1.2廣義積分的審斂法ppt課件

1、廣義積分的審斂法廣義積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法一、無窮限的廣義積分的審斂法收收斂斂上上有有界界，則則廣廣義義積積分分在在若若函函數(shù)數(shù)且且上上連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間定定理理設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收不通過被積函數(shù)的原函數(shù)判定廣義積分收斂性的判定方法斂性的判定方法.由定理由定理1，對于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積，對于非負(fù)函數(shù)的無窮限的廣義積分有以下比較收斂原理分有以下比較收斂原理也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則且且并并也收斂；如果也收斂；如果收斂，則收斂，則并且并且上連續(xù)，如果上連續(xù)，如果區(qū)間區(qū)間

2、在在、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂原理比較審斂原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()()(2證證.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfdxxgxgxfba收收斂斂，得得及及，由由設(shè)設(shè)上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba由定理知由定理知收斂收斂 adxxf)(.)(,)(),()(0必必定定發(fā)發(fā)散散則則發(fā)發(fā)散散且且如如果果 aadxxfdxxgxfxg也收，這與假設(shè)矛盾也收，這與假設(shè)矛盾收斂，由第一部分知收斂，由第一部分知如果如果 aadxxgdxx

3、f)()(例如，例如， 時時發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時時收收斂斂；當(dāng)當(dāng)廣廣義義積積分分11)0(Ppaxdxap發(fā)散發(fā)散則則，使得，使得常數(shù)常數(shù)收斂；如果存在收斂；如果存在則則，使得，使得及及存在常數(shù)存在常數(shù)如果如果上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxfaaxf)()()(0)(),()(10. 0)()0(),)()(3例例.1134的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較審斂法，根據(jù)比較審斂法，.1134收收斂斂廣廣義義積積分分 xdx發(fā)散發(fā)散

4、則則或或如果如果收斂；收斂；存在，則存在，則使得使得，如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.112的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給廣義積分收斂所給廣義積分收斂例例.1122/3的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積

5、分發(fā)散例例.arctan1的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散根據(jù)極限審斂法，所給廣義積分發(fā)散也收斂也收斂收斂；則收斂；則如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理 aadxxfdxxfaxf)()(),)(5證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且，且,)(收斂收斂dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即

6、收斂收斂.)(5稱稱為為絕絕對對收收斂斂條條件件的的廣廣義義積積分分滿滿足足定定理理定定義義 adxxf必定收斂必定收斂絕對收斂的廣義積分絕對收斂的廣義積分 adxxf)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別廣義積分判別廣義積分 abadxbxeax解解.,sin0收收斂斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收斂收斂 dxbxeax所以所給廣義積分收斂所以所給廣義積分收斂.二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法二、無界函數(shù)的廣義積分的審斂法.)(),()()(10)(),()()(10.)(lim, 0)(,()()2(60發(fā)散發(fā)散則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及收斂

7、；如果存在常數(shù)收斂；如果存在常數(shù)則廣義積分則廣義積分，使得，使得及及常數(shù)常數(shù)如果存在如果存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)比較審斂法比較審斂法定理定理 baqbaqaxdxxfbxaaxNxfqNdxxfbxaaxMxfqMxfxfbaxf發(fā)散發(fā)散分分則廣義積則廣義積或或，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)收斂；收斂；則廣義積分則廣義積分存在存在，使得，使得如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)極限審斂法極限審斂法定理定理 baqaxqaxbaqaxaxdxxfxfaxdxfaxqdxxfxfaxqxfxfbaxf)(),)()(lim(0)()(l

8、im1)(,)()(lim10.)(lim, 0)(,()()2(0000例例6.ln31的的收收斂斂性性判判別別廣廣義義積積分分 xdx解解的的左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)1 x由洛必達(dá)法則知由洛必達(dá)法則知xxxxx11limln1)1(lim0101 , 01 根據(jù)極限審斂法根據(jù)極限審斂法2,所給廣義積分發(fā)散所給廣義積分發(fā)散.例例7.1sin31的收斂性的收斂性判別廣義積分判別廣義積分dxxx 解解也也收收斂斂從從而而dxxx 101sin收斂，收斂，而而 1,11sinxdxxxx收斂，收斂，dxxx 101sin根據(jù)比較審斂原理根據(jù)比較審斂原理,)0()(01 sd

9、xxessx定義定義特點(diǎn)特點(diǎn): 1.積分區(qū)間為無窮積分區(qū)間為無窮;.001. 2右右領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)無無界界的的時時被被積積函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng) xs,1121011 dxxeIdxxeIsxsx設(shè)設(shè);,1)1(1是常義積分是常義積分時時當(dāng)當(dāng)Is ,10時時當(dāng)當(dāng) s函函數(shù)數(shù)三三、 ,111111sxssxxexxe ., 2, 111收收斂斂根根據(jù)據(jù)比比較較審審斂斂法法而而Is , 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex., 12也也收收斂斂根根據(jù)據(jù)極極限限審審斂斂法法I.0)2(),1(01均均收收斂斂對對知知由由 sdxxesxs)(s o 函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：函數(shù)的幾個重要性

10、質(zhì)：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時時，當(dāng)當(dāng)).10(sin)1()(3 ssss余余元元公公式式.2)()(0122012 duuesuxdxxessusx有有，中中，作作代代換換在在 四、小結(jié)四、小結(jié)比較審斂法極限審斂法無窮限的廣義積分審斂法比較審斂法極限審斂法無界函數(shù)的廣義積分審斂法廣廣義義積積分分審審斂斂法法絕對收斂絕對收斂練練 習(xí)習(xí) 題題;23. 4;)(ln. 3;1sin. 2;1. 12132213120242 xxdxxdxdxxdxxxx的收斂性：的收斂性：一、判別下列廣義積分一、判別下列廣義積分.)1(ln. 2);0(. 1100 dxxndxepxn收斂范圍：收斂范圍：指出這些積