課堂教學(xué)反饋，教師還可以作一些微調(diào).唯此，全班學(xué)生才能都得到合理的發(fā)展，個人潛能得到有效的挖掘.3 設(shè)計建議 授課教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)時，一定要把握課程標(biāo)準(zhǔn)要求、研透教材內(nèi)容和通曉學(xué)生個體的認(rèn)知水平與差異.因為課程標(biāo)準(zhǔn)的具體落實是通過教師創(chuàng)造性地使用教材

15、，最后通過課堂教學(xué)的教學(xué)實踐來落實.因此，教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)顯得尤為重要.以上4個問題的9個觀點，應(yīng)該綜合整節(jié)課內(nèi)容和學(xué)情來看看是否合理，不能就事論事.問題一：對引例的看法？觀點1的理解對一般學(xué)校的學(xué)生學(xué)習(xí)是恰當(dāng)?shù)?，觀點2就引例本身來說對八中的學(xué)生是合理的，但此節(jié)課的難點在何處？要兼顧學(xué)情，特別是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.問題二：數(shù)學(xué)歸納法是否需要嚴(yán)格證明？觀點1凸顯了學(xué)生的可接受性，注意了課標(biāo)的要求.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)只要求“了解”數(shù)學(xué)歸納法；觀點2不僅重視了課標(biāo)的要求和學(xué)生整體的水平，還兼顧了優(yōu)等學(xué)生的心理需求，培養(yǎng)了學(xué)生搜索資料和研究的能力.但直接從多米洛骨牌類比得出數(shù)學(xué)歸納法原理，過渡太快，學(xué)生沒有接

16、受過此種得出定理的方法，非常懷疑其正確性，要結(jié)合下面的難點分析作進(jìn)一步的處理.問題三：學(xué)生認(rèn)知的難點是什么？觀點1注重了使用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的難點；觀點2強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)歸納法的理解和“用有限證明無限”的思想，符合新課程理念的要求，但具體實施和操作不明確；觀點3分解為兩個難點：理解假設(shè)和利用假設(shè)，相對合理.結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，又如何突破難點呢？問題四：是否補(bǔ)充一些數(shù)學(xué)歸納法除等式以外的證明問題？根據(jù)上面課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和學(xué)情的分析，觀點1尊重課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和教材的安排；觀點2站在學(xué)生的可接受性和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力角度，建議可以補(bǔ)充一些非等式的證明問題.這兩個觀點都可以接受，重要的是學(xué)生的接受和建構(gòu)能力.

17、如果補(bǔ)充非等式的證明問題，建議下一節(jié)課作為應(yīng)用和鞏固數(shù)學(xué)歸納法原理，再補(bǔ)充，但難度不宜太大.這一節(jié)課，主要是數(shù)學(xué)歸納法原理的理解和初步使用，內(nèi)容已經(jīng)很豐富了.針對其上思考和各觀點的分析，本節(jié)課的從課題引入到數(shù)學(xué)歸納法原理得出的教學(xué)流程建議如下（限于篇幅，后面的例、習(xí)題等省略）：1、提出2.1.1節(jié)的問題：數(shù)列,已知, 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為 這個猜想是否正確,怎么證明？設(shè)計意圖：從學(xué)生熟知的問題出發(fā)，低起點，讓所有學(xué)生都能夠接受和理解.凸顯欲無數(shù)個等式都成立，無法驗證？那么如何證明？證明此問題思維方式與前面學(xué)習(xí)的方式不同，從而引起強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突.選擇此引入的另一

18、個原因：后面類比多米洛骨牌證明此數(shù)學(xué)問題，原理是否可以遷移？因為學(xué)生可以直接證明此題，得出的結(jié)論相同，增加了學(xué)生對此原理正確性的可信度.2、多媒體演示多米洛骨牌游戲，有條件的學(xué)校還讓學(xué)生親自參與.讓學(xué)生充分體會骨牌全部倒下的條件：（1）第1塊骨牌倒下；（2）如果第k塊骨牌倒下一定能導(dǎo)致第k+1塊骨牌倒下.特別是條件（2）就是第k塊骨牌的高度必須大于相鄰第k塊骨牌與第k+1塊骨牌兩骨牌間的距離.設(shè)計意圖：讓學(xué)生從親自參與的多米洛骨牌的游戲中，體會全部倒下的條件.第一個條件學(xué)生容易理解，第二個條件一定要讓學(xué)生自己找出導(dǎo)致下一塊倒下的原因：第k塊骨牌的高度必須大于相鄰第k塊骨牌與第k+1塊骨牌兩骨牌

19、間的距離，這樣在重力的作用下，第k塊骨牌倒下一定能導(dǎo)致第k+1塊骨牌倒下.為下面學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法原理的第二步打下良好的基礎(chǔ).3、（1）能否根據(jù)以上多米洛骨牌的游戲得出的骨牌全部倒下的條件，類比證明引例中猜想 的正確性.（2）請用以前學(xué)過的方法直接求該通項公式，結(jié)果是否相同？（讓學(xué)生體會類比多米洛骨牌得出兩步的證明方法是正確的）.（3）請你總結(jié)多米洛骨牌得出的證明數(shù)學(xué)問題的方法，第二步“如果當(dāng)時，成立，推出當(dāng)時，”你是如何理解的？設(shè)計意圖：讓學(xué)生類比多米洛骨牌全部倒下的條件，再解決引例的數(shù)學(xué)問題，并讓學(xué)生選擇以前直接求的方法，得出同樣的結(jié)論. 是為了讓學(xué)生確信其原理對數(shù)學(xué)問題的解決是可信的，為數(shù)學(xué)歸納法原理的得出作了進(jìn)一步的鋪墊.第三個問題是讓學(xué)生體會“如果當(dāng)時，成立，推出當(dāng)時，”是“，推出；，推出；”無數(shù)個推出關(guān)系提煉和抽象得出的.第一、為數(shù)學(xué)歸納法原理中的第二步中出現(xiàn)的“假設(shè)”打下伏筆，這個“假設(shè)”又有基礎(chǔ)，就是第一步當(dāng)時，命題成立；第二、從此學(xué)生可以理解數(shù)學(xué)歸納法中“從時，命題成立，推出時，命題成立”的道理；第三、此問是學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法“用有限