2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷(理)預(yù)測(cè)卷以及答案

1、2020年高考等值試卷預(yù)測(cè)卷理科數(shù)學(xué)（全國(guó)n卷）4.四元玉鑒是元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰闡述多年研究成果的一部力著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者。 全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關(guān)。其中有一首詩(shī)： 有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.店友經(jīng)三處，沒了壺中酒.借問此壺中，當(dāng)原150分，考試時(shí)間120分鐘。）用程序框圖表達(dá)如圖所示，即本試卷分第i卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分 注意事項(xiàng)：多少酒？ ”（店友經(jīng)三處”意思是，經(jīng)過酒店三次，碰到朋友三次.最終輸出的x=0 （斗），則一開始輸入的x的值為（）有2 .第I卷每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答

2、題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第n卷必須用0. 5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷aT4B. Z8C.吏16c 31D. 一32上作答，答案無(wú)效。3 .考試結(jié)束，請(qǐng)將試題卷、答題卡一并收回。5,已知向量 a, b 滿足 a=3"b =273,且 a_L(a + b),則a在b方向上的投影為（A.B. -3C.考第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的。1 .已知復(fù)數(shù)z（1+2i ）=3-i （其中i是虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（B.第二象限C.第三象限

3、D. 第四象限6.實(shí)數(shù)y - 2x 2x，y 滿足 <x + y-2A0x - 27.給出下列4個(gè)命題:B. 4,則z= x- y的最大值是（C, 272D. 82,已知集合 A=x|2 至1!,B=y y2 6y+5E0，則 AljB=()x方程22上-上 =1表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是 8 a a -4A. 0,5B. 0,5 1C. 0,3D. 0,3 1命題p:存在x°e R,使得x2 + Xo + 1 M 0 ”的否定是2對(duì)任意的xCR,均有X +x+1<0 ;1 .答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上?？忌J(rèn)真核對(duì)答題卡上粘 貼的條形碼

4、的 準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目 ”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。3.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:回歸直線？=9+bX ,恒過樣本數(shù)據(jù)的中心（x, y）;x1.993.04.05.16.12y1.54.047.51218.01若直線a平行于平面口內(nèi)的一條直線b ,則a /口 .其中真命題的個(gè)數(shù)是（A. 0B. 1C.分別用下列函數(shù)模型來(lái)擬合變量y與x的相關(guān)關(guān)系，其中擬合效果最好的是（12A. y =-(x -1 ) B. y=log1x C. y=log2x 22D. y=2x 2.8. AABC的三內(nèi)角A, B, C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是 + b, sin C）,若m/n,則角B的大小為（a,b, c,設(shè)

5、向量D. 3n = (/-3a+ c, sin B sin A), m= (a兀A-6C._5jt62 71D-3B. 4兀C. 8兀D. 16兀9 .下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量 優(yōu)良 空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200表示空氣 重度污染”某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該 市，并停留兩天(于第二天晚上離開).以下由統(tǒng)計(jì)圖所做的推斷中，不正確的是()空氣臣m一指數(shù)-、一一 一，4A.此人停留的2天空氣質(zhì)量都 優(yōu)良”的概率為一13 2B.此人到達(dá)當(dāng)日空氣 重度污染 的概率為 132C.此人到達(dá)當(dāng)日空氣 優(yōu)良”的條件下，次日空氣 優(yōu)良”的

6、概率為一3D.此人停留兩日至少一天空氣優(yōu)良”的概率為-13x一一，、 e 一一 一,一一10 .函數(shù)f(x)=x的圖象大致是()11 .正四面體 ABCD的棱長(zhǎng)為4, E為棱BC的中點(diǎn)，過E作其外接球的截面，則截面面積的最小值為()12 .已知定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(1 x)= f (1+x),且當(dāng)0WXW1時(shí)，f(x) =1 x2.若直線 y=x + a與曲線y=f(x)恰有三個(gè)公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值的集合為()55A. (k + 1, k+_)(kEZ)B. (2k+1, 2k+_) (kWZ)4 45 5C. (2k, 2k_1)(kWZ)D. (k, k 1) ( kE

7、Z)44第II卷(13-21為必做題，22-23為選做題，共90分.)二.填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)的 題號(hào)后的橫線上.)x 113 .在(-f二)n的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 。23x14 .設(shè)當(dāng)x = 6時(shí)，函數(shù)f (x) = sin x2cos x取得最大值，則cos6 =。215 . 一種酒杯是拋物線 x =4y繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的，將長(zhǎng)為定值 £的質(zhì)地均勻的玻璃棒隨意地放入酒杯內(nèi)(假設(shè)杯壁足夠高，能沒入玻璃棒)，則玻璃棒的重心到杯底水平線的最小距離d關(guān)于棒長(zhǎng)£的關(guān)系式d(£戶。1

8、6 .在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A 1B1C1D1中，M是AiDi的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面BCCiBi上運(yùn)動(dòng).現(xiàn) 有下列命題：若點(diǎn)P總保持PAXBD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條線段；若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為號(hào),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段圓??；若P滿足/ PAC 1= Z MAC 1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段拋物線；若P到直線AD與直線CCi的距離相等，則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是一段拋物線；若P到直線BC與直線CiDi的距離比為1： 2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段雙曲線；其中真命題是 .(寫出所有真命題的序號(hào))三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必做題，每個(gè)試題考生都必修作答。第 22、23題

9、為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17 . (12分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(an,Sn )(nw N*昨直線2x y 1 =0上.(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)直線x=an與函數(shù)f (x )=x2的圖象交于點(diǎn) A ,與函數(shù)g(x) = log2 x的圖象交于點(diǎn)Bn , 記bn =04OBn (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求數(shù)列bn 的刖n項(xiàng)和Tn.18 .(12分)本市攝影協(xié)會(huì)準(zhǔn)備在 2019年10月舉辦主題為 慶祖國(guó)70華誕一一我們都是追夢(mèng)人”攝影 圖片展。通過平常人的鏡頭，記錄國(guó)強(qiáng)民富的幸福生活，向祖國(guó)母親的生日獻(xiàn)禮.攝影協(xié)會(huì)收到了來(lái)自社會(huì)各

10、界的大量作品，打算從眾多照片中選取 100張照片展出，其參賽者年齡集中在25,85之間，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下:+頻率/組距0.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005(1)求這100位作者年齡的樣本平均數(shù) x和樣本方差s2 (同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代 表)；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，作者年齡X服從正態(tài)分布N (也。2),其中N近似為樣本平均數(shù)x,。2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布，求 P(60 <X <73.4);附：V180 %13.4，若 X N(N,。2),則 P(N 仃 <X E 卜十")=0.

11、6826,P(二一2二：二 X 三2二)二0.9544, P(一3二：二 X 二3二)二0.9974 .(ii)攝影協(xié)會(huì)從年齡在45,55和65,75的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了 7人參加“講述圖片背后的故事”座談會(huì)，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這 3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間45,55的人數(shù)是Y,求變量丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.19 . (12分)一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所 示，其中正視圖和俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直 角三角形，M是AB的中點(diǎn).(1)求證：CM,平面FDM ;(2)若N為線段FC上一點(diǎn)，且同=£言，二面角F -DM -N的余弦值為吏，求人的值.32220

12、. (12分)已知直線l : y=kx + 1與曲線C：3+Z=1(a>0,bA0)交于不同的兩點(diǎn) A,B , O為坐標(biāo) a b原點(diǎn).(1)若k= 1, |OA|=|OB| ,求證：曲線 C是一個(gè)圓；(2)若曲線C過(0,2)、(1,0),是否存在一定點(diǎn) Q,使得WAGB為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.x221 . (12 分)已知函數(shù) f(x) = e 1 xax.(1)當(dāng)x0時(shí)，若不等式f(x0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)求證：x>0時(shí)，2ex xln x _ 3sin x> 2.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答。如

13、果多做，則按所做的第一題記分。22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分) x = 1 2t已知曲線C1：, 上 (t為參數(shù))；以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立 y =2 . t極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 P=6sin8 .(1)分別求曲線CC2的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線G、C2交于兩點(diǎn)A, B ,點(diǎn)P是曲線C2上異于點(diǎn)A, B任意一點(diǎn)，求4PAB的面積S的最大值.23 .選彳4-5:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x) =|x 31x+6(1)求不等式f(x) <12的解集；1 2 3(2)對(duì)于正頭數(shù)a,b,c右不等式f(x)之一+-+-對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立

14、，求a + 2b+3c的最小值.a b c高三訓(xùn)練試題(理科數(shù)學(xué))參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)8.【解答】選 C 若 m/n,則(a+b)(sin B sin A) sin C(J3a+c)=0,由正弦定理可得 (a+b)(ba) L一 .22 2 U _a+c bZ-35 7t rj.、工一c(Y3a + c) = 0,化為 a+cb -丑ac，. 8s B=O = -.-BH0,*'B=E，故選 C.【命題意圖】考查向量運(yùn)算、解三角形(正余弦定理).考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的素養(yǎng).、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。1 7. i5 53-i3-i 1-2i 1 -7i1 .【解答

15、】選D.Z=&1 = 1+2i1+2i 1-2i 5【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)9.【解答】選D. D選項(xiàng)的隨機(jī)事件概率應(yīng)為 13【命題意圖】以統(tǒng)計(jì)圖表形式，考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、條件概率，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言 轉(zhuǎn)化能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計(jì)概率思想；數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)。2.【解答】選 A. / A=(0,2,B=1,5 ，故AU B=(0,5.10 .【解答】選A. f(x)為非奇非偶函數(shù)，排除 C; f ( 1)= 1 e< 0 ,排除B;又xT +=c, f (x)T , 且無(wú)漸近線，排除 D;答案為A.也用導(dǎo)

16、數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)推斷 .【命題意圖】考查解不等式及集合的運(yùn)算，考查抽象概括、運(yùn)算求解能力【命題意圖】考查函數(shù)的圖象，考查探究能力、數(shù)形結(jié)合思想，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) .11 .【解答】選B.將正四面體 ABCD補(bǔ)形成正方體可得，正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球.3.【解答】選A.由表中的數(shù)據(jù)分析變量 y與x的變化規(guī)律，結(jié)合所給四個(gè)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：y與x存在正相關(guān)關(guān)系，排除 B；又隨著x增大，y加速增長(zhǎng)，故排除 C, D.【命題意圖】本題考查 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、變量間的相關(guān)關(guān)系、回歸分析?？疾槌橄蟾爬芰?、數(shù)據(jù)處理能力。由正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4,可知正方體的棱長(zhǎng)為解得r=J6

17、 過e作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心2/2 ,可得外接球半徑 R滿足2R=2 J2 V3，。的距離最大時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，此4.【解答】選 B.i=1, x=2x1,i =2 - x=2(2x-1 ) 1=4x3,i =3時(shí)球心。到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，可得截面圓的半徑為 圓的面積最小值為 S = n r2 = 4瓦.r = Jr2_2= 2,得到截面【命題意圖】以數(shù)學(xué)文化為背景，考查算法及程序框圖，抽象概括能力、應(yīng)用意識(shí)5.【解答】選C.由a J-(a +b )可得:-9 _ 3 . 32出 212.【解答】選2aa+b)=a +a b =0 ,所以a b = -9.向量a在

18、b上的投影為【命題意圖】考查向量的數(shù)量積，考查基礎(chǔ)知識(shí)，抽象概括、運(yùn)算求解能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)6 .【解答】B.作可行域如右圖，z=J5x - y 、一五 表不可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P( x, y)到y(tǒng)=x距離的J2倍，如圖在C(2,6)處，Zmax=4.17 y6543【命題意圖】考查不等式、線性規(guī)劃等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算求解的能力，直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)7 .【解答】選C.真，原方程表示雙曲線的充要條件是(8+a Xa-4) >0 U a>4或a<-8； 假，P：對(duì)任意的xC R,均有x2+x+1W0”假，還有可能a*a;C正確.【命題意圖】考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)易邏輯線性回歸、

19、空間平行關(guān)系等知識(shí)，考查推理論證能 力及邏輯推理的素養(yǎng).1WxW1 時(shí),當(dāng)a = ±1時(shí),8 . f(x)為周期是2的偶函數(shù), f (x) = 1 -x2.f(x) = 1-x2(x 1-1,1)有兩個(gè)公共點(diǎn);5當(dāng) y = x+a與 f(x) = 1-x (xw -1,1)相切時(shí)，a=-45當(dāng)a =一時(shí),4由圖象知，當(dāng)點(diǎn)；結(jié)合周期2y = x+a與f(x) = 1x (x= R)有兩個(gè)公共點(diǎn);-a1 - -1 I IP a= 11 - I4,42時(shí)，直線y= x+ a與f (x)= 1 x ( x=R)有三個(gè)公共5T=2 知，aJ2k+1, 2k+ (k Z).m B.4x = 2(

20、 4x -3) -1 =8x -7, i =4 ,輸出 8x 7= 0, x =,故選 B.8【命題意圖】考查空間幾何體與球的切接問題，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)模型思想，直觀想象、BC【命題意圖】考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)（奇偶性、周期性、分段函數(shù)等）的應(yīng)用、考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想，直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.13.【解答】只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 2+1 =5,即n =8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于26 1 2C8（-） =72【命題意圖】考查二項(xiàng)式定理，考查運(yùn)算求解能力12-12;14.【解答 y =<5

21、（ sinx 一一 cosx） =45sin（xot）,（cosa =,sin ="）當(dāng) xa =即 x =ot+一時(shí)5.55522取最大值，所以 0 =a +cos0=cos（a +） =-sina =-2= = -2522；55【命題意圖】考查三角恒等變形，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。15.【解答】如圖，當(dāng)|AB| =f >4=2 p時(shí)，弦AB可以經(jīng)過焦點(diǎn)F,作A、B在準(zhǔn)線上的射影 A、B1 ,則 f = AB gAF| 力 BF =AAJ + BB =2 MM 1| =2（d+£）=2 （d+1）, d >2-1 （當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時(shí)取到

22、等號(hào)）；故d（f尸j1.,2當(dāng)AB|=fW4時(shí)，AB平行于x軸時(shí)距離d最小，d=j16,'"2 , 1,j當(dāng)0 MF E4時(shí)綜上d F = 16二一1,當(dāng)44時(shí)2【命題意圖】考查用拋物線的定義求最值，考查抽象概括、運(yùn)算求解能力，分類討論、數(shù)形結(jié)合思 想；考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).對(duì)于：作 P已 BC, EF±AD,連接 PF,則 PF±CG ；作 PQ±CG.由 PF = PQ ,在面BCGB1內(nèi)，以C為原點(diǎn)、以直線 CR CG為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) Px,y）, Ti+y2 = x ,化簡(jiǎn)得，x2-y2=1, P點(diǎn)軌跡所在曲線是一

23、段雙曲線 .故錯(cuò)誤。對(duì)于：點(diǎn)P到點(diǎn)G的距離與點(diǎn)P到直線BC的距離之比為2:1,故點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn) G、 為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線，故正確；故答案為【命題意圖】本題考查空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義、交軌法、解析法等，考查 空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、探究能力，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理 寺系喬O三、解答題：共70分。（一）必考題：共 60分。17. （12 分）解：（1） .點(diǎn)（an,Sn ）在直線 2xy 1=0 上，所以 2anSn 1=0 當(dāng) n = 1 時(shí)，2a1&1=0.二 a = 1.2 分當(dāng) n 2 2時(shí)，2%一1 &一1-1 = 0 a

24、一，得 an = 2an_1, = 2,( n 2 2 ).4 分an-1所以數(shù)列Qn 為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.an = 2n/，.6分 An(2n,4n),Bn(2n,，n 1) bn = OAn OBn = 4n + (n- 1)4n-1 =n 41.7 分16.【解答】對(duì)于：過A作BD1的垂面ACD,交面BCGB1于直線BG,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段BG ,故正確;對(duì)于：點(diǎn)正確；P的軌跡為以A為球心、半徑為撞的球面與面BCGB1的交線，即為一段圓弧，故對(duì)于：點(diǎn)P在以A G為軸、AM為母線的圓錐面與面 BCGB1的交線，而 AM/面BCC1B1,故點(diǎn)P 的軌跡為一段拋物線；故正確；Tn

25、=1 + 2 4 + 3'42+ HI +n'4n,4Tn =1-4 + 2 42+111 + (n-1)'4n-l +n ,4n ，得 -3Tn 1- n 4n (4 42 43 III 4n)n 4(1 -4n,)n 1 n11 n=1 -n 4n1 -n 4n -(4n -4)二一 (一-n)4n1 -43331 3n -1 n所以 Tn = + 4 .12 分99【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、等比數(shù)列的定義；向量的數(shù)量積；錯(cuò)位相減法求和a(1)根據(jù)表達(dá)式得到 an = 2an，從而得到數(shù)列滿足 一 = 2 ,故得到結(jié)論； an 1(2)根據(jù)向量數(shù)量積的定義得到b

26、n =n 4n-,錯(cuò)位相減得到前n項(xiàng)和?！久}意圖】考查向量的數(shù)量積、數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、等比數(shù)列的概念、數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法.考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)18. (12分)解：(1)這100位作者年齡的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x =30父0.05 +40 X0.1 +50X0.15 +60M0.35 +70X0.2 +80X0.15=602 分222222s =(30) M0.05 +(-20) M0.1+(10) MM0.15+0M0.35+10 M0.2+20 父0.15=180 4 分(2) ( i)由(1)知，X N(60,180),1從而 P(6

27、0 <X <73.4) =3 P(6013.4 <X <60 +13.4) =0.3415 ;(0.3414 也可給分)7 分(ii)根據(jù)分層抽樣的原理，可知這 7人中年齡在45,55內(nèi)有3人，在65,75內(nèi)有4人，故丫可 能的取值為0, 1, 2, 3P"。)喑4c3c42一,P(Y=1)= 35C731835 'C2C1P(Y =2)C3135所以丫的分布列為Y0123P41812135353535 .4181219所以 Y的數(shù)學(xué)期望為 E(Y) = 0x- + 1x- + 2M3父一=一 1舒35353535 7【命題意圖】本題考查統(tǒng)計(jì)抽樣、頻率

28、分布直方圖、正態(tài)分布、超幾何分布，考查數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解 能力、識(shí)圖能力，考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)19. (12 分)解：(1)由條件知 FD _L DC, FD _L AD,ADC DC = D, FD _L 平面 ABCD j FD _L CM .2分;AD = AM = MB = BC = a,. DAM = . CBM = 90, DM = MC = V2a, CD = 2a,，DM 2 + CM 2 = CD2,. CM _L DM .4 分二 CM _L DM , FD C DM| = D,二 CM _L 平面 FDM .5分T T(2)以D為原點(diǎn)，DA、DC、DF為x

29、、v、z軸的非負(fù)方向建立空間直角坐標(biāo)系.M (a,a,0), F (0,0, a),*2aQ FC =(0,2a,-a)DM 二 a,*)FN =KFC=(0,2ka,-?普),DN =DF FN= 0,2 a, 1- a設(shè)平面DMN的法向量為n=(x,y,z), r n DM = ax ay = 0由T得,Ri DN =2 ay 1 - )az = 0取z = 2九,則y =九一1,x = 1 九.n1 = 1 - ,- 1,2 '.由(1)知，平面FDM的法向量為 MC = (a, a,0)叵噸CM %-1 T由題意 cos< CM , ni > =|2(九-1) a|

30、72a ,2(九一1 )2 :(2兒)26.分.N_3Z一 310分1-斛倚=.12 分2【解法2】由(1)知，二面角 F - DM C為直二面角,即二面角 FDM N與NDM C互余.由題意知，二面角N-DM-C的正弦值為從而正切值為 12在面DCEF內(nèi)過N作NGLDC,垂足為 G;在面 AC內(nèi)作 GH ± DM ,垂足為 H,連結(jié) NH.則/NHG為二面角 FDMC的平面角.8分NG=(1九)a, GH = V2a九，1-01分,.，, NG (1- )a 11在 RtANHG 中，由 tan/NHG =尸=,解得= .12分GH 、2a-，22【命題意圖】本題考查三視圖、線面垂

31、直、面面垂直的判定與性質(zhì)、用空間向量求二面角等，考查化歸轉(zhuǎn)化、運(yùn)算求解、推理論證與表達(dá)能力，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).QA QB= (x1 -%,乂 - y0)迅一,丫2-y0)20.(12分)【解】(1)證明：設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為 A(xi, y1)，B(X2,y2)丁 | OA ROB |dx： + y：=儼2 + v2即:2x12Y122=x2y2=(X1-x0)>, (X2 _X0) 'yi- y0y2-y02=x1x2-x0(x1x2 )x0'kx|1 -y0：,：, kx21 -y0. 2 2 2 2, , x1 一 x2 = y2 y1 A,

32、 B 在 C 上22.xy1ab2,x2121 22a2上.1b2H：1 k2. +k1 -y0-x0x1x2x2 1-y02，兩式相減得:22x1 x22a /22、5(y -Y1 )b2 a b2即:=b22-3=1 k2-k2 42k："tk 1-y0 -x0 正工2,2x01 - y0曲線C是個(gè)圓證?t 2：設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(o y1), B(x2, y2)(x1 #x2): |OAROB |. vxi2 +y：2222”2 +y2 , x +(x +1)=2. 2x2x2 1 ,2(x1 -x2 Xx1 +x2 +1 ) = 0,x1 +x2 = -1y =x 1

33、由x2 y2得，12.2 - 1a ba2 b2 x2 2a2x a2 1 -b2 =0，L 0-31k - 21| k 1 -y0- x0 k 2.=k%1 一22y0 -5 k 2x0k 3k2 4x0 = 0當(dāng)，3時(shí)，即2義-512V。22x01- y017 - T 3 9 33 一時(shí) QA QB=+=.84 864171733故存在te點(diǎn) C), I,不論k為何值，QAQB =、為定值.86412分xi "2 二蕓 a b；2a 2 = 1,= a2 =b2,，曲線 C是一個(gè)圓. a2 b2【命題意圖】本題考查直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求

34、 解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力及方程思想的應(yīng)用，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。1分2(2)由題意知，橢圓 C的方程為 L+x2=1421. (12 分)解：(1) f'(x) = ex 1 - 2ax,令 g(x) = ex-1 - 2ax ,貝U g'(x) = ex_ 2a假設(shè)存在點(diǎn)Q(%,y0 ),設(shè)交點(diǎn)為A(x1,y)B(x2, y?),當(dāng)2a<1,即a<時(shí)，乂三10,匹)，g(x)之0,2y22 得，J x2 =1k2 4 x2 2kx-3 = 0二 g(x)單調(diào)遞增，g(x)2 g(0) = 1 2a之。，即 fx)>0,L4二f(x)在0,3 )

35、上單調(diào)遞增.f(x)> f(0)=0,符合題意.x1 "2 =-,x1x2 =-k 4 k 4直線l : y =kx +1恒過橢圓內(nèi)定點(diǎn)(0,1 ),故 A0恒成立.1當(dāng) 2a a 1,即 a >一時(shí)令 g (x )= 0 得，x= In 2a> 0, 2在0,ln 2a a,g '(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng) xw (0,ln2a)時(shí)，有 g(x) <g(0) =0,即 f'(x) < f'(0 ) = 0,所以f(x作區(qū)間(0,ln2a)上為減函數(shù)，f (x) < f (0 )= 0,不合題意.5分綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為f-o,1 16分2(2)證明：x>0 時(shí)，0x 2e -xln x - 3sin x 2xu 2(e -1) >x In x -3sin x,( x >0).1x x2x2由(1)得，a=2 時(shí)，x >0,e >1+x 十萬(wàn)= x > 0,2(e 1)>2x + x 8,分又 x 0,ln x : x -1= x 0,xlnx : x x-1 ,2只需證明 x>0,2x+x >x(