2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 評(píng)閱試卷時(shí)，請依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，選擇題只設(shè)6分的0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔，其它各題的評(píng)閱，請嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再嗇其他中間檔次。2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)檔次評(píng)分，可以5分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次。一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是(A) (-，-1) (B) (-，1) (C) (1，+) (D) (3，+)解：由x2-2x-3>0x<-1或x&g

2、t;3，令f(x)=, u= x2-2x-3，故選A2、 若實(shí)數(shù)x, y滿足(x+5)2+(y-12)2=142，則x2+y2的最小值為 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 解：B3、 函數(shù)f(x)=(A) 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) (B) 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)(C) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解：A4、 直線橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，該圓上點(diǎn)P，使得PAB面積等于3，這樣的點(diǎn)P共有(A) 1個(gè) (B) 2個(gè) (C) 3個(gè) (D) 4個(gè)解：設(shè)P1(4cosa,3sina) (0<a<)，即點(diǎn)P1在第一象限的橢圓上，如圖，考慮四邊形P1AOB的面積S。S=6(

3、sina+cosa)=xyOABP1 Smax=6 SOAB=6 <3 點(diǎn)P不可能在直線AB的上方，顯然在直線AB的下方有兩個(gè)點(diǎn)P，故選B5、 已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A=a1, a2, , a100與B=b1, b2, , b50，若從A到B的映射f使得B中的每一個(gè)元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，則這樣的映射共有(A) (B) (C) (D) 解：不妨設(shè)b1<b2<<b50，將A中元素a1, a2, , a100按順序分為非空的50組，定義映射f：AB，使得第i組的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,50)，易知這樣的f滿足題設(shè)要求，每個(gè)這樣的分組都一

4、一對(duì)應(yīng)滿足條件的映射，于是滿足題設(shè)要求的映射f的個(gè)數(shù)與A按足碼順序分為50組的分法數(shù)相等，而A的分法數(shù)為，則這樣的映射共有，故選D。6、 由曲線x2=4y, x2= -4y, x=4, x= -4圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y216, x2+(y-2)24, x2+(y+2)24的點(diǎn)(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則(A) V1=V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2yxxyoo4444-4-4-4-4解：如圖，兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，

5、設(shè)截面與原點(diǎn)距離為|y|，則所得截面面積S1=p(42-4|y|) , S2=p(42-y2)-p4-(2-|y|)2=p(42-4|y|) S1=S2由祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等。故遠(yuǎn)C。二、 填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、 已知復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足|Z1|=2, |Z2|=3，若它們所對(duì)應(yīng)向量的夾角為60°，則= 。解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1-Z2|=, =P9P1P2P3P4P5P6P7P8P108、 將二項(xiàng)式的展開式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 個(gè)。解：不難求出前三項(xiàng)的系數(shù)分別是，當(dāng)n=8時(shí)， (r=0

6、,1,2,，8) r=0,4,8,即有3個(gè)9、 如圖，點(diǎn)P1,P2,P10分別是四面體點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組(P1, Pi, Pj, Pk)(1<i<j<k10)有 個(gè)。解：首先，在每個(gè)側(cè)面上除P1點(diǎn)外尚有五個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)組添加點(diǎn)P1后組成的四點(diǎn)組都在同一個(gè)平面，這樣三點(diǎn)組有個(gè)，三個(gè)側(cè)面共有3個(gè)。其次，含P1的每條棱上三點(diǎn)組添加底面與它異面的那條棱上的中點(diǎn)組成的四點(diǎn)組也在一個(gè)平面上，這樣的四點(diǎn)組有3個(gè)共有3333個(gè)10、 已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對(duì)任意xR都有f(x+5)f(x)+5 f(x+1)f(x)+1 若g(x)=f(x)+1

7、-x，則g(2002)= 。解：由g(x)=f(x)+1-x得f(x)=g(x)+ x -1 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+5 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x) g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1)g(x) g(x+1)=g(x) T=1 g(1)=1 g(2002)=111、 若，則|x|-|y|的最小值是 。解：由對(duì)稱性只考慮y0，因?yàn)閤>0，所以只須求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0 yR 0 當(dāng)時(shí)，u=，故|x|

8、-|y|的最小值是12、 使不等式sin2x+acosx+a21+cosx對(duì)一切xR恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是 。解：sin2x+acosx+a21+cosxa<0,當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)有最大值a2+a-20a-2或a1a<0負(fù)數(shù)a的取值范圍是(-,2三、 解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、 已知點(diǎn)A(0,2)和拋物線y=x2+4上兩點(diǎn)B、C使得ABBC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍。解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為B(y12-4,y1)，C點(diǎn)坐標(biāo)為C(y2-4,y) 顯然y12-40，故 5分 ABBC KBC= -(y1+2) (2+y1)(y+y1)+1=0 y12+(2+y)y1+

9、(2y+1)=0 10分 y1R 0y0或y4 15分 當(dāng)y=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3，-1)；當(dāng)y=4時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，-3)，均滿足題意。 故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍為(-,04,+)14、 如圖，有一列曲線P0, P1, P2, ，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對(duì)Pk進(jìn)行如下操作得到的：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉(k=0,1,2,3,)，記Sn為曲線Pk所圍成圖形面積。求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式；求。P0P1P2解：對(duì)P0進(jìn)行操作，容易看出P0的每條邊變成P1的4條邊，故P1的邊數(shù)為3×4；同樣，

10、對(duì)P1進(jìn)行操作，P1的每條邊變成P2的4條邊，故P2的邊數(shù)為3×42，從而不難得到Pn的邊數(shù)為3×4n 5分 已知P0的面積為S0=1，比較P1與P0，容易看出P1在P0的每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形，其面積為，而P0有3條邊，故S1=S0+3×=1+ 再比較P2與P1，容易看出P2在P1的每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形，其面積為×，而P1有3×4條邊，故S2=S1+3×4×=1+ 類似地有：S3=S2+3×42×=1+ 5分 Sn= =1+ = () 10分 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明()式 當(dāng)n=1時(shí)，由

11、上面已知()式成立， 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有Sk= 當(dāng)n=k+1時(shí)，易知第k+1次操作后，比較Pk+1與Pk，Pk+1在Pk的每條邊上增加了一個(gè)小等邊三角形，其面積為，而Pk有3×4k條邊。故Sk+1=Sk+3×4k×= 綜上所述，對(duì)任何nN，()式成立。 15、 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR,a0)滿足條件： 當(dāng)xR時(shí)，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x； 當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x) f(x)在R上的最小值為0。求最大值m(m>1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x解：f(x-4)=f(2-x) 函數(shù)的圖象關(guān)于x=

12、-1對(duì)稱 b=2a由知當(dāng)x= -1時(shí),y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)= 5分假設(shè)存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x取x=1時(shí)，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0對(duì)固定的t-4,0，取x=m，有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m 10分 m=9 15分當(dāng)t= -4時(shí)，對(duì)任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值為9。 20分另解：f(x-4)=f(2-x) 函數(shù)的圖象關(guān)

13、于x= -1對(duì)稱 b=2a由知當(dāng)x= -1時(shí),y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 5分 由f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20當(dāng)x1,m時(shí)，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)20當(dāng)t-4,0時(shí)，恒有解 10分令t= -4得，m2-10m+901m9 15分即當(dāng)t= -4時(shí)，任取x1,9恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0 mmin=9

14、20分2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1 評(píng)閱試卷時(shí)，請嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分；2 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，可以10分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次。一、（本題滿分50分）BACEFOHKMN 如圖，在ABC中，A=60°，AB>AC，點(diǎn)O是外心，兩條高BE、CF交于H點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN，求的值。解：在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，由三角形外心的性質(zhì)知 BOC=2A=120°由三角形垂心的性質(zhì)知 BHC=

15、180°-A=120° BOC=BHC B、C、HO四點(diǎn)共圓 20分 OBH=OCH OB=OC BK=CH BOKCOH 30分 BOK=BOC=120°，OKH=OHK=30° 觀察OKH KH=OH 40分 又BM=CN，BK=CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH=OH = 50分二、（本題滿分50分） 實(shí)數(shù)a,b,c和正數(shù)l使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)實(shí)根x1,x2,x3，且滿足 x2-x1=l, x3>(x1+x2)求解： f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1

16、,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的兩個(gè)根 x2-x1=l (a+x)2-4(x32+ax3+b)= l23x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3>(x1+x2) () 且 4a2-12b-3l20 () 10分 f(x)=x3+ax2+bx+c = 20分 f(x3)=0 () 由()得 記p=，由() 和()可知p且 令 y=，則y0且 30分 = = 0 40分 取a=2,b=2,c=0,l=2，則f(x)=x3+ax2+bx+c有根，0 顯然假設(shè)條件成立，且 綜上所述的最大值是 50分三、（本題滿分50分） 在世界杯足球賽前，F(xiàn)國教練為了考察A1,A2,A7

17、這七名，準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場90分鐘)都上場，假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些中有且僅有一人在場上，并且A1,A2,A3,A4每人上場的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被13整除，如果每場換人次數(shù)不限，那么按每名隊(duì)員上場的總時(shí)間計(jì)算，共有多少種不同的情況。解：設(shè)第i名隊(duì)員上場的時(shí)間為xi分鐘(i=1,2,3,7)，問題即求不定方程 x1+x2+x7=270 在條件7|xi (1i4)且13|xj (5j7)下的正整數(shù)解的級(jí)數(shù)。 若(x1,x2,x7)是滿足條件的一組正整數(shù)解，則應(yīng)有 =7m =13n m,nN m,n是不定方程 7m+13n=270 在條件m4且n3下的一組正整數(shù)解。 10分 7(

18、m-4)+13(n-3)=203 令 m=m -4 n=n -3 有 7m+13n=270 求滿足條件m4且n3的正整數(shù)解等價(jià)于求的非負(fù)整數(shù)解。 易觀察到 7·2+13·(-1)=1 7·406+13·(-203)=203 即 m0=406 n0= -203是的整數(shù)解 的整數(shù)通解為 m=406 -13k n= -203+7k kZ 令 m0 n0,解得 29k31 20分 取k=29,30,31得到滿足條件的三組非負(fù)整數(shù)解： 從而得到滿足條件的三組正整數(shù)解： 30分 1)在m=33,n=3時(shí)，顯然x5=x6=x7=13僅有一種可能， 又設(shè)xi=7yi (i=1,2,3,4)，于是由不定方程y1+y2+y3+y4=33有組正整數(shù)解。 此時(shí)有滿