酒杯中的解析幾何問題

1、 張啟津張啟津張華同學(xué)家中有三種酒杯，一種酒杯的軸截面張華同學(xué)家中有三種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯（如圖是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯（如圖1），另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，），另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬杯口寬 cm ,杯深杯深8cm（如圖（如圖2），稱之為拋），稱之為拋物線酒杯，還有一種軸截面近似橢圓的橢圓酒物線酒杯，還有一種軸截面近似橢圓的橢圓酒杯，測量后得知杯口寬杯，測量后得知杯口寬4cm，杯深為，杯深為9cm，中，中間最寬處距杯底為間最寬處距杯底為5cm（如圖（如圖3）。）。4 2圖（1）圖（2）圖（3）問題一：問題一：有一天，張華不小

2、心將一根粗細(xì)均勻，有一天，張華不小心將一根粗細(xì)均勻，長度為長度為l的細(xì)棒掉進(jìn)了直角酒杯中，假設(shè)細(xì)棒的細(xì)棒掉進(jìn)了直角酒杯中，假設(shè)細(xì)棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時，細(xì)棒在酒杯中么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時，細(xì)棒在酒杯中的位置應(yīng)該是下面哪一種情形？請加以證明。的位置應(yīng)該是下面哪一種情形？請加以證明。分析：注意到細(xì)棒的粗細(xì)均勻，因此細(xì)棒的平衡狀態(tài)也就是細(xì)棒重心（即中心）處于最低位置的狀態(tài)。問題一抽象成數(shù)學(xué)問題即定長為l的線段AB的兩個端點在折線yx上移動，確定AB的位置，使中點M到x軸的距離最小。ABM問題二問題二：若張華是將

3、細(xì)棒若張華是將細(xì)棒( (長度仍為長度仍為l) )掉進(jìn)拋物掉進(jìn)拋物線酒杯中，也線酒杯中，也假設(shè)細(xì)棒的端點與酒杯壁之間的假設(shè)細(xì)棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡摩擦可以忽略不計，那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時，細(xì)棒在酒杯中的位置應(yīng)該是下面哪一狀態(tài)時，細(xì)棒在酒杯中的位置應(yīng)該是下面哪一種情形？請加以說明。種情形？請加以說明。問題二抽象成數(shù)學(xué)問題即A定長為l的線段AB的兩個端點在拋物線2xy上移動，確定AB的位置，使其中點M到x軸的距離最小。BM利用結(jié)論說明實際問題即(1)當(dāng)細(xì)棒長度l酒杯拋物線通徑時，細(xì)棒通過拋物線焦點的時候，達(dá)到平衡狀態(tài)。如下圖(2)當(dāng)細(xì)棒長度l酒杯拋物線通徑時，細(xì)棒呈水平時，達(dá)到平衡狀態(tài)。如下圖AB課外思考：如果細(xì)棒是掉進(jìn)了橢圓酒杯當(dāng)中，你能猜想最后平衡狀態(tài)是怎樣的嗎？圖（3）如圖，以橢圓的中心為原點建立直角坐標(biāo)系。得出橢圓方程為：229125100yx通徑為：40