第三章-平面任意力系.

1、第三章平面任意力系習(xí)題3-1x 軸與y 軸斜交成角，如圖3-23 所示。設(shè)一力系在xy 平面內(nèi)，對(duì)y軸和x 軸上的A、B 兩點(diǎn)有M iA0 ，M iB0 ，且Fiy0 ，F(xiàn)ix0。已知 OAa ，求B 點(diǎn)在x 軸上的位置。解：因?yàn)镸 AM iA0 ，但Fix0 ，即FR0 ，根據(jù)平面力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論（ 2）可知，力系向A 點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果是：FR 是原力系的合力，合力FR 的作用線通過簡(jiǎn)化中心 A 。又因?yàn)?M BM iB0 ，但Fix 0 ，即 FR0 ，根據(jù)平面力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論（ 2）可知，力系向 B 點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果是： FR 是原力系的合力，合力 FR 的作用線通過簡(jiǎn)化中心 B。一個(gè)力系的

2、主矢量是一個(gè)常數(shù)，與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。因此，合力 FR 的作用線同時(shí)能過 A 、B 兩點(diǎn)。又因?yàn)?FRyFiy 0 ，所以合力 FR 與 y 軸垂直。即 AB 與 y 垂直。由直角三角形 OAB 可知， B 點(diǎn)離 O 點(diǎn)的距離為：bacosyAa90 0xObB圖323習(xí)題 3-2 如圖 3-24所示，一平面力系 (在oxy平面內(nèi) )中的各力在 x軸上投影之代數(shù)和等于零，對(duì) A 、 B兩點(diǎn)的主矩分別為 M A 12kNm ， M B15kNm ，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ 2， 3）、（4，8），試求該力系的合力 (坐標(biāo)值的單位為 )。解：由公式（ 3-5）可知：yFRM O2M O1MO2(

3、FR)M BM BM AM B(FR)B(4,8)FRFRM BM AM B ( FRx ) M B ( FRy )M A依題意 FRx0 ，故有：a 8mA(2,3)C( 6,3)M BM AM B ( FRy )xO1512FRy (4 2)題 324 圖2FRy3FRy1.5(kN )FRFRy1.5kNM A12aFR8(m)1.5故C點(diǎn)的水平坐標(biāo)為： x 6m。150 150習(xí)題 3-3 某廠房排架的柱子，承受吊車傳來的力FP 250FQFP，屋頂傳來的力 FQ 30，試將該兩力向底面中心 O簡(jiǎn)化。圖中長(zhǎng)度單位是。200500O題325圖解:主矢量 :FRFPFQ250 30280(

4、kN )()，作用在 O點(diǎn)。主矩: MOFP0.15FQ0.15( 250 30)0.1533(kN m) 習(xí)題 3-4已知擋土墻自重W400kN ，土壓力F 320kN，水壓力 FP 176kN ，如圖 3-26所示。求這些力向底面中心 O簡(jiǎn)化的結(jié)果；如能簡(jiǎn)化為一合力，試求出合力作用線的位置。圖中長(zhǎng)度單位為m。解 :(1) 求主矢量FRxFPF cos 400176320 cos40069.134(kN )FRyWF sin 400400320sin 400605.692( kN)FRFRx2FRy2( 69.134) 2( 605.692) 2609.625( kN )FR 與水平面之間的

5、夾角:FRyarctan605.6920'"arctan83 2918FRx69.134(2)求主矩M O400 0.8176 2320 cos 4003sin 60 0320 sin 40 0(3 3cos600 ) 296.321( kN m)(3)把主矢量與主矩合成一個(gè)力M O296.3210.486( m)d609.625FRd0.4860.0555(m)xtan605.69269.134FR"F RRR'F R"xM OxO 'OOOddFRFR'FR'FR習(xí)題 3-5某橋墩頂部受到兩邊橋梁傳來的鉛垂力F11940

6、， F2800及制動(dòng)力 FT 193。橋墩自重 W 5280，風(fēng)力 FP140。各力作用線位置如圖所示。求將這些力向基底截面中心O簡(jiǎn)化的結(jié)果；如能簡(jiǎn)化為一合力，試求出合力作用線的位置。解 :(1) 求主矢量FRxFPFT140193333(kN )FRyWF1 F25280 19408008020(kN )FR22( 333) 2(8020 ) 28026.91(kN )FRxFRyFR 與水平面之間的夾角:FRy8020870'"arctanarctan37 21FRx333(2)求主矩M O140 10.7193 21.258000.41940 0.4 6055.25(k

7、N m)(3)把主矢量與主矩合成一個(gè)力M O6055.25d0.754( m)FR8026.91d0.754x0.0313(m)tan8020333FR"M OFR RR'FR"'xOxOOdOdF RFR'FR'FR習(xí)題 3-6 圖示一平面力系，已知F1 200， F2 100， 300·。欲使力系的合力通過 O點(diǎn)，問水平力之值應(yīng)為若干?解 :FRxFF1 cosF2003F12054FRyF2F1 sin100200260( kN)5主矢量 :FR(F120) 2(260) 2M 0(F1)322004560(kN m)2002

8、55M 0(F2)100 2200(kN m)M0(F)1.5F主矩 :M 05602001.5F300601.5F要使合力通過 O點(diǎn),必使 :M0 601.5F 0 ,即 F 40kN習(xí)題 3-7在剛架的 A、B兩點(diǎn)分別作用 F1 、 F2 兩力，已知 F1 F2 10。欲以過點(diǎn)的一個(gè)力F 代替 F1、 F2 ，求的大小、方向及 B、C間的距離。解 :FRxF2 F1 cos60010 100.5 5(kN )FRyF1 sin 60010 0.8668.66( kN)主矢量 :FR52( 8.66)210(kN )方向arctan FRy FRxarctan8.665600 ()M C(F

9、1)10 sin600x8.66x(設(shè) BCx )M C (F2 )10220(kNm)主矩 :M C8.66x20要使 F通過C點(diǎn), 且與 F1, F2 兩力等效 ,必使 :M C8.66x 200 ,即 x2.309(m)當(dāng) x2.309(m) 時(shí),F F10(kN ) 方向與x軸正向成600().R,習(xí)題 3-8 外伸梁 AC受集中力 FP 及力偶（ F， F）的作用。已知 FP 2，力偶矩 M 1.5·，求支座 A、B的反力。MFR Ax0AB45R AyRBC4m2m解：（ 1）以 AC 為研究對(duì)象，畫出其受力圖如圖所示。（ 2）因?yàn)?AC 平衡，所以 M A ( Fi )

10、 0RB4 MF sin 45060RB(MF sin 4506)/4(1.5 2 0.7071 6) / 4 2.49(kN ) Fix 0RAxF cos4500RAx2 cos45 01.41(kN ) Fiy 0RAyRBF sin 4500RAyRBF sin 4502.5 2 0.7071 1.08( N )習(xí)題 39 求圖示剛架支座 A、B的反力，已知：圖（ a）中， M 2.5·，F(xiàn)5；圖（）中，F(xiàn)3。解：圖（ a）（ 1）以剛架 ABCD 為研究對(duì)象，畫出其受力圖如圖所示。FM4CD 32.5mARAxBR Ay2mRB（ 2）因?yàn)?AC 平衡，所以 M A ( F

11、i ) 0RB2 M32.5 F4F2 0552RB2.57.5 80RB1( kN)Fix0RAxF305RAx533(kN )5Fiy04RAyRBF05RAyRB F41 5 0.8 3(kN )5解：圖（ b）（ 1）以剛架 ABCD 為研究對(duì)象，畫出其受力圖如圖所示。2mCDF3mARAxBRAy4mRB（ 2）因?yàn)?AC 平衡，所以 M A ( Fi ) 0RB4F3q42 04RB331420RB(98)/44.25(kN ) Fix 0RAxF0RAxF3(kN ) Fiy 0RAyRBq40RAyRBq44.25140.25( kN )習(xí)題 310弧形閘門自重W 150，水壓

12、力FP 3000，鉸處摩擦力偶的矩 M 60·。求開始啟門時(shí)的拉力FT 及鉸 A的反力。FTR AxR AyFPB解：開始打開閘門時(shí)， B 與地面脫開， N B0 。因?yàn)榇藭r(shí)閘門平衡，所以M A (Fi ) 0MW4FP0.1 FT6 0601504 3000 0.1FT6060600300FT601010050FT0FT60(kN ) Fix 0RAxFP cos30 00RAx3000 0.8662598( kN ) Fiy 0RAyFTFP sin 300W0RAyFTFP sin 300W6030000.51501410(kN )習(xí)題 311圖為一矩形進(jìn)水閘門的計(jì)算簡(jiǎn)圖。設(shè)閘

13、門寬（垂直于紙面），AB，重 W15，上端用鉸 A支承。若水面與 A齊平后無水，求開啟閘門時(shí)繩的張力 FT 。C解：ACAB sin 30 020.5 1(m)BCAB cos30 020.866 1.732(m)開啟閘門時(shí) ， N B0，此時(shí)，因?yàn)?AB 平衡，所以M A ( Fi )0FT1 1( w1.73) 1.732 1.73W0.5023FT119.8 1.73 1.73 21.73 150.5 023FT16.9147.50FT24.414(kN )習(xí)題 312拱形桁架的一端 A為鉸支座，另一端 B為輥軸支座，其支承面與水平面成傾角 30°。桁架重量 W為100，風(fēng)壓力

14、的合力FQ 為20，其方向平行于 AB 。求支座反力。解：因?yàn)殍旒芷胶猓?M A (Fi ) 0RB cos30020W10FQ4017.32 RB1000800RB62.4( kN )RB Fix 0RAxRB sin 300FQ0RAx62.36 0.5200RAx11.2( kN ) Fiy 0RAyRBcos300W 0RAy62.4 0.866100 0RAy46( kN )FQR AxR Ay習(xí)題 313 懸管剛架受力如圖。已知 q4， F25， F14，求固定端 A的約束反力。解：因?yàn)?ABC 平衡，所以 M A (Fi ) 0M AF1 2.5 F231q 32012M A

15、5 2.54 34 3202M A12.5 12180M A42.5( kNm) Fix0M ARAxR AyF1RAx0RAxF14(kN ) Fiy 0RAyF2q30RAy54317(kN )習(xí)題 314 汽車前輪荷載為 10，后輪荷載為 40，前后輪間的距離為 2.5 ，行駛在長(zhǎng) 10的橋上。試求：（）當(dāng)汽車后輪處在橋中點(diǎn)時(shí)，支座 A、B的反力；（）當(dāng)支座 A、 B的反力相等時(shí)，后輪到支座 A的距離。40kN2.5m 10kNRAxRAyRB10m解：因?yàn)闃?AB 平衡，所以M A (Fi )0RB1040x10( x2.5) 0RB4x( x2.5)0RB4xx2.50RB5x2.5

16、 Fix 0RAx0 Fiy 0RAyRB10400RAy50RB505x2.547.55x當(dāng)汽車后輪處在橋中點(diǎn)時(shí)，x5m ，此時(shí)，RAx0RAy47.5 5522.5(kN )RB5x2.555 2.5 27.5(kN )當(dāng) RARB 時(shí)，后輪的位置：47.55x5x2.510x45x4.5(m)習(xí)題 315汽車起重機(jī)在圖示位置保持平衡。已知起重量W1 10，起重機(jī)自重 W2 70。求 A、B兩處地面的反力。起重機(jī)在這位置的最大起重量為多少 ?W270kNW110kNBARARB解：因?yàn)槠鹬貦C(jī)在圖示位置時(shí)處于平衡，所以 M A (Fi ) 0RB4.510 7.5 702.5 0RB(751

17、75) / 4.555.6(kN )Fiy0RARB 1070 0RARB8055.56 80 24.4(kN )設(shè)最大起重量為 Wmax ，則此時(shí) RA 0M B ( Fi )070 2Wmax30Wmax140/ 346.7( kN)習(xí)題 316基礎(chǔ)梁 AB上作用集中力 F1 、 F2 ，已知 F1200kN ， F2400kN 。假設(shè)梁下的地基反力呈直線變化，試求A、 B兩端分布力的集度 q A 、 qB。圖中長(zhǎng)度單位為 m。F1 200kN2F 400kN解：因?yàn)榛A(chǔ)梁 AB 平衡，所以 M A (Fi ) 016 ( qBqA )2 6 q A 6 3 F1 1 F2 5 02312

18、(qBq A )18qA200 2000 06qB3qA1100.(1)Fiy016 ( qBqA ) qA 6 F1 F2 023qB3qA600.(2)(1)-(2)得：3qB500qB167( kN / m)q A200qB200166.733(kN / m)習(xí)題 317 將水箱的支承簡(jiǎn)化如圖示。 已知水箱與水共重 W320，側(cè)面的風(fēng)壓力 F20kN ，求三桿對(duì)水箱的約束力。解：因?yàn)樗淦胶?，所?M A (Fi ) 0N BD3.6320 1.82060N BD(576120) / 3.6193(kN ) （壓力） Fix 020N BC cosBCD 020N BC3.603.624

19、.82200.6N BC0N BC20 / 0.633( kN ) （拉力） Fiy 0N BC sinBCDN ACN BDW0334.8N AC193 320 06N AC153(kN )（壓力）W320kNF20kNN BCNAC6N BD習(xí)題 318 圖示沖壓機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA長(zhǎng)r ，連桿 AB長(zhǎng) l，平衡時(shí) OA與鉛直線成 角，求沖壓力 FP 與作用在曲柄上的力偶M之間的關(guān)系。解：以曲柄 OA 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。r lsinsinsinrsinlcos1sin 21( r sin)21l 2r 2 sin 2lldr sin()r (sincoscossin)dr (sin

20、1l 2r 2 sin 2cosr sin )ROr sinllOd(l 2r 2 sin 2r cos)rl因?yàn)?OA 平衡，所以MRA dMdARAr sin(l 2r 2 sin2r cos)MRAllRAMlr sin(l 2r 2 sin 2r cos)由滑塊 B 的平衡可知，BFPRA cosFPr sin(l 2Mlr cos)1l 2r 2 sin2r 2 sin 2lFPMl 2r 2 sin 2r sin(l 2r 2 sin 2r cos)MFP r sin(l 2r 2 sin 2r cos)l 2r 2 sin 2MF p r sin(1r cos)l 2r 2 si

21、n 2習(xí)題 319圖中半徑為的扇形齒輪， 可借助于輪 O1 上的銷釘 A而繞 O2 轉(zhuǎn)動(dòng)，從而帶動(dòng)齒條 BC在水平槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。已知 O1 Ar ， O1O23r 。在圖示位置 O1 A水平（ O1O2 鉛直）。今在圓輪上作用一力矩M，齒條 BC 上作用一水平力 F，使機(jī)構(gòu)平衡，試求力矩 M與水平力 F之間的關(guān)系。設(shè)機(jī)構(gòu)各部件自重不計(jì)，摩擦不計(jì)。M解：O1NA以輪 O1 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。ArRO1因?yàn)檩?O1 平衡，所以3rM O1 ( Fi )02rN Ar sinM 0N AMM2MO2r sinrrr2r以齒輪和齒條構(gòu)成的物體系統(tǒng)為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)槲矬w系統(tǒng)平衡，

22、所以M O1 ( Fi )0M O 2 ( Fi )0'N AF RN A ' 2r0FRN A2r0FR2M2r0rFR4M0MFR4習(xí)題 320 圖示一臺(tái)秤?？蛰d時(shí)，臺(tái)秤及其支架的重量與杠桿的重量恰好平衡；當(dāng)秤臺(tái)上有重物時(shí)，在AO上加一秤錘，設(shè)秤錘重量為W， OB a，求 AO上的刻度 x 與重量 P 之間的關(guān)系。解：以杠桿 OA 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?AB 平衡，所以O(shè)ABM O ( Fi )0xaRB a Wx0RORBWRBWxa以稱臺(tái)為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?AB 平衡，所以Fix0RB'RC0BPFiy0RB'P0RB P0

23、WxRC0CPaPaxW習(xí)題 321 三鉸拱橋，每一半拱自重 P40，其重心分別在 D 和 E點(diǎn)，橋上有荷載 W 20，位置如圖。求鉸 A、B、C三處的約束力。圖中長(zhǎng)度單位為。HBHAVBVA解：以整體為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)檎w平衡，所以M B ( Fi )0VB10P9W7.5P10VB(10P7.5W ) /10(4007.520) / 10 55(kN )Fiy0VAVB2PW0VAVB2PW55 802045(kN )以 BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?BC平衡，所以1PCM C ( Fi )0H CH B5P4VB505VCH B(P4VB5) /5BH B5VB

24、0.8P450.840 13(kN )VB由整體的平衡條件得：H AH B0H AH B13(kN )Fix0H BH C0H CH B29(kN )（）Fiy0VBVCP0VCPVB40 45 5(kN ) （）習(xí)題 322三鉸拱式組合屋架如圖所示， 已知 q5kN / m ，求鉸 C 處的約束力及拉桿 AB 所受的力。圖中長(zhǎng)度單位為m。解：以整體為研究對(duì)象， 其受力圖如圖所示。因?yàn)檎w平衡，所以M A ( Fi )0RAxRAyRBRB9 q9 4.50RB4.5q4.5 522.5( kN )Fix0RAx0Fiy0RARBq 90RARB9q22.5 9 5 22.5(kN )以右半部

25、分為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)橛野氩糠郑ň植浚┢胶猓訫 C ( Fi )0N AB1.5RB4.554.5 2.250N AB( 22.54.554.52.25) / 1.533.75( kN )Fix0qRCxN AB0RCxCRCxN AB33.75( kN )RCy1.5mN ABBFiy04.5mRCyRB 0RBRCyRB22.5( kN )習(xí)題323剪鋼筋用的設(shè)備如圖所示。欲使鋼筋受力12，問加在 A點(diǎn)的力應(yīng)多大 ?圖中長(zhǎng)度單位為。B450RB1200RCxDC200RCyN D解：以 BCD為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。FA因?yàn)?BCD平衡，所以M C ( Fi )0R

26、B '4501500RB sin 4501.2ND 0.2 0RB32N D0300ROxO122.828( kN )ROyRB23以 OA為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?OA平衡，所以M O ( Fi )0F1.5RB ' sin 4500.3 0F(RB sin 4500.3)/1.5F(2.8280.70710.3) / 1.5 0.4( kN )習(xí)題 324圖為某繩鼓式閘門啟閉設(shè)備傳動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)圖。已知各齒輪半徑分別為 r1 、 r2 、 r3 、 r4 ，繩鼓半徑 r ，閘門重 W，求最小的啟門力M。設(shè)整個(gè)設(shè)備的機(jī)械效率為（即 M的有效部分與 M之比）。解：以輪 O

27、1 為研究對(duì)象， 其受力圖如圖所示。 圖中， F1 為輪 O2 對(duì)輪 O1 的嚙合力。為壓力角。因?yàn)檩哋1 平衡，所以M O1 (Fi )0RO1 yM F1 c o sr10O1Mr1RO1 xF1F1Mr1 c o s以輪 O2 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。圖中，F(xiàn)2 為輪 O3 對(duì)輪 O2 的嚙合力。為壓力角。因?yàn)檩哋2 平衡，所以M O2 (Fi )0F2cos r3F'cosr201F2RO2 yF1'r3F2cosr3 F1 cos r2 0F2r2 F1r2M(1)r 3r3r1 cos以輪 O3 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)檩?O3 平衡，所以M O 3

28、 ( Fi )0F2 ' cosr4WrF2 cosr4WrrWF2(2)r 4 cosO2RO2 xr2RO3 yO3r 4RO3 xrWF2'由（ 1）、（2）得：r2MrWr3r1 cosr4 cosr2MrWr3r1r4r1r3rWMr2 r4習(xí)題 325 圖為一種氣動(dòng)夾具的簡(jiǎn)圖，壓縮空氣推動(dòng)活塞E向上，通過連桿推動(dòng)曲臂 AOB ，使其繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，從而在 A 點(diǎn)將工件壓緊。在圖示位置，°，已知活塞所受總壓力F，試求工件受的壓力。所有構(gòu)件的重量和各鉸處的摩擦都不計(jì)。圖中長(zhǎng)度單位為。解：以C鉸為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?C鉸平衡，所以Fix0N BC c

29、os 20 0N DCcos2000N BCN DCFiy02N BC sin 20030N BC34.386(kN )2sin 200以曲臂 AOB 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)榍?AOB 平衡，所以200NBC250200CN DC3kNN BCB700'AORM O ( Fi )0NAN BC ' sin 7000.25N A0.10N BC sin 7002.5N A0N A N BC sin 70 02.54.3860.9397 2.5 10.3(kN )Ox100ROy根據(jù)作用與反作用公理，工件所受到壓力為10.3kN。習(xí)題 326 水平梁由 AC、BC二部

30、分組成， A端插入墻內(nèi)， B端擱在輥軸支座上，處用鉸連接，受 F、M 作用。已知 F， M·，求 A、 B兩處的反力。解：以BC為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?BC平衡，所以M C ( Fi )04kNm6kNBRB4 60RCxCRCyRBRB6 / 41.5(kN )Fiy0RcyRB40RcyRB41.542.5(kN )以AC 為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?AC 平衡，所以'RCyRAyFiy0ACRcy 'RAxRAy0M ARAyRcy2.5(kN )M A ( Fi )0M ARCy '40M ARCy42.5 410( kN m)習(xí)題 327 鋼架 ABC和梁 CD，支承與荷載如圖所示。 已知 F， q， q0，求支座A、B的反力。圖中長(zhǎng)度單位為m。F5kNDC1m1mRD2.5kNRC2.5kN解：以 CD為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)?CD平衡，所以RC '2.5kNM D ( Fi ) 0q0.2kN / mRC2 510CRC2.5(kN )2mFiy 0BRAxA0.5m2mq 0 0.3kN / mRDRC50RBRAyRDRC52.5 52.5(kN )以剛架 ABC 為研