全等三角形_輔助線做法講義

1、【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長中線 ABC 中AD是BC邊中線方式1: 延長AD到E, 使 DE=AD , 連接BE方式2:間接倍長【經(jīng)典例題】作 CFXADT F,作BELAD的延長線于E連接BEN延長MD!J N, 使 DN=MD 連接CD例1: AABC中，AB=5, AC=3,求中線AD的取值范圍例2:已知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延長線上，DE交 BC 于 F,且 DF=EF,求證：BD=CE例3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線,E是AD上一點，且BE=AC ,延長BE交AC于全等三角形問題中常見的輔助線的作法 巧添輔助線一一一倍長中線【夯實

2、基礎(chǔ)】 例：AABC中，AD是NBAC的平分線，且BD=CD ,求證AB=AC方法1:作DE，AB于E,彳DFLAC于F,證明二次全等方法2:輔助線同上，利用面積方法3:倍長中線ADF,求證：AF=EF提示：倍長 AD至G,連接BG,證明ABD冬ACDA 三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如圖，在 &ABC中，AB#AC, D E在BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BAC提示：方法1:倍長AE至G,連結(jié)DG方法2:倍長FE至H,連結(jié)CH例 5:已知 CD=AB , B BDA= / BAD , AE 是 ABD的中線, 求

3、證：/C=/BAE 提示：倍長AE至F,連結(jié)DF證明 AAB昭 A FDE(SAS進(jìn)而證明AAD/AADC(SAS【融會貫通】1、在四邊形 ABCD中，AB /DC E為BC邊的中點，/ EAF, AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE DF交于G證明 AB=GC AF=GF所以 AB=AF+FCBAE= / 與AF、2、如圖，AD為AABC的中線，口可分/BDA交AB于E,DF平分/ADC 交 AC 于 F.求證：BE +CF > EF3、已知：如圖，取BC中，元=90?, CM?AB于M , AT平分？BAC交CM于D,交BC于

4、T,過D作 DE/AB 交 BC 于 E,求證：CT=BE.提示：過T作TNLAB于N證明 A BTN A ECDC截長補(bǔ)短法引輔助線思路：當(dāng)已知或求證中涉及到線段 a、b、c有下列情況時：a±b = C ,如直接證不出來，可采用截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩種方法放在一起叫截長補(bǔ)短法。通過線段的截長補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來。例 1.如圖， ABC中，/ AC由2/B, /1 = /2。求證：AB= AC+ CD證法一：（補(bǔ)短法）延長AC至點F,使得AF= AB在ABM AAFD. /AC樂 2ZB /AC氏 2/F

5、而/AC樂 / F+ / FDC. ./F= /FDC C5 CF.AB= AC CD證法二：（截長法）在AB上截取AE= AC 連結(jié)DE在 4AED和 AACDAE = AC<Z1=Z2AD = AD1 I.AE*AACD（ SAS：,DE=DC, ZAED=C'：AAED= AB iAEDB, /工CS= 2/£，2/3 = 4 + /即3= ASDB:.EB = ED=DC,AB = AE + EB= AC-DC而 AF= AC CF .AF= AC CD/1 = /2, CELBD交BD的延長線于E,證例2.如圖，在 RtABC中，AB= AC, / BAC=

6、90° , 明：BD=2CE分析：這是一道證明一條線段等于另一條線段的2倍的問題，可構(gòu)造線段2CE轉(zhuǎn)化為證兩CE _ ££ _ 2 Qp線段相等的問題，分別延長BA CE交于F,證ABEFi ABEC得二一，再證AAB* AACF得 BD= CR 1、如圖，AABC 中，AB=2AC AD平分/BAC,且 AD=BD 求證: CDL AC2、如圖，AC/ BR EA,EB分別平分/ CAB,/ DBA CDS點 E,AC求證;AB = AC+BD03、如圖，已知在UABC內(nèi)，/BAC=60 , NC =400 , P, Q分別在BC CA上，并且AP, BQ分別是

7、/BAC, /ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BPA4、如圖，在四邊形 ABCm，BOBA,AD= CD BD平分/ABC ,求證： A C =180°5 .已知：如圖， ABC中，A葉分/ BAC 若/ C=2Z B,證明：AB=AC+CD.6 .已知：如圖， ABC中，/A=60° , /B與/C的平分線 BE,CF交于點I ,求證：BC=BF+CE.7 .已知：如圖，在正方形 ABCm，E為AD上一點，BF平分/CBEi CD于F,求證：BE=CF+AE.與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩 邊的距離相等。對于有角

8、平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上 一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形(如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊)。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮 作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目 圖形和已知條件。(1)截取構(gòu)全等而 證 角 造如圖 1-1 , /AOC=BOC 如取 OE=OF 并連接 DE DF,則有 OED3A囹-1BD,從我們線段、等創(chuàng)B條件。例1. 如圖 1-2, AB/CD, BE 平分/ABC CE 平分 / BCD 點 E 在 AD 上，求證：BC=AB+G D簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=

9、CD從而達(dá)到證明的目的。這里面用 到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。 另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2. 已知：如圖 1-3, AB=2AC / BADW CAD DA=DB 求證 DC!AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取 線段相等。其它問題自已證明。例3. 已知：如圖1-4,在4ABC中，/C=2Z B,AD平分/ BAC求 證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等 三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的， 在長的線段上截取短的線段，來證明。

10、練習(xí)1, 已知在 ABC中，AD平分 / BAC /B=2/ C,求證：AB+BD=AC2, 已知：在ABCt, / CAB=Z B, AE平分/ CA皎 BC于 E, AB=2AC 求證：AE=2CE3, 已知：在 ABC中，AB>AC,ADJ/ BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC4.+AC已知：D是4ABC的/BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB DC 求證：BD+CD>AB(2)、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性 質(zhì)來證明問題。例1.如圖 2-1 ,已知 AB>A

11、D, /BAC= FAC,CD=BC求證：/ ADC廿 B=180?B圖2-2C分析：可由C向/ BAD勺兩邊作垂線。近而證/ ADCW/ B之和為平角例2.如圖 2-2,在 ABC中，/ A=90?, AB=AC / ABDW CBD 求證：BC=AB+AD的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。分析：過D作DH BC于E,則AD=DE=CE則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段例3.已知如圖2-3, 4ABC的角平分線BM CN相交于點P 求證：/ BAC勺平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證P到AB AC的距離相等練習(xí):1.如圖 2-4/AOPW

12、 BOP=15? PC/OA, PDL OA 如果 PC=4則 PD=() A 4 B 3 C 2 D 12,已知在 ABC中，/C=90? AD平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5.求AC3,已知：如圖 2-5, /BACW CAD,AB>AD CE!AB,工AE=2 (AB+AD .求證：/ D+/ B=18024 .已知：如圖2-6,在正方形ABCLfr, E為CD的中點，F(xiàn)為BC 上的點，/ FAE=/ DAE 求證：AF=AD+CF5 . 已知：如圖 2-7,在 RtABC中，Z ACB=90?,CD_AB,垂足為D, AE平分/ CA皎 CDT F,過 F 作 FH/A

13、B 交 BC于 H。求證 CF=BH圖2-7B(3)、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形求證CBBC圖3-23-3 在 ABC中3AMAE是/ BAC內(nèi)外角平分線分析EA! AF,EC3-4AIDGBDBAB, CML AD交AD延長線于AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BN垂直eDh圖示3-1ABC中，AD平分/ BAC AD=E± BE.求證：BD=2CE而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。求證：AM=ME3-1 , /BADW DAC AB>AC,CDAD于 D, H是 BC中點3-2, AB=AC /BAC=90? AD為/ABC勺平分線，CAD,交AD

14、的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AH分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長1, _求證：AM> (AB+AC 2D E:DH= (AB-A。 2分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證F AF EF'N 圖 3-3M*E圖 3-4不與*nCB. /Dv_上C從角的一邊上的一點作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交， 則截得一個等腰三角形， 垂足為底邊上的中 點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交)。A分析：題設(shè)中給出了角平分線AD自然想

15、到以AD為軸作對稱變換，作ABD于AD的對稱4AED然后只需證DMEC,另外由求證的結(jié)果 AM=1 (AB+AC,即2AM二 AB+AC也可嘗試作 ACM!于CM勺對稱 FCM然后只需證DF=CFW可。練習(xí)：1. 已知：在 ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中點,AE是/ BAC的平分線，且CELAE于E, 連接DE求DE2. 已知BE BF分別是4ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF±BF于F, AE1 BE于E,1連接EF分別父AB AC于M N,求證MN= BC(4)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等

16、腰三角形?；蛲ㄟ^4-1邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖 和圖4-2所示。例 4 如圖，AB>AC, /1=/ 2,求證：AB- AC>BD- CD例5 如圖，BC>BA BD平分/ ABC且AD=CD求證：/ A+/ C=18Q例6 如圖，AB/ CD AE DE分另I平分/ BAD# /ADE求證:練習(xí)：1 .已知，如圖，/ C=2Z A, AC=2BC求證： ABC®直角三角形2,已知：如圖，AB=2AC /1=/ 2, DA=DB 求證：DC!AC3 .已知CE AD是4ABC的角平分線，/ B=60°

17、 ,求證：AC=AE+CDBDC也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)角平分線加垂線，三線合一試試看要證線段倍與半，延長縮短可試驗4 .已知：如圖在 ABC中，/A=90° , AB=AC BD是/ ABC的平分線，求證：BC=AB+AD（5）、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6.如圖7, AABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC 交AC于點D, CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA, CE交于點F,在ABEFffi A BEC中，/1 = /2, BE=BE, / BEF=/BEC=90 , .ABEHABEC a EF=EC,從而 CF=2CE。又/ 1 + /F=/3+/F=90。，故/1 = /3。在 AABD 和. AACF 中，/1 = /3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ,AABDAACF a BD=CF, . . BD=2CE。注：此例中BE是等