數(shù)字信號處理課件

1、第一章第一章 離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 作業(yè)練習(xí)作業(yè)練習(xí) x(n)代表第n個序列值， 在數(shù)值上等于信號的采樣值x(n)只在n為整數(shù)時才有意義一、離散時間信號序列( )ax t( )()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),( ),(2 ),.aaaaxTxx TxT序列：對模擬信號 進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到 n取整數(shù)。對于不同的n值， 是一個有序的數(shù)字序列： 該數(shù)字序列就是離散時間信號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中，此時nT代表的是前后順序。為簡化，不寫采樣間隔，形成x(n)信號，稱為序列。如何表示一個有限長序列

2、？1、序列的運算1）移位2）翻褶3）和12( )( )( )x nx nx n4）積12( )( )( )x nx nx n5）累加( )( )nky nx k6）差分( )(1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n( )(1)x nx n ( )(1)x nx n 7）時間尺度變換( )( )()( )at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn-4-3-2-10123456-1012n x(n)-4-3-2-10123456-1012nx(n/2)()nxm插值8）卷積和( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )(

3、)( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加：n-2, y(n)=0n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7兩序列卷積的長度：兩序列卷積的長度：例子線性卷積231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3得到線性卷積線性卷積結(jié)果的示意圖14265ny(n)2014830 5 4 3 2 1 1 2 3 15 12 9 6 3 10 8 6 4 2 5 4

4、 3 2 1 5 14 26 20 14 8 3N=7( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n kx nk h k nmkmnk令 則 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n用卷積符號表示為nxymnynxmymxmr)()()(*)()(nxymnynxmr)()()(在信號分析中往往用到自相關(guān)序列，令)()(nxny則有自相關(guān)序列)(*)()()()(mxmxmnxnxmrnxx當(dāng)m0時，即為序列的能量，此時nxxnxr2)()0(11、序列的能量2( )nEx n ( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nn( )2 (

5、1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5 (3)n例：2、幾種典型序列10( )00nnn10( )00nu nn( )( )(1)nu nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn( )nkk與單位抽樣序列的關(guān)系101( )0nNnNRn其它( )( )()NRnu nu nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN 與其他序列的關(guān)系( )( )nx na u na00()( )jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0為數(shù)字域頻率jnn3x(n)=0.9 e例：0( )sin()x nAn( )( )sin()at nTx nx

6、tAnT0/sTf 0：數(shù)字域頻率：模擬域頻率T：采樣周期sf ：采樣頻率( )sin()ax tAt 模擬正弦信號：數(shù)字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率3、序列的周期性( )()x nx nNn ( )sin()sin(8)44x nnn討論一般正弦序列的周期性0( )sin()x nAn()( )( )x nNx nx nN要使，即為周期為 的周期序列000()sin()sin()x nNAnNAnN0022NkNkNkkN則要求，即， ， 為整數(shù)，且 的取值保證 是最小的正整數(shù)分情況討論02020200221( )kx n1）當(dāng)為整數(shù)時，取，即是周期為的周期序列02sin()84

7、48nN0如， ， 該序列是周期為 的周期序列0022( )PPQQkQNPx nP2）當(dāng)為有理數(shù)時，表示成， ， 為互為素數(shù)的整數(shù)取，則，即是周期為 的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 該序列是周期為 的周期序列02( )kNx n3）當(dāng)為無理數(shù)時，取任何整數(shù) 都不能使 為正整數(shù)，不是周期序列0112sin()844n0如， ， 該序列不是周期序列()()666()n NnNjjx nNee 解：( )( )()26x nx nx nNNkNk若為周期序列，則必須滿足，即滿足，且 ， 為整數(shù)例：判斷()6( )njx ne是否是周期序列12kNk而不論 取什么整數(shù)，都是一

8、個無理數(shù)( )x n不是周期序列0( )sin()x tAt00( )( )sin()sin()t nTx nx tAnTAn0000021/2 /fTf 000022TTf TT 002TT設(shè)連續(xù)正弦信號：抽樣序列：當(dāng)為整數(shù)或有理數(shù)時，x(n)為周期序列0NTkT0TNTk3( )sin(2)14x nn00032142143NTkT0143 ( )14TTx n當(dāng)時，為周期為的周期序列例：N，k為互為素數(shù)的正整數(shù)即N個抽樣間隔應(yīng)等于k個連續(xù)正弦信號周期二、線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 記為：1、線性系統(tǒng)1 1221122( )( )( )

9、( )T a x na x na y na y n1212 ( )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a為常數(shù)11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 1112( ) ( )( )sin()97y nT x nx nn解：設(shè)2222( )( )( )sin()97y nT x nx nn12122 ( )( ) ( )( )sin()97T x nx nx nx nn1222( )sin()( )sin()9797x nnx nn112( )( )sin()97T ax nax nn1( )ay na，

10、為常數(shù)該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)2( )( )sin()97y nx nn例：判斷系統(tǒng)是否線性12( )( )y ny n滿足可加性滿足比例性( )( )y nax nb, a b為常數(shù)是非線性系統(tǒng)111( ) ( )( )y nT x nax nb證：設(shè)222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)12( )( )ax nax nb不滿足可加性線性系統(tǒng)滿足線性系統(tǒng)滿足疊加原理的直疊加原理的直接結(jié)果：零輸接結(jié)果：零輸入產(chǎn)生零輸出。入產(chǎn)生零輸出。 線性系統(tǒng)x(n)y0(n)y(n)( )

11、( )y nax nb2、移不變系統(tǒng)Tx(n)( ) ()()y nT x nmy nmm對移不變系統(tǒng)，若則 ， 為任意整數(shù)2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm該系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)例：試判斷2( )( )sin()97y nx nn是否是移不變系統(tǒng) 3、單位抽樣響應(yīng)與卷積和( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h nT x(n)y(n)( )( ) ()mx nx mnm任意輸入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系統(tǒng)輸出：( ) ()mx m Tnm，線性性( ) ( )()

12、 ()h nTnh nmTnm( ) ( )iiiiiiTa x naT x n ( ) ()mx m h nm， 移不變性( )( )x nh nLSIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n( )( )* ( )y nx nh n解：( ) ()mx m h nm( )( )01nh na u na( )( )()x nu nu nNLSI例：某系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為：輸入序列為：求系統(tǒng)輸出。0nN當(dāng)時0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n當(dāng)時nN當(dāng)時( )( ) ()my nx m h nm11

13、001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa01nN 時0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n時( )( )( )( )( )( )( )NMx nx n Rnh nh n Rny n若求輸出MN1) 當(dāng)1NnM 時10( )( ) ()Nmy nx m h nm2MnNM 時11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n時例：例：01nM 時0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n時MN2) 當(dāng)1MnN 時1( )( ) ()nm n My

14、nx m h nm 2NnNM 時11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n時4、LSI系統(tǒng)的性質(zhì)h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )( )( )y nx nh nh nx nh1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*( )( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )* ( )y nx nh n1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh n

15、x nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5、因果系統(tǒng)( )00h nnLSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：6、穩(wěn)定系統(tǒng)( )x nM ( )nh nP LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：( )y nP 則0( )0nh n解：討論因果性： 時 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)討論穩(wěn)定性：00( )nnnnnh naa11111aaa11aa當(dāng)時系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)時系統(tǒng)不穩(wěn)定例：某LSI系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為( )()nh na un試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。 ( ) ( )( )nh nh n u nh n 三、常系數(shù)線性差分方程00()()NMkmkma

16、y nkb x nm01kmaab ，是常數(shù)其中：( )(1)( )y nay nx n( 1)0y ( )( )( )( )( 1)0 x nny nh ny解：令輸入，則輸出，又已知23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0ny nay nx nyayxyayxayayxayayxay nan由，得，1(1) ( )( )1( 2) ( 1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，( )( )( )nh ny na u n(0)0y( )( )( )( )(0)0

17、 x nny nh ny解：令輸入，則輸出，又已知( )(1)( )(1)(0)(1)0(2)(1)(2)0( )01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，1231(1) ( )( )11( 1) (0)(0)1( 2) ( 1)( 1)1( 3) ( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，( )( )(1)nh ny na un ( 1)1y 111( )( )( 1)1( )x nnyy n解：1）令輸入，由，求輸出111111111211131111( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)

18、(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)0ny nay nx nyayxayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，11111112111111(1)( )( )1( 2)( 1)( 1)1( 3)( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaayyxaay nan 由，得，11( )(1)( )(1)nny na a u naun 222( )(1)( 1)1( )x nnyy n2）令輸入，由，求輸出2222222222222222222122( )(1)( )(0)( 1)(0)(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)(

19、 )(1)1ny nay nx nyayxayayxayayxa ayayxaay naan由，得，2221211(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步驟 ），由得，2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 31233( )( )( )( )(1)( 1)1( )x nx nx nnnyy n3）令輸入，由，求輸出3333332333233322333123( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxaayayxa aaya

20、yxaaay naaan由，得，3331311(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步驟 ），由得，213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun 4）結(jié)論：2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 2( )(1)x nn當(dāng)輸入時，輸出1( )( )x nn當(dāng)輸入時，輸出11( )(1)( )(1)nny na a u naun 2121( )(1)( )(1)( 1)1x nx ny ny ny由于，而邊界條件下的系統(tǒng)不是移不變系統(tǒng)312( )( )( )( )(1)x nx nx nnn當(dāng)輸入時，輸出213

21、( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun ( 1)1y 邊界條件下的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)不滿足可加性12( )( )y ny n 一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：Z-1ax(n)y(n)( )(1)( )y nay nx n四、連續(xù)時間信號的抽樣( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt當(dāng) 討論：1、理想抽樣 ( )( )( )() ()aaTamx tx ttx mTtmT0()aXj求理想抽樣的頻譜( )()TmttmT理想抽樣輸出：1()()2aTXjjjd2()( )()TTskjDTFTtkT

22、1()( )()*()2aaaTXjDTFT x tXjj 12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT 1()askXjjkT()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt ( )21sjktTkksstA efTT 其中: 為級數(shù)的基頻，為采樣頻率222211( )()ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系數(shù): 1()( )sjktTTkjDTFTtDTFT eT 其頻譜：122()()sskkkkTT 2211( )sTjktTt edtTT1( )sjktTkteT()11ssjktjktj tkkeedtedtTT 22shs ， 為折疊頻率則延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊奈奎斯特抽樣定理22shshff 即2、抽樣的恢復(fù)2()02ssTH j s/2-s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通濾波器:()()()()aaaYjXjH jXj ( )( )aax tx t1( )()2j th tH jed( )( )( ) ()aaay tx txh tdsin()() ()()()aammtmTTx mT h tmTx mTtmTTsin()sin