1.2第講函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運(yùn)用“和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù) 間斷點(diǎn)的類型

2、。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)介值定理、最值定理）。 理解冪級(jí)數(shù)的基本概念。掌握冪級(jí)數(shù)的收斂判別法。第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第七、八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的概念一、連續(xù)函數(shù)的概念二. 函數(shù)的間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 及其基本性質(zhì) 四.初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式增量形式設(shè) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義, 假設(shè))()(lim0 0 xfxfxx則稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處是連續(xù)的.1.函數(shù)連續(xù)性的定義 (極限形式) 可減弱：x0 為聚點(diǎn) 函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)局部性的概念, 是逐點(diǎn)定義的.是整個(gè)鄰域函數(shù) f (x ) 在點(diǎn)

3、x0 處連續(xù), 應(yīng)該滿足以下三點(diǎn)：(1) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義；(包括在點(diǎn) x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點(diǎn) x0 處的函數(shù)值) )(lim )2(0；存在axfxx) )( , ( 0有極限時(shí)xfxx 函數(shù) y = x2 在點(diǎn) x = 0 處是否連續(xù) ? 0lim20 xx 函數(shù) y = x2 在點(diǎn) x = 0 處連續(xù).又且0020 xxxy y = x 2 在 U(0) 內(nèi)有定義,例1解 函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的, 當(dāng)然可以 運(yùn)用 語言描述它.2.連續(xù)性的 語言形式設(shè)函數(shù) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義. , 假設(shè) , 當(dāng) | x

4、 x0 | 時(shí), 有則稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處是連續(xù)的.| f (x) f (x0) | 0,11limsgnlim00 xxx1) 1(limsgnlim00 xxxsgn x|x=0=sgn 0 = 0故符號(hào)函數(shù) y = sgn x 在點(diǎn) x = 0 處不連續(xù).0,x = 0,1,x 1, 但由于) 1 (1)(lim1fxfx例4解5.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)函數(shù) f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)有定義.假設(shè) x0(a, b), f (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù),則稱 f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)連續(xù), 記為f (x)C( (a, b) ).假設(shè) f (x)C( (

5、a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 處右連續(xù), 在端點(diǎn) x = b 處左連續(xù), 則稱函數(shù)f (x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù), 記為f (x)C( a, b ).對(duì)半開閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性一般地, 如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I上連續(xù), 則記為 f (x) C( I ) .例5介紹李普希茨(Lipschitz)連續(xù)性、 赫爾德(hlder)連續(xù)性. . , )( ,| | )()(| , 212121上是李普希茨連續(xù)的在則稱成立有使得如果存在常數(shù)baxfxxLxfxfbaxxL . | | )()(| ,2121稱為李普希茨條件其中xxLxfxf . ).,()(

6、 , , )( 反之不真則上是李普希茨連續(xù)的在如果baCxfbaxf : , )( 上滿足赫爾德條件在區(qū)間如果函數(shù)baxf, | | )()(|212121baxxxxLxfxf , )( , 10 , ,上在區(qū)間則稱為常數(shù)其中baxfL .是赫爾德連續(xù)的 . , 1 , 即為李普希茨連續(xù)時(shí)稱為赫爾德指數(shù) . ).,()( , , )( 反之不真則上是赫爾德連續(xù)的在如果baCxfbaxf . , 赫爾德條件是非線性的李普希茨條件是線性的 . , ;請(qǐng)自己完成的證明連續(xù)性赫爾德連續(xù)性連續(xù)性由李普希茨連續(xù)性例例).0( )(031xxxf二. 函數(shù)的間斷點(diǎn) 通常將函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做函數(shù)的間斷點(diǎn).函

7、數(shù) f (x ) 在點(diǎn) x0 處連續(xù), 應(yīng)該滿足以下三點(diǎn)：(1) f (x) 在 U(x0) 內(nèi)有定義; (包括在點(diǎn) x0 處有定義). )( ) 3(0 xfa (極限值等于函數(shù)在點(diǎn) x0 處的函數(shù)值) ; )(lim )2(0存在axfxx) )( , ( 0有極限時(shí)xfxx (1) f (x) 在 x0 處無定義. )(lim (2)0不存在axfxx1.函數(shù)間斷點(diǎn)的定義滿足下述三個(gè)條件中的任何一個(gè), 則稱函數(shù) f (x)若函數(shù) f (x) 在)(U0 x內(nèi)有定義, 且在點(diǎn) x0 處 . )( ,)( lim (3)00 xfaaxfxx但在點(diǎn) x0 處間斷, 點(diǎn) x0 稱為函數(shù) f (

8、x) 的一個(gè)間斷點(diǎn)：(1) f (x)在 x0 處無定義, 但 f (x) 在)(U0 x內(nèi)有定義.(2)中至少有一個(gè)不存在.)(lim )(lim00 xfxfxxxx與(3)存在, 但不相等.)(lim )(lim00 xfxfxxxx與(4)但 a f (x0 ).,)(lim)(lim00axfxfxxxx2.函數(shù)間斷點(diǎn)的分類 函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)跳躍可去無窮振蕩其它(1) 第一類間斷點(diǎn)假設(shè) x0 為函數(shù) f (x) 的一個(gè)間斷點(diǎn), 且f (x) 的第一類間斷點(diǎn)., )(lim )(lim00存在與xfxfxxxx則稱 x0 為函數(shù)討論函數(shù) f (x)=x +1 x 0

9、sinx x 00 21x在 x = 0 處的連續(xù)性.yxO121)(xfy y = sinxyx+1 由圖可知, 函數(shù)在 點(diǎn) x0 處間斷.例6 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x = 0 是 f (x) 的第一類間斷點(diǎn). 將左、右極限存在但不相等的間斷點(diǎn), 稱為函數(shù)的跳躍型間斷點(diǎn).) 0 )( 處有定義在xxf1) 1(lim0 xx0sinlim0 xx解討論. 1 11)(2處的連續(xù)性在xxxxf函數(shù)在 x =1 無定義,2) 1(lim11lim 121xxxxx而故 x =1 為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn). x =1 為函數(shù)

10、的間斷點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn).yxO11P(1,2)y x + 1 進(jìn)一步分析該間斷點(diǎn)的特點(diǎn).例7解補(bǔ)充定義211lim|211xxyxx則函數(shù) f *(x) 在 x =1 連續(xù).f * (x) =1 112xxx2 x = 1 即定義分析211lim 21xxx由于這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).處函數(shù)值后, 可得到一個(gè)新的連續(xù)函數(shù) , 故將在且相等, 即極限存在, 經(jīng)過補(bǔ)充定義間斷點(diǎn)這個(gè)間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是該處的左、右極限存 補(bǔ)充定義f * (x) =)(lim0 xfxx, x = x0 , )(0 xxxf 跳躍型間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 左右極限存在 極限不相等 極限相等、補(bǔ)充定義(2) 第二

11、類間斷點(diǎn) 凡不屬于第一類的間斷點(diǎn), 稱為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).這算定義嗎？即左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)即左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).討論函數(shù). 0 1)(處的連續(xù)性在xxxfxyOxy1在 x = 0 無定義,xxf1)(x = 0為函數(shù)的間斷點(diǎn),1lim)(lim 00 xxfxx又故 x = 0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).xxf1)()(lim 0 xfx所以稱它為無窮間斷點(diǎn).由于例8解. 0 1sin)( 處的連續(xù)性在討論函數(shù)xxxf在 x = 0 處無定義,xxf1sin)(. 0 為函數(shù)的間斷點(diǎn)x又xxfxx1sinlim)(lim00不存在,故 x = 0 為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). 看看

12、該函數(shù)的圖形.例9解O11xy 1sinxy . 1sin)( 0 的振蕩型間斷點(diǎn)為稱xxfx 無窮型間斷點(diǎn) 其它間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在左右極限至少有一個(gè)為無窮 振蕩型間斷點(diǎn) 左右極限至少有一個(gè)振蕩 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 及其基本性質(zhì) 的極限存在、函數(shù)時(shí)設(shè)當(dāng) )( )( , 0 xgxfxx , )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx那么baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的極限存

13、在、函數(shù)時(shí)設(shè)當(dāng) )( )( , 0 xgxfxx , )(lim0axfxx, )(lim0bxgxx那么baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0( )(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx, )( )( 0處連續(xù)在點(diǎn)、設(shè)函數(shù)xxgxf)(0 xf)(0 xg0)()()()(00 xxxgxfxgxf0)()()()(00 xxxgxfxgxf) 0)( ( )()()()(0000 xgxgxfxgxfxx現(xiàn)在怎么說?1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè)函數(shù)

14、f (x)、 g(x), fi (x) 在點(diǎn) x0 處連續(xù), , )()(lim00 xfxfxx那么) , , 2 , 1 ( )()(lim00nxfxfiixx即, )()(lim00 xgxgxx )()()()(lim 000 xgxfxgxfxx 有限個(gè)在點(diǎn) x0 處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個(gè) 在點(diǎn) x0 處連續(xù)的函數(shù). 即 )()()( )()()(lim 00201210 xfxfxfxfxfxfnnxx)()()()(lim 000 xgxfxgxfxx(2) 有限個(gè)在點(diǎn) x0 處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個(gè)在點(diǎn) x0 處的連續(xù)函數(shù). 即)()()()()()(lim 00201210

15、xfxfxfxfxfxfnnxx0)( )()()(lim)(lim)()(lim 000000 xgxgxfxgxfxgxfxxxxxx(3) 兩個(gè)在點(diǎn) x0 處連續(xù)函數(shù)的商, 當(dāng)分母不為 零時(shí), 仍是一個(gè)在點(diǎn) x0 處連續(xù)函數(shù). 即2.幾個(gè)重要定理 這些定理與極限中的定理類似xyy = f (x)y = | f (x) |O假設(shè) f (x) 在區(qū)間 I 上連續(xù), 那么 | f (x) | 仍在 I 上連續(xù). x0I , 由 f (x) 在 x0 的連續(xù)性: , 當(dāng)| x x0 | 時(shí), 有| f ( x) f (x0) | 此時(shí), 由絕對(duì)值不等式得 | | f (x) | | f (x0)

16、| | | f (x) f (x0) | 0, (或 f (x0) 0, 使當(dāng) xU(x0, )時(shí), 有 f (x) 0 (或 f (x) 0, 使當(dāng) xU(x0 , ) 時(shí), 有假設(shè) f (x0) 0, 推論推論Oxy y = f 1(x) 的圖形只是 y = f (x) 的圖形繞直線 y = x 翻轉(zhuǎn) 180 而成, 故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x = f 1(y) 與 y = f (x)的圖形相同,連續(xù)性保持. 從而, 單調(diào)性、)(1yfx)(xfy )(1xfy設(shè)函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 I 上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少) 且連續(xù), 則其反函數(shù))(1yfx在相應(yīng)的區(qū)間 I* =

17、 y | y = f (x) , xI 上嚴(yán)格單調(diào)增加 (減少) 且連續(xù).(反函數(shù)連續(xù)性定理)xy2211O增加單調(diào) ) 1 , 1 (arcsinCxy22xy11O增加單調(diào) ) 2 ,2 (sinCxy例11討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性假設(shè) y = f (u) 在 u0 處連續(xù),那么 , 當(dāng) | u u0| 時(shí), 有 | f (u) f (u0) | 再假設(shè) u = (x) , 且在 x0 處連續(xù), 即.lim00uuxx, )()(lim00 xxxx亦即| u u0 | = | (x) (x0) | 故 對(duì)上面的 , , 當(dāng) | x x0| 時(shí), 有那么 , 當(dāng) | x x0| 時(shí), | u

18、u0 | = | (x) (x0) | 且有假設(shè)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)）| f (u) f (u0) | f ( (x) f ( (x0) ) | 0. 時(shí), 冪指函數(shù) g(x)h(x) 也是連續(xù)函數(shù).當(dāng) g(x) 與 h(x) 均為連續(xù)函數(shù), 且 g(x) 0eeexxxxxx1111lim1111lim(3)1 (eeexxxxxx1sin1lim100)sin1 (lim)1 (2)(1)1) , 5( 5)52(lim2cos20baxxxx例15四.初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的. 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù). 注意兩者的區(qū)別！求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12 連續(xù)性給極限運(yùn)算帶來很大方便.例16解, )2(2lim)( 2的連續(xù)性討論函數(shù)nnnnxxxf. 0 ,x其中有時(shí)當(dāng) , 210 x. 4)2(222nnnnnxx有時(shí)當(dāng)