第1章《集合與簡(jiǎn)易邏輯》單元測(cè)試題.

1、第 1 章集合與簡(jiǎn)易邏輯單元測(cè)試題劉 忠（江西省永豐中學(xué)特級(jí)教師）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1已知集合 A（ x,y） |x 2+y2=4 ,B=（ x,y） |x 2+y2=1，則 A、B 的關(guān)系為（）A.A BB.A ? BC.B ? AD. A B=答案： D.解：因?yàn)榧螦、 B 都是以原點(diǎn)為圓心的圓，其半徑分別為2、 1（注意：圓是曲線，不包括其內(nèi)部）， A B= .評(píng)析：本題易錯(cuò)選C. 主要是由于韋恩圖的干擾 .2.已知集合 M=直線 ，N圓，則MN 的元素個(gè)數(shù)為（）A. 0B. 1或 2

2、C. 0或1或2D.不確定答案：A.解：沒有既是直線又是圓的圖形，MN.評(píng)析：本題易錯(cuò)選C. 認(rèn)為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或1或 2.3.對(duì)于以下集合與集合的關(guān)系：,刎,0 ,0, 0. 其中正確關(guān)系的個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C. 5D. 6答案： D.解：以上六個(gè)關(guān)系都正確的.本題易錯(cuò)選 C，認(rèn)為是錯(cuò)誤的 .4.若 A4,5,6, B1,2,3,則集合 AB 中的所有元素之和為( )A. 15B. 14C. 27D. -14答案： A.解： AB 1,2,3,4,5， AB 中的所有元素之和為15，故選 A.115.若集合 Ay yx3 ,1x1 , By y2x1，則 CBA等于( ),0xA

3、. (, 1B.,1C.D. 1答案： B. 解：因?yàn)?A1,1 ,B,1 ，所以 CB A,1故選 B.6若 A、 B、 C 為三個(gè)集合， ABBC ，則一定有（）A.A CB. CAC. ACD. A答案： A. 解：由 ABBC知，ABB,A BC,AB C，故AC.、有限集合S中元素個(gè)數(shù)記作cardS，設(shè) A 、 B 都為有限集合，給出下列命題：7 AB的充要條件是 card A B = card A + card B ； AB 的必要條件是 card Acard B ； AB 的充分條件是 card Acard B ； AB 的充要條件是 card Acard B .其中真命題的序號(hào)

4、是（）A. 、B.、C.、D.、答案：B 解：由 cardAB = cardA + card B + cardAB 知 card AB = cardA +cardBcardAB=0AB，故正確；由 AB的定義知cardAcardB ，故正確；若 cardAcard B ， AB 亦可能成立，故不正確；顯然不正確 .8. 已知集合 Ax |10 , Bx | 2 x5，則U ,的關(guān)系最恰當(dāng)?shù)膞27 x 10e A B一個(gè)是（）A.A ? BB.ABC.ABD.BA答案： C. 解：ex |1或27 x 10 = 022=U A7x100 x x | x7x100或x7x100x 2x|x27 x

5、100x | 2x5 ，故選C.B評(píng)析：本題易錯(cuò)選A，原因是認(rèn)為 eU Ax |10.7 x10x29. 已知集合 A= x | x23x100、B=x | m1x2m1分別為函數(shù) f(x)的定義域和值域，且 BA ,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）A.,3B.2, 3C.3,3D.3,答案： B. 解：集合 A、B 分別為函數(shù) fx 的定義域和值域，A、 B. A=2 , 5,再 由BA且B， 知m12m1， 即m2； 又2m1m33m3 . 綜上，知 m2, 3 .故選 B.2m15m3評(píng)析：本題易錯(cuò)選C，原因是忽視了B的條件 .10. （理科）若關(guān)于x 的不等式x2x1a 的解集為，則 a

6、的取值范圍是（）A.3,B.3,C.,3D.,3答案： C. 解：因?yàn)閤2x 1表示數(shù)軸上坐標(biāo)為2,1的兩點(diǎn)這間的距離，所以x2x 13 ，因此要使不等式無(wú)解，只需a3 ，故選 C.（文科）若不等式a2 x22a 2 x40 對(duì)一切 xR 恒成立，則a 的取值范圍是（）A.,2B.2,2C.2, 2D., 2答案：C.解：當(dāng) a2 時(shí)不等式顯然成立； 當(dāng) a2 時(shí) a 2,2 a 2 . 所以2 a 2 ，0,故選 C.評(píng)析：本題易錯(cuò)選B，原因是丟掉了a2 的情況 .11.（理科）已知不等式ax2bxc0 a0 的解集為 xx,0 ，則不等式 cx2bxa0 的解集為（）A.x | x1 或x

7、 1B.1 1x |xC.x | x1 或x1D.x |1x1（ 文 科 ） 若 二 次 不 等 式 ax2bx c0 的 解 集 是 x 1x1,那么不等式542cx22bx a0 的解集是（）A.x|x< -10 或 x > 1B.x| 1< x <1C.x|4< x <5D.x|-5< x < -445（理科）答案：A.解 ： 易 知 a0 ， 所 以 b, c,且c0，所以aac x2b x a 0即 x2 b xa0 ，所以 b11, a11,又11 ，cccc所以 cx2bxa0 的解集為x | x1 或x 1 ，故選 A.11bb9

8、b9,0，且 54aa20c（文科）答案：A. 解：易知 a1又由 a 01cc1a10,54aa202c知 c0 ，所以 2cx 22bxa0 即 x2b xa0 ，所以 x10x 10 ，故選 A.c2c12. （理科）設(shè)集合 I= a1, a2 , an ，若集合 A、B 滿足 A B=I ，則稱 (A,B) 為集合 I的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)， (A,B)與 (B,A) 為集合 I的同一種分拆 . 則集合 I的不同分拆的種數(shù)為（）A. 3nB.2nC.3n 1D.2n 1（文科）若 ( a1 , a2 , amB)a1 , a2, am , am 1, an , 則 B 的

9、個(gè)數(shù)為（）A. 3mB.2mC.3n mD.2n m（理科）答案： A. 解：如圖，滿足題意的集合A、B 的組數(shù)A B 中所有的元I 3n ，故選 A.AB素進(jìn)入?yún)^(qū)域、的方法數(shù)（文科）答案： B. 解：集合 B 除了要有元素 am 1, am2, an 這 nm個(gè)元素外，還需有元 素 a1, a2 , , am 這 m 個(gè) 元 素 中 的 個(gè)或 個(gè) 或 ,或 m 個(gè) ， 所以 集 合 B 的個(gè) 數(shù)為Cm0Cm1Cm2Cmm2m ，故選 B.二、填空題：本大題共4 小題，每小題 4 分，共16 分.13.命 題“若xy0，則x0或y0”的 逆否命題是.答案：若 x0且y 0，則 xy 0.14.

10、 已知集合 A= 1, a, b ，集合 B=a,a2,ab ，若 A=B，則實(shí)數(shù) b2008a2009.答案： 1. 解： A=B，1 a ba a2ab,由 a0, a1及 a2a1 0，知1aba a2ab,a1, b0. 因此 b2008a20091.15.設(shè) f : xx2x0 是集合 A 到集合 B 的映射，如果B1,2，則 AB .解：集合A 中的每一個(gè)元素在集合B 中都有惟一的象，但B 中的元素未必都有原象，CB.再由映射的定義，知A= 1 或2 或，2 ，故 AB或 .16.（理科）對(duì)于以下命題：（ 1）若 ( a1 , a2 , amB)a1, a2 , am , am 1

11、 , an , 則 B 的個(gè)數(shù)為 2n m ；（ 2）設(shè)命題p：“對(duì)一切實(shí)數(shù)x， x 22x30 ”，則非 p 是 “ 對(duì)一切實(shí)數(shù)x，x 234x30 ”；（ 3）已知 p,q 都是 r 的必要條件，s是 r 的充分條件，q 是 s 的充分條件 ,則 r 是 q 的必要條件；（ 4）若 A 表示滿足條件p 的集合， B 表示滿足條件q 的集合，則 “ p 是 q 的充分不必要條件“ A? B”.其中正確命題的序號(hào)是（將所有正確命題的序號(hào)都填上） .（文科）對(duì)于以下命題：（ 1）含有 n 個(gè)元素的集合，其子集的個(gè)數(shù)為2n；（ 2）對(duì)于命題“矩形的對(duì)角線相等”，其否命題是“不是矩形的四邊形對(duì)角線不

12、相等”；（ 3）已知命題 A、B、C，若非 A 是非 B 的充分條件， B 是 C 的必要條件，則 A 是 C 的必要條件；（ 4）若 A 表示滿足條件 p 的集合， B 表示滿足條件 q 的集合，則 “ p 是 q 的充分條件” “A B”.其中正確命題的序號(hào)是（將所有正確命題的序號(hào)都填上） .（理科）答案：（3），（ 4） . 解：命題（ 1）的正確答案為2n. 事實(shí)上，集合B 除了要有元素 am 1 ,am 2, an 這 nm個(gè)元素外，還需有元素 a1, a2 , am 這 m 個(gè)元素中的個(gè)或個(gè)或, 或m 個(gè)，所以集合 B 的個(gè)數(shù)為 Cm0C1mCm2C mm2m ；命題（ 2）的正確

13、答案為“ 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x， x 234x30” .（文科）答案： （ 1）、（ 2）、（3）、（ 4） .三、解答題：本大題共6 小題，共 74 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟 .17（本小題滿分12 分）已知三個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,c 成等差數(shù)列，且ac ，求證： 1 , 1 , 1不可能成等差數(shù)列 .a bc證明：（反證法）假設(shè)1,1,1 成等差數(shù)列，則211,即2acb a c .abcbac又因?yàn)?a,b,c 成等差數(shù)列，所以2bac ，所以 2aca cac2，所以 a2c22ac 4ac,即 a20 ，所以 ac ，這與 ac 矛盾，c111故假設(shè)不成立，即,c 不可能成等

14、差數(shù)列 .ab18（本小題滿分12 分）已知 p: 方程 x2mx10 有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根； q: 方程 4x24m2 x 1 0 無(wú)實(shí)根 .若“ p 或 q”為真，“p 且 q”為假，求 m的取值范圍 .解： p :m240,m 2 ； q :216 16 m2m 0,4 m 3 0 .16 m 2因?yàn)椤?p 或 q”為真，“ p 且 q”為假，所以p、 q 一真一假 .（ 1）若 p 真 q 假，則2m2,m3 ；4m3m0,m24m30,m 2 .（ 2）若 q 真 p 假，則m2,1綜上所述， m的取值范圍是m 3或1m 2.19. （本小題滿分 12 分）設(shè)集合 Ax | x24x0

15、, xR,Bx | x 22 a1 xa210, x R . 若 BA ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解： A4,0，又 BA，所以 B, 或4，或0，或4,0 .（1）當(dāng) B時(shí)，228 a 8 0a1 .4 a 14 a 1（2）當(dāng) B4時(shí)，0,且168 a 1 +a21 0 a.（3）當(dāng) B0 時(shí)，0, 且a21 0a1.（4）當(dāng) B4,0 時(shí)， 4 2 a1 ,且 a21 0 a1.綜上所述，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 a1或 a 1.20. （本小題滿分 12 分）已知 Ax | x22p x10, xR , R= 正實(shí)數(shù) ，若 A R+=, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍 .解：（ 1） A=時(shí)，0

16、4p0 ；（2）A2p 0時(shí)，方程無(wú)零根，兩根均為負(fù)，p 0 .0綜（ 1）（ 2）知， p4.21. （本小題滿分 12 分）（理科）設(shè)集合 A x 12 x4 ， B x x23mx 2m2m 1 0 .32（ 1）當(dāng) x Z 時(shí)，求 A 的非空真子集的個(gè)數(shù)；（ 2）若 B= ，求 m 的取值范圍；（ 3）若 A B ，求 m 的取值范圍 .（文科）解關(guān)于x 的不等式x1a aR .x1解：（理科）化簡(jiǎn)集合A= x2 x5，集合Bx (x m1)(x2m 1)0 .（ 1）xZ ,A2,1,0,1,2,3,4,5 ,即 A 中含有8 個(gè)元素，A 的非空真子集數(shù)為 282 254個(gè).（ 2）

17、顯然只有當(dāng)m-1=2m+1 即 m= 2 時(shí)， B= .（ 3） m=2時(shí)， BA ；當(dāng) m< 2 時(shí)， 2m1m12 m0 ，所以 B= 2m 1, m1,因此，要 BA ，則只要2m1236 ，所以 m 的值不存在；m15m2當(dāng) m> 2 時(shí), B=（ m-1,2m+1 ）,因此，要 BAm12則只要1m2 .，2m15綜上所述，知m 的取值范圍是：m= 2 或1m2.（文科）因?yàn)閤11axa 10ax a 1 x 1 0 ，1 a1 1 aa 0x 1x 1x 1x1所以（ 1）當(dāng) a0 時(shí)， a 1x 1；a（ 2）當(dāng) a0 時(shí)， x1；（ 3）當(dāng) a0 時(shí)， xa11或

18、x.a綜上所述， 當(dāng) a 0 時(shí)，解集為x | a 1x1；當(dāng) a0 時(shí)，解集為 x | x 1 ；當(dāng) a 0a時(shí)，解集為或a1 .x | x 1 xa22. （本小題滿分 14 分）（理科）對(duì)于函數(shù)f(x),若 f(x)=x,則稱 x 為 f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)” ，若 f ( f ( x)x，則稱 x 為 f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)” ，函數(shù) f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和 B，即A x | f (x)x ， B x | f f (x)x .(1) 求證： AB；(2) 若f xax2aR x RA B( )1 (,) ，且，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .（文科）已知集合A( x , y ) | x 2mxy20, xR ，B(x, y) | xy 10,0x2，若AB，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍（理科）證明(1) ：若 A= ，則 AB 顯然成立；若 A ，設(shè) t A，則 f(t)=