大學(xué)物理答案第6章

1、第六章氣體動(dòng)理論6 1 一容積為 10L 的真空系統(tǒng)已被抽成1.0 10-5 mmHg 的真空，初態(tài)溫度為 20。為了提高其真空度，將它放在300的烘箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出所吸附的氣體，如果烘烤后壓強(qiáng)為 1.0 10-2 mmHg ，問(wèn)器壁原來(lái)吸附了多少個(gè)氣體分子?解：由式 pnkT ，有np1.010 21.013105 / 7601.6810 20 個(gè) / m3kT1.3810 23573因而器壁原來(lái)吸附的氣體分子數(shù)為NnV1.68102010 1031.681018 個(gè)56 2 一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為 1.01 10 Pa，溫度為 27，求：（l ）氣體分子的數(shù)密度；（ 2）氧氣的密

2、度； （ 3）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能； （ 4）分子間的平均距離。 （設(shè)分子間等距排列）分析： 在題中壓強(qiáng)和溫度的條件下，氧氣可視為理想氣體。因此，可由理想氣體的物態(tài)方程、密度的定義以及分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系等求解。又因可將分子看成是均勻等距排列的， 故每個(gè)分子占有的體積為V0d 3 ，由數(shù)密度的含意可知 V0 1 n , d 即可求出。解：（ l ）單位體積分子數(shù)np kT2.441025 m 3（ 2）氧氣的密度m VpMRT1.30 kgm 3（ 3）氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能k3kT 26.21 10 21 J（ 4）氧氣分子的平均距離d3 1 n3.4510 9 m6 3 本題圖中

3、I、II 兩條曲線是兩種不同氣體（氫氣和氧氣） 在同一溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線。試由圖中數(shù)據(jù)求：（ 1）氫氣分子和氧氣分子的最概然速率； （ 2）兩種氣體所處的溫度。分析： 由 vp2RT /M可知，在相同溫度下，由于不同氣體的摩爾質(zhì)量不同，它們的最概然速率 vp 也就不同。因M H 2 M O 2 ，故氫氣比氧氣的 vp 要大，由此可判定圖中曲線II所標(biāo) vp 2.0103 ms 1 應(yīng)是對(duì)應(yīng)于氫氣分子的最概然速率。從而可求出該曲線所對(duì)應(yīng)的溫度。又因曲線I 、 II 所處的溫度相同，故曲線I 中氧氣的最概然速率也可按上式求得。解：（ 1）由分析知?dú)錃夥肿拥淖罡湃凰俾蕿? v )H 2

4、2RT /M2.0 103 m s 1PH 2利用 M O2 / M H216 可得氧氣分子最概然速率為(vP ) O 22RT / M O 2( vP )H245.0102 m s 1習(xí)題 63 圖（2）由 vp2RT / M 得氣體溫度Tvp2 M / 2R4.81102 K64 有 N個(gè)質(zhì)量均為 m的同種氣體分子，它們的速率分布如本題圖所示。 （ 1）說(shuō)明曲線與橫坐標(biāo)所包圍面積的含義； （ 2）由 N和 v0求 a值；（ 3）求在速率 v0/2到 3v0/2間隔內(nèi)的分子數(shù)；（ 4）求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 .分析： 處理與氣體分子速率分布曲線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要理解分布函數(shù)f v 的物理意義

5、。f ( v)dN / Ndv題中縱坐標(biāo) Nf (v)dN / dv ，即處于速率 v 附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。同時(shí)要掌握f(shuō) (v) 的歸一化條件，即0 f (v)dv 1 。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)分布函數(shù)并運(yùn)用數(shù)學(xué)方習(xí)題 64 圖法（如函數(shù)求平均值或極值等），即可求解本題。解：（ l ）由于分子所允許的速率在0 到 2v0 的范圍內(nèi)，由歸一化條件可知圖中曲線下的面積S2 v0NNf v dv0即曲線下面積表示系統(tǒng)分子總數(shù)N。（2）從圖中可知，在0 到 v0 區(qū)間內(nèi)， Nf (v)av / v0 ；而在 v0 到 2v0 區(qū)間內(nèi)， Nf ( v)a 。則利用歸一化條件有Nv0 av2v0advd

6、vv00v0得a 2 N / 3v0（ 3）速率在 v0/2 到 3v0 /2 間隔內(nèi)的分子數(shù)為Nv0 av dv3v0 / 2adv 7N / 12v0/ 2v0v0(4) 分子速率平方的平均值按定義為v2v2dN / Nv2 f (v)dv00故分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為K1 mv 21 m(v0a v3 dv2v0a v2 dv)31 mv02220Nv 0v0N366 5 當(dāng)氫氣的溫度為 300時(shí)，求速率在區(qū)間3000m/s到 3010m/s之間的分子數(shù)N1與速率在區(qū)間 vp到vp+ 10m/s之間的分子數(shù)N2之比。解：氫氣在溫度T=273+300=573 開(kāi)時(shí)的最可幾速率vp 為2RT25

7、73米秒8.31v p0.0022182 /M麥克斯韋速度分布公式可改寫為NN 4x2 e x2x則速度在3000 米 /秒 3010 米 /秒間的分子數(shù)230002N1 N43000e 21822182102182速度在 vp vp10 米 /秒間的分子數(shù)221822N 2 N42182e 21822182102182N 130002e0.78故2N 221823000e 21826 6 有 N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為f (v)dNCNdvf (v)0(v0v0)(vv0)(1) 作速率分布曲線；（ 2）求常數(shù) C；（ 3）求粒子的平均速率。解：（ 2）由歸一化式v0f (v)dvCdv C

8、v0 100得1Cv0v0v0（ 3）vvf (v) dvvCdv0026 7 根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明：處于平均速率附近一固定小速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與 T 成反比。解：由 v8RT則速率分布函數(shù)可化為m3mv242m232vf (v)42RTv 2v3 evv 22 RTe2速率在 vvv 區(qū)間內(nèi)分子數(shù)N 為32N4NNf (v ) vev2v 1可見(jiàn)：Nv1(T ) 16 8 一密封房間的體積為 5 3 3m3，室溫為 20，室內(nèi)空氣分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和是多少？如果氣體溫度升高1.0K，而體積不變 ,則氣體的內(nèi)能變化多少？氣體分子方均根速率增加多少？（已知空氣的密度=1.29Kg

9、/m33，摩爾質(zhì)量M =29 10 Kg / mol ，且空氣分子可認(rèn)為是剛性雙原子分子。）解：根據(jù)1 m v 23 KT,22 N 1 mv23 NKT22N1mv 23RTNmN Am=3MM molRT=3RT M mol V= 7.31106 J.2222E= MM mol 1 iR R T =V M mol 1 iR R T = 4 .16 10 4 J22v21 2v1 2v1 2TT= 0.856 m s22=3RM1 221mol216 9在容積為 2.0 10-3 m3的容器中，有內(nèi)能為6.75102 J的剛性雙原子分子理想氣體。（1）求氣體的壓強(qiáng)； （ 2）設(shè)分子總數(shù)為 5

10、.41022個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度。解：（ 1）由 Em i RT和 pVm RT 可得氣體壓強(qiáng)M 2Mp2E / iV1.35105Pa（ 2）分子數(shù)密度 n=N/V 為，則該氣體的溫度Tp nkpV /（ Nk） 3.62102K氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為k3kT 2 7.4910 21J6 10 質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)地球引力作用所需的逃逸速率為v2gR ，其中 R為地球半徑。（ 1）若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應(yīng)有多高的溫度；（2）說(shuō)明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少。（取 R= 6.40106 m）分析： 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率v8RT/ M。對(duì)于摩爾質(zhì)量

11、 M 不同的氣體分子，為使v 等于逃逸速率 v，所需的溫度是不同的；如果環(huán)境溫度相同，則摩爾質(zhì)量M 較小的就容易達(dá)到逃逸速率。解：（ 1）由題意逃逸速率 v2gr，而分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率v8RT /M 。當(dāng) vv 時(shí)，有TMv 2Mrg8 R4 R由于氫氣的摩爾質(zhì)量M H22.010 3 kg mol 1，氧氣的摩爾質(zhì)量M O 23.210 2 kg mol 1則它們達(dá)到逃逸速率時(shí)所需的溫度分別為TH 21.18104 K, TO21.89 105 K（ 2）根據(jù)上述分析，當(dāng)溫度相同時(shí)，氫氣的平均速率比氧氣的要大（約為4倍），因此達(dá)到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多。按大爆炸理論， 宇宙在形成過(guò)

12、程中經(jīng)歷了一個(gè)極高溫過(guò)程。在地球形成的初期，雖然溫度已大大降低，但溫度值還是很高。因而，在氣體分子產(chǎn)生過(guò)程中就開(kāi)始有分子逃逸地球，其中氫氣分子比氧氣分子更易逃逸。另外，雖然目前的大氣層溫度不可能達(dá)到上述計(jì)算結(jié)果中逃逸速率所需的溫度，但由麥克斯韋分子速率分布曲線可知， 在任一溫度下， 總有一些氣體分子的運(yùn)動(dòng)速率大于逃逸速率。從分布曲線也可知道在相同溫度下氫氣分子能達(dá)到逃逸速率的可能性大于氧氣分子。6 11 討論氣體分子的平動(dòng)動(dòng)能1 mv2的分布函數(shù)，歸一化條件，及求任意函數(shù)2g( ) 的平均值公式。并由麥克斯韋氣體分子速率分布函數(shù)導(dǎo)出動(dòng)能分布函數(shù)，求出最可幾動(dòng)能。解： 在動(dòng)能空間中取一小區(qū)間d

13、，小區(qū)間內(nèi)分子數(shù)dN 占總分子數(shù)N 之比為dNNf ( )d其中 f ( ) 為分子動(dòng)能分布函數(shù)，它滿足歸一化條件：f ( )d10任意函數(shù) g( ) 的平均值公式：g()g() f ()d0令3 / 2mv2f ()df (v)dv4mv2exp(2 kT) dv2kT可求出f ()d2(1 )3/2exp(kT) dkT令df ()0 可得最可幾動(dòng)能dkTp26 12已知在單位時(shí)間內(nèi)撞擊在容器壁單位面積上的分子數(shù)為1 nv 。假定一邊長(zhǎng)為 1310 254米的立方箱子， 在標(biāo)準(zhǔn)情況下盛有個(gè)氧分子， 計(jì)算 1 秒鐘內(nèi)氧分子與箱子碰撞的次數(shù)。解：氧分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下算術(shù)平均速率vv8RT88.3

14、1 273425米/秒M3.140.032每邊長(zhǎng)為1 米的立方箱的總面積S=6 1 1=6米2則N1 nv S1310 2542561.911028 次 /秒446 13 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氦氣 （He）的內(nèi)摩擦系數(shù)=1.89 10 5 帕秒，摩爾質(zhì)量 M 為 0.004千克，平均速率v 為 1.20103 米 /秒。試求：（ 1）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)氦原子的平均自由程。（ 2）氦原子的半徑。解：（ 1）由公式1v ，則33v因?yàn)闅怏w密度M410 30.178千克/米 3v22.410 3331.8910 52.6510 7米v0.1781.20103（2）1RT2 d 22 d 2由氦原子直徑dRT1.38

15、10 232731.79 10 10米21.412.651073.141.013105氦原子半徑為Rd0.8910 10米26 14 （ 1）求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)。（ 2）若溫度不變，氣壓降到1.3310 4 帕，平均碰撞次數(shù)又為多少？（設(shè)分子有效直徑為1010 米）解：（ 1）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氮?dú)夥肿拥乃阈g(shù)平均速度v8RT88.31273454 米 /秒M3.140.028由公式 p =nRT 得np1052.691025 個(gè) / 米 31.013273RT1.3810 23 由平均自由程1得2 d 2 n122.6910258.3910 7米23.1410 10平均碰撞次數(shù)v4.55102108次 / 秒Z5.428.3910 7（2）氣壓降低之后的平均碰撞次數(shù)為ZZpZpZpZ1.3310 4 5.42108次秒p1.0131050.71 /6 15 若在標(biāo)準(zhǔn)壓強(qiáng)下， 氫氣分子的平均自由程為6 108米，問(wèn)在何種壓強(qiáng)下， 其平均自由程為 1厘米？（設(shè)兩種狀態(tài)的溫度一樣）解：按 p = nKT 和 1，有2 d 2 nn1， pKT2 d22 d